Digest 2018 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (73 punten). 34 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Bewegend punt (v1-2), Lijn door de toppen (v3-5), Zwaartepunt en rakende cirkels (v6-7), Maxima en minima (v8-9), Sheffield Winter Garden (v10-11), Natuurlijke logaritme van de wortel (v12-14), Vierkant onder grafiek (v15), Twee vierkanten op een kwartcirkel (v16-17).

Parametervoorstelling

Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. Bewegingsvergelijkingen x(t)=1−t², y(t)=(1+t)² gegeven, baan van P getekend in de figuur. Frasering: “De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen”.
Vraag 2 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. Bewijs (x+y)²=4y voor elke waarde van t, direct met de parametervoorstelling uit vraag 1 (x+y=2(1+t), dus (x+y)²=4(1+t)²=4y).
Komt 2× voor dit tijdvak, beide keren kernonderdeel van opgave “Bewegend punt” (8 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. “Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat”, via dx/dt=−2t en dy/dt=2(1+t) op t=1, snelheid = lengte van de snelheidsvector √((−2)²+4²)=2√5. Sterk, direct voorbeeld van baansnelheid via een tijdsafhankelijke vectorvoorstelling.
Komt 1× voor, maar volledig kernonderdeel (alle 4 scorepunten).

Vector

Vraag 1 (4p): in correctievoorschrift — snelheid berekend als lengte van de vector (dx/dt, dy/dt) op t=1.
Vraag 6 (5p): in correctievoorschrift — zwaartepunt Z bepaald als gewogen som van plaatsvectoren: OZ = 6/8·(8,0) + 1/8·(20,0) + 2/8·(14,8).
Vraag 17 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. OF = OC + CF, CB = OB − OC (vectoroptelling/-aftrekking), CF als beeld van CB bij rotatie over −90°.
Frasering: “Voor elke waarde van t … geldt: OF = …”. Komt 3× voor, telkens als rekentechniek onder een groter antwoord (13 scorepunten betrokken).

Afgeleide functie

Vraag 1 (4p): in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt berekend uit x(t) en y(t).
Vraag 3 (4p): in vraagstelling — f_a’ al gegeven, gebruikt om de top te vinden (f_a’(x)=0).
Vraag 4 (3p): in correctievoorschrift/aanvulling — afgeleide van Fa berekend om te bewijzen dat Fa’ = f_a.
Vraag 8 (6p): in correctievoorschrift — f’(x)=6cos(x)+2sin(2x) berekend om toppen te vinden.
Vraag 13 (4p): impliciet in correctievoorschrift — minimum van g(x)−f(x) via de afgeleide (GR).
Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip, naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel-notities.

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt=−2t, dy/dt=2(1+t), machtsregel op eenvoudige polynomen.
Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift/aanvulling — “de afgeleide van e^(ax) is e^(ax)·a” (standaardafgeleide van de e-macht met lineaire substitutie).
Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van 6sin(x) is 6cos(x) (standaardafgeleide van sinus).
Komt 3× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord.

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (4p): “Bereken exact de snelheid waarmee P door punt A gaat.” — kernonderdeel.
Vraag 2 (4p): impliciet, exacte algebraïsche herleiding binnen het bewijs.
Vraag 5 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel.” — kernonderdeel.
Vraag 6 (5p): “Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s.” — kernonderdeel.
Vraag 7 (5p): “Bereken exact de straal van cirkel d.” — kernonderdeel.
Vraag 8 (6p): “Bereken exact de x-coördinaten van alle toppen van de grafiek van f.” — kernonderdeel.
Vraag 14 (4p): “Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” — kernonderdeel.
Vraag 15 (4p): “Bereken exact de lengte van de zijde van het vierkant.” — kernonderdeel.
Vraag 16 (5p): binnen de opgave wordt exact herleid tot een oplosbare vergelijking, eindantwoord is overigens afgerond (numeriek) — ondersteunend.
Typische frasering: “Bereken exact …”. Zeer dominant dit tijdvak: 8 van de 17 vragen expliciet “exact” (samen 38 scorepunten).

Bewijzen en aantonen

Vraag 2 (4p): “Bewijs dit.” ((x+y)²=4y)
Vraag 12 (3p): “Bewijs dat inderdaad geldt f_inv(x)=e
Vraag 17 (4p): “Bewijs dit.” (vectorformule voor OF, met gebruik van de figuur op de uitwerkbijlage)
Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Komt 3× voor dit tijdvak (11 scorepunten samen) — herkenbare, terugkerende examenvaardigheid, breder dan alleen de differentiaal- en meetkunde-bewijzen (zie ook Bewijzen met differentiëren).

Exponentiële functie

Vraag 3 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel van de hele opgave, f_a(x)=x·e^(ax) voor elke a≠0.
Vraag 10 (4p): in vraagstelling — “kettinglijn” f_k(x)=(1/2k)(e^(kx)+e
Vraag 11 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, functievoorschrift van h opgesteld met dezelfde e-macht-vorm.
Komt 3× terug, dominant thema van de opgaven “Lijn door de toppen” en “Sheffield Winter Garden” (13 scorepunten samen).

Bewijzen met differentiëren

Vraag 3 (4p): kernonderdeel — “Bewijs dat deze top op lijn l ligt”, via f_a’(x)=0 oplossen en top-coördinaten invullen.
Vraag 4 (3p): kernonderdeel — “Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van f_a is”, via Fa’(x)=f_a(x) aantonen (met kettingregel en productregel, zie aanvulling op het correctievoorschrift die het hele model van deze vraag vervangt).
Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (7 scorepunten samen).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “heeft de grafiek van f_a precies één top”, top gevonden via f_a’(x)=0.
Vraag 8 (6p): in vraagstelling — “De grafiek van f heeft oneindig veel toppen”, alle toppen via f’(x)=0.
Vraag 9 (4p): impliciet — top P uit vraag 8 gebruikt als uitgangspunt.
Vraag 13 (4p): in vraagstelling — “Bereken de minimale lengte van het lijnstuk”, minimum via afgeleide/GR.
Komt 4× terug, telkens onderliggend begrip bij “top”/“minimum”-vragen (18 scorepunten betrokken).

Kettingregel

Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift/aanvulling — expliciete opmerking: “Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel beide keren niet of niet correct heeft toegepast, dan geen scorepunten toekennen voor het eerste en tweede antwoordelement.”
Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van −cos(2x) vereist kettingregel (inwendige functie 2x). Opmerking: “Als een kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 4 scorepunten toekennen.”
Komt 2× terug, beide keren expliciet benoemd in het correctievoorschrift als aparte score-eis (niet alleen impliciete rekenstap, zoals in andere tijdvakken).

Productregel

Vraag 4 (3p): zichtbaar in de aanvulling op het correctievoorschrift — “Toepassen van de productregel geeft Fa’(x) = (1/a)e^(ax) + x·a·e^(ax) = (1/a)e^(ax) + xe^(ax) (=f_a(x)).” Deze aanvulling verving het volledige oorspronkelijke antwoordmodel van vraag 4.
Komt 1× voor, maar met een opvallende correctie-geschiedenis: het oorspronkelijke correctievoorschrift werd na afname geschrapt en vervangen door een model dat de productregel expliciet vereist.

Primitieve functie

Vraag 4 (3p): in vraagstelling — Fa gegeven als (vermoedelijke) primitieve van f_a, “Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van f_a is.”
Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven opgesteld: van (1/e)x is (1/2e)x², van xe^x is xe^x−e
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel of noodzakelijke tussenstap (8 scorepunten betrokken).

Oppervlakte met integralen

Vraag 5 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel” tussen lijn l en de grafiek van f₁.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).

Bepaalde integraal

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte opgesteld als ∫₋₁⁰ (x/e − xe^x) dx (of een equivalente vorm met driehoeksoppervlakte).
Komt 1× voor, kernonderdeel van de rekenstap (meerdere van de 5 scorepunten).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 5 (5p): kernonderdeel — snijpunten van l en f₁ gevonden via xe^x=x/e, dus x=0 of x=−1.
Vraag 10 (4p): kernonderdeel — vergelijking k=8d/(l²−4d²) oplossen naar l.
Vraag 15 (4p): kernonderdeel — 1/(1+p)=p leidt tot p²+p−1=0, opgelost met de abc-formule.
Komt 3× voor, telkens als noodzakelijke tussenstap naar een exact of numeriek eindantwoord (13 scorepunten betrokken).

Zwaartepunt

Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledig eerste deel van de vraag. “Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s”, met drie verschillende massa’s (3, 1 en 2) in A, B en M.
Komt 1× voor dit tijdvak, maar zwaar (5 scorepunten, expliciet als gewogen gemiddelde van plaatsvectoren in het correctievoorschrift).

Vergelijking van een cirkel

Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel van het eerste deel: vergelijking van cirkel c, (x−14)²+(y−8)²=10², gebruikt om A en B te vinden.
Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 5 scorepunten hangen hiervan af).

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — punten A en B zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as, gevonden door y=0 in de cirkelvergelijking te substitueren: (x−14)²+64=100, dus (x−14)²=36.
Komt 1× voor, ondersteunende stap (bijzonder geval: snijpunt van een cirkel met een as in plaats van een willekeurige lijn).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 6 (5p): in correctievoorschrift (alternatieve methode) — Pythagoras in driehoek APM, of herkennen van een 3-4-5-driehoek, om AP (=BP) te bepalen.
Vraag 7 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. Cirkel d raakt cirkel c: MN=r+10 (afstand middelpunten = som van de stralen bij elkaar rakende cirkels), gecombineerd met Pythagoras (MP=8, NP=14−r) om de straal op te lossen. Frasering: “Bereken exact de straal van cirkel d. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.”
Komt 2× voor dit tijdvak (10 scorepunten betrokken), dominant thema van opgave “Zwaartepunt en rakende cirkels”, gebruikt ook de uitwerkbijlage.

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 8 (6p): kernonderdeel — 2cos(x)·(3+2sin(x))=0 oplossen; cos(x)=0 geeft x=½π+k·π.
Vraag 9 (4p): in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vergelijking f(x)=f(x+2) numeriek opgelost.
Vraag 16 (5p): kernonderdeel — vergelijking (1−cos(t))²+(sin(t))²=2·((cos(t))²+(1−sin(t))²) numeriek opgelost voor 0<t<½π.
Komt 3× voor (15 scorepunten betrokken), telkens kernonderdeel of belangrijke tussenstap.

Som- en verschilformules

Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2sin(2x) herschreven als 4sin(x)cos(x) via de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) van de formulekaart.
Komt 1× voor, ondersteunende rekenstap binnen een grotere vraag (geen losse scorepunten voor de formule zelf, wel nodig voor de verdere ontbinding).

Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Vraag 9 (4p): in vraagstelling — “De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P”, gebruikt (in de alternatieve methode) om de vergelijking f(x)=f(x+2) op te stellen.
Komt 1× voor, ondersteunend concept binnen een grotere vraag.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 9 (4p): “Rond je eindantwoord af op twee decimalen.”
Vraag 10 (4p): “Rond je eindantwoord af op twee decimalen.”
Vraag 11 (5p): “Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen.” (met een expliciete opmerking in het correctievoorschrift dat afronden van e tot twee decimalen geen scorepunten kost)
Vraag 13 (4p): “Rond je eindantwoord af op drie decimalen.”
Vraag 16 (5p): “Rond je eindantwoord af op twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 5× expliciet terug in de vraagstelling (23 scorepunten betrokken), plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 9 (4p): impliciet — numerieke oplossing van f(x)=f(x+2), “Beschrijven hoe de vergelijking … kan worden opgelost” in het correctievoorschrift.
Vraag 10 (4p): impliciet — numerieke oplossing van de vergelijking voor l.
Vraag 11 (5p): impliciet — waarde van k en functievoorschrift h numeriek bepaald.
Vraag 13 (4p): impliciet — “Beschrijven hoe het minimum van g(x)−f(x) berekend kan worden.”
Vraag 16 (5p): impliciet — “Beschrijven hoe de vergelijking … opgelost kan worden.”
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) zichtbaar in het correctievoorschrift bij v9, v10, v13 en v16. Komt 5× terug als noodzakelijke toelichtingsstap.

Functievoorschrift

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Stel een functievoorschrift op van h. Rond de getallen in je eindantwoord af op twee decimalen.”
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Transformaties van grafieken

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De grafiek van deze functie h ontstaat door de grafiek van een functie f_k te spiegelen in de x-as en de beeldgrafiek vervolgens omhoog te schuiven.”
Vraag 13 (4p): in vraagstelling — “De grafiek van f_inv wordt ten opzichte van de x-as met factor ½ vermenigvuldigd. Zo ontstaat de grafiek van de functie g.”
Komt 2× voor (9 scorepunten betrokken), beide keren kernonderdeel van de opgave.

Inverse functie

Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Deze functie heeft een inverse functie f_inv. Er geldt: f_inv(x)=e^(2x). Bewijs dat inderdaad geldt f_inv(x)=e
Vraag 13 (4p): impliciet — g is een transformatie van f_inv uit vraag 12, gebruikt als uitgangspunt.
Komt 2× voor (7 scorepunten betrokken), v12 volledig kernonderdeel, v13 ondersteunend.

Logaritmische functie

Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(√x).
Vraag 13 (4p): impliciet — zelfde functie f en haar inverse/transformatie gebruikt.
Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, h(x)=ln(√x)/ln(x).
Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Natuurlijke logaritme van de wortel” (11 scorepunten samen).

Optimaliseren

Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bereken de minimale lengte van het lijnstuk”, minimum van g(x)−f(x) bepalen.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “De grafiek van h heeft rechts van de y-as één perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” (h(x)=ln(√x)/ln(x), perforatie bij x=1 doordat ln(x) in de noemer nul wordt terwijl de breuk voor x≠1 herleid tot ½.)
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Machtsfunctie

Vraag 15 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=1/x (machtsfunctie met exponent −1), grafiek en vierkant eronder gegeven.
Komt 1× voor, basis van de hele opgave “Vierkant onder grafiek” (4p).

Radialen

Vraag 16 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel. “De grootte van hoek AOC (in radialen) noemen we t, met 0<t<½π.” Punt C heeft coördinaten (cos(t), sin(t)).
Vraag 17 (4p): impliciet — zelfde hoek t gebruikt in de vectorformule voor OF.
Komt 2× voor (9 scorepunten betrokken), dominant thema van opgave “Twee vierkanten op een kwartcirkel”.

Grondformule van de goniometrie

Vraag 16 (5p): impliciet zichtbaar in correctievoorschrift — AC²=(1−cos(t))²+(sin(t))² wordt (via sin²(t)+cos²(t)=1) herschreven tot de gelijkwaardige, eenvoudigere vorm 2−2cos(t).
Komt 1× voor, ondersteunende (niet expliciet uitgeschreven) rekenstap bij de herleiding van de vergelijking.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2018-tijdvak1-digest