Digest 2018 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 16 vragen (77 punten). 32 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Loodrecht in de perforatie (v1-2), IJsbol (v3-5), Constante verhouding (v6-7), Gekanteld vierkant (v8-10), Anderhalf keer zo groot (v11), Een baan (v12-14), Buiten een vierkant (v15-16).

Opvallend voor dit tijdvak: 9 van de 16 vragen zijn expliciete bewijsvragen (samen 43 van de 77 punten) — zwaarder dan gebruikelijk.

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (3p): “Bewijs dat voor x ≠ 0 geldt: f(x) = h(x).” Algebraïsche herleiding (gelijknamig maken/rationaliseren).
Vraag 2 (5p): “Bewijs dat de grafieken van f en g in hun perforatie P loodrecht op elkaar staan.”
Vraag 6 (4p): “Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt: (f_a(x)+f_(1/a)(x))/2 = f_1(x).”
Vraag 7 (7p): “Bewijs dat voor elke positieve waarde van a de verhouding xS/xT constant is.”
Vraag 11 (8p): “Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte van V.”
Vraag 12 (3p): “Bewijs dat die lijn inderdaad verticaal is.”
Vraag 14 (5p): “Bewijs dat voor t = ¾π geldt: [relatie tussen OPt en snelheidsvector v].”
Vraag 15 (5p): “Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.”
Vraag 16 (3p): “Bewijs dit.”
Frasering: vrijwel altijd “Bewijs dat…” of kort “Bewijs dit.”; zeer dominant dit tijdvak — 9× voorkomend, samen 43 scorepunten (meer dan de helft van het examen).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. f(x) = (−2+2√(x+1))/x en h(x) = 2/(1+√(x+1)) zijn beide gedefinieerd via een perforatie in x=0; bewijs dat ze voor x≠0 aan elkaar gelijk zijn.
Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar”. Punt P(0, 1) is expliciet de perforatie van f en g (zowel in de opgavetekst als het correctievoorschrift).
Opgave “Loodrecht in de perforatie” is volledig om de perforatie-context gebouwd (titel zelf verwijst ernaar). Komt 2× terug, beide keren kernonderdeel (8 scorepunten samen).

Kettingregel

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — h’(x) via afgeleide van √(x+1) binnen 2/(1+√(x+1)); Opmerking expliciet: “Als de kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.”
Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ln(ax) (via a/(ax)) binnen de productregel-toepassing op x·ln(ax); Opmerking: “Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 5 scorepunten toekennen.”
Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van sin(2t) en cos(2t) binnen x’(t); Opmerking: “Als de product- en/of kettingregel niet of onjuist is toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen.”
Komt 3× terug; in alle drie gevallen expliciet genoemd in een aparte “Opmerking” in het correctievoorschrift met een aftrekregel bij foutieve toepassing — sterk signaal dat dit los beoordeeld wordt.

Productregel

Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van x·ln(ax) (productregel), samen met kettingregel genoemd in de Opmerking.
Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) = −sin(t)sin(2t) + cos(t)·2cos(2t), differentiëren van een product van twee t-afhankelijke functies.
Komt 2× voor, beide keren gekoppeld aan de kettingregel in dezelfde Opmerking (12 scorepunten samen betrokken).

Standaardafgeleiden

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van de wortelfunctie binnen h(x).
Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ln(ax).
Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 2x (machtsregel op f(x)=x²), basis van de raaklijnvergelijking.
Komt 3× terug, telkens als onderliggende rekenstap (geen losse scorepunten voor de regel zelf, wel noodzakelijk voor het vervolg).

Algebraïsch en exact

Vraag 9 (5p): “Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.” Kernonderdeel.
Vraag 10 (5p): “Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.” Kernonderdeel.
Vraag 13 (5p): “Bereken exact het vierde tijdstip waarvoor dit het geval is.” Kernonderdeel.
Frasering: “Bereken exact …”. Komt 3× voor (15 scorepunten samen).
Let op frasering-verschil: vraag 3 (“Bereken algebraïsch dit quotiënt”) gebruikt “algebraïsch” i.p.v. “exact” — zelfde soort exacte berekening maar met afwijkende bewoording; apart genoteerd, niet meegeteld in de 3×.

Vector

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (hoofdmethode) — CQ als vector, richtingsvector van PD, loodrechtheidscheck via inproduct.
Vraag 10 (5p): in correctievoorschrift — OQ = OD + ⅔·DP, vectoroptelling om Q te vinden.
Vraag 14 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — positievector OPt en snelheidsvector v worden getekend en met elkaar vergeleken.
Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (hoofdmethode) — vectoren MF, MB, MG, MA gebruikt om hoeken via inproduct te bepalen.
Komt 4× terug, telkens als (een van de) oplossingsroute(s) in het correctievoorschrift.

Inproduct

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — CQ · PD = 0 als loodrechtheidsvoorwaarde.
Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (hoofdmethode) — MF·MB=0 en MG·MA=0 om te bewijzen dat ∠(MF,MB)=∠(MG,MA)=90°.
Komt 2× voor, beide keren als methode om loodrechtheid/rechte hoeken aan te tonen.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 8 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Stel een vergelijking op van deze cirkel” (cirkel door B, C, P).
Vraag 15 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — cirkel (x−3)²+(y−2)²=5 gegeven, gebruikt om F te bepalen.
Ook zichtbaar in opgave “IJsbol” (v4): cirkel x²+y²=2,25 als basis van het omwentelingslichaam.
Komt 3× terug (10+ scorepunten indirect betrokken).

Vergelijking van een lijn

Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — middelloodlijnen als lijnvergelijkingen.
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn PD herschreven als y = −5½x+14, loodlijn via k.
Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — lijn OP heeft vergelijking y = px, gebruikt voor de integraal van V.
Vraag 15 (5p): in correctievoorschrift — lijn AC heeft vergelijking y = 4−x.
Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingscoëfficiënten van MB, FM, MA, GM; rc·rc=−1 als loodrechtheidscriterium.
Komt 5× terug, meestal als (een van de) oplossingsroutes, niet altijd de hoofdmethode.

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — middelloodlijnen als vectorvoorstelling.
Vraag 9 (5p): in correctievoorschrift (hoofdmethode) — lijn PD als (x,y)=(2,3)+t·(2,−11).
Komt 2× voor, in vraag 9 de hoofdmethode van het correctievoorschrift.

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 8 (5p): in correctievoorschrift — “Omdat ∠PBC=90° is PC een middellijn van de cirkel (Thales).”
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Omdat ∠PQC=90° is PC een middellijn van de cirkel (Thales), dus ligt Q op de cirkel door P, B en C.”
Vraag 16 (3p): impliciet — redenering met cirkelsectoren BMF en GMA (kwart cirkel elk).
Komt 3× terug; de stelling van Thales is dit tijdvak de terugkerende meetkundige truc (2× expliciet genoemd in het correctievoorschrift).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 8 (5p): “Stel een vergelijking op” — meetkundige bewijsvoering (Thales) als basis van de constructie.
Vraag 15 (5p): “Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.” Volledige meetkundige bewijsvraag met coördinaten.
Vraag 16 (3p): “Bewijs dit.” Bewijs over cirkelsectoroppervlaktes via loodrechte stralen.
Komt 3× terug (13 scorepunten samen), telkens coördinatenmeetkunde gecombineerd met een bewijs.

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn PD gesubstitueerd in de cirkelvergelijking, geeft 125t²−65t=0.
Vraag 15 (5p): in correctievoorschrift — lijn y=4−x gesubstitueerd in de cirkelvergelijking, geeft x²−5x+4=0.
Komt 2× voor, beide keren als rekenstap om een specifiek punt te vinden.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (derde alternatieve methode) — “Beschrijven hoe dit stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden opgelost kan worden” (a²+(4−b)²=r², (−4−a)²+(−4−b)²=r², (2−a)²+(3−b)²=r²).
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de Thales-methode.

Logaritmische functie

Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f_a(x) = x − x·ln(ax), bewijs met rekenregels voor logaritmen (ln(ax)+ln(x/a)=ln(x²)=2ln(x)).
Vraag 7 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, xS gevonden via ln(ax)=1 (dus ax=e).
Frasering: opgave “Constante verhouding” draait volledig om een functiefamilie met ln. Komt 2× voor (11 scorepunten samen), dominant thema van deze opgave.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — de top T van f_a wordt gevonden via f_a’(x)=0 (−ln(ax)=0 ⟹ ax=1), het klassieke stijgen/dalen-naar-extreme-waarde-idee.
Komt 1× voor, als kernstap binnen het bewijs (niet apart bepunt, wel noodzakelijk).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking ⁴⁄₃π(10a+1,5)³=7,068… (derdegraads) oplossen voor a, met GR.
Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — ln(ax)=1 oplossen naar x (algebraïsch, geeft xS=e/a).
Komt 2× voor, één keer algebraïsch/exact (v7) en één keer numeriek via GR (v5).

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 4 (5p): “Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost” — expliciet scorepunt voor GR-toelichting.
Vraag 5 (5p): “Beschrijven hoe hieruit de waarde van r berekend kan worden” — idem, GR-toelichting apart bepunt.
Frasering sluit aan bij vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”). Komt 2× expliciet terug, elke keer met een eigen scorepunt voor de toelichting.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 3 (4p): “Bereken algebraïsch dit quotiënt bij deze ijsbol. Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.”
Vraag 4 (5p): “Bereken hoeveel cm de ijsbol boven het water uitsteekt (…). Rond je eindantwoord af op 2 decimalen.”
Vraag 5 (5p): “Bereken vanaf welk geheel aantal minuten er voor het eerst geen ijs meer aanwezig is.” (afronden naar een geheel aantal, met context-afhankelijke afrondingsrichting).
Algemeen: vakspecifieke regels 1 (1 punt aftrek per rekenfout) en 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 3× expliciet terug in de vraagstelling van opgave “IJsbol” (14 scorepunten samen).

Omwentelingslichaam

Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel (…) om de y-as.”
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).

Bepaalde integraal

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — volume als π∫(2,25−y²)dy tussen −1,5 en een variabele grens a.
Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte V als ∫(px−x²)dx over [0,p].
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel van een groter bewijs/berekening (13 scorepunten samen betrokken).

Functievoorschrift

Vraag 5 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, “In het model wordt er verder van uitgegaan dat de formule van r(t) lineair is” — een lineair functievoorschrift r(t)=a·t+1,5 opstellen uit gegeven waarden.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Machtsfunctie

Vraag 11 (8p): in vraagstelling — f(x)=x² is de basisfunctie van de hele opgave “Anderhalf keer zo groot”.
Komt 1× voor, onderliggend functietype van de hele opgave (8p).

Primitieve functie

Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven ½px²−⅓x³ en ⅓x³ opgesteld voor de integralen.
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap binnen het bewijs.

Oppervlakte met integralen

Vraag 11 (8p): kernonderdeel — oppervlakte van V via integraal, vergeleken met driehoeksoppervlakte OAP.
Komt 1× voor, volledige vraag (8p, zwaarste vraag van dit tijdvak).

Raaklijn

Vraag 11 (8p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P(p, p²) (…) snijdt de x-as in een punt A.” Raaklijnvergelijking y=2p(x−p)+p² opgesteld via f’(x)=2x.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de zwaarste vraag van dit tijdvak.

Parametervoorstelling

Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t)=cos(t)sin(2t), y(t)=cos(t), 0≤t≤2π.
Vraag 13 (5p): idem, zelfde kromme, punt Pt op de baan.
Vraag 14 (5p): idem, snelheidsvector afgeleid uit dezelfde parametervoorstelling.
Frasering: “Een punt beweegt (…) volgens de bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Een baan” (13 scorepunten samen).

Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(π−a)=−cos(a) gebruikt om aan te tonen dat de x-coördinaten van Pa en P(π−a) gelijk zijn.
Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (meerdere van de 3 scorepunten hangen hiervan af).

Som- en verschilformules

Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2(π−a)) = sin(2π−2a) = −sin(2a), gebruikmakend van de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) van de formulekaart (vooraan het examen afgedrukt).
Komt 1× terug, ondersteunend (de formule zelf staat op de bijgeleverde formulekaart).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 13 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2cos(t)sin(2t)=cos(t) oplossen, geeft cos(t)=0 of sin(2t)=½, met specifieke aftrekregels in de Opmerkingen bij verkeerd opgestelde vergelijking.
Komt 1× voor, kernonderdeel (5p).

Kinematica met vectoren

Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “voor iedere waarde van t kunnen de snelheidsvector v vanuit punt Pt en de vector OPt worden getekend”; expliciet snelheidsvector-taalgebruik (afgeleide van de positie als vector).
Komt 1× voor, sterker/directer dan de indirecte “bewegingsvergelijking”-verwijzing in 2025-I — hier wordt de snelheidsvector zelf expliciet getekend en bewezen.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2018-tijdvak2-digest