Digest 2019 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 15 vragen (80 punten). 32 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Lijnen door de oorsprong en een cirkel (v1), Rechts van het snijpunt (v2), Altijd raak (v3-5), Slingshot (v6-7), Een logaritmische functie en haar afgeleide (v8-9), Gebroken goniometrische functie (v10-12), Driehoek met bewegend hoekpunt (v13-14), Afgeknotte paraboloïde (v15).

Let op: een deel van de formules in dit tijdvak is via pdftotext platgeslagen (exponenten/wortels/breuken raken opmaak kwijt); waar een formule onzeker is gereconstrueerd staat dat expliciet vermeld.

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 1 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel. Lijn k door de oorsprong gegeven als (x,y) = t·(1, 2) (vectorvoorstelling). Frasering: ”… is een vectorvoorstelling van een lijn k door de oorsprong.”
Komt 1× voor, basis van de hele opgave.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 1 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Een vergelijking van c is (x−1)²+(y−7)²=25”, cirkel c met middelpunt (1,7) en straal √5.
Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cirkel met middellijn AB: “(x−20)²+(y−5)²=425” (stelling van Thales, ∠APB=90° ⇔ P op cirkel met middellijn AB).
Komt 2× voor: 1× als startpunt van de opgave, 1× als alternatieve oplosroute.

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 1 (5p): kernonderdeel — “Lijn k snijdt cirkel c in twee punten. Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.” Substitutie van de vectorvoorstelling in de cirkelvergelijking, herleiden tot 5t²−30t+25=0.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (5p): “Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.”
Vraag 5 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van V.”
Vraag 8 (5p): “Bereken exact de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g.”
Vraag 9 (7p): “Bereken exact deze waarde van p. Schrijf je eindantwoord in de vorm p = a·e
Vraag 10 (6p): “Bereken exact de x-coördinaten van A en B.”
Vraag 11 (6p): impliciet exact (geen decimalen gevraagd).
Vraag 12 (4p): “Bereken exact deze waarden van p.”
Typisch frasering: “Bereken exact …”. Zeer dominant dit tijdvak: minstens 7 van de 15 vragen expliciet “exact”, samen ruim 40 scorepunten.

Kettingregel

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van f (reconstructie: f(x)=3cos(2x)−√x → f’(x)=−6sin(2x)−1/(2√x)), kettingregel nodig voor zowel cos(2x) als √x. Expliciete Opmerking in het correctievoorschrift: “Als de kandidaat bij het differentiëren de kettingregel niet of niet correct heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 3 scorepunten toekennen” — bevestigt dat dit een expliciet beoordeeld onderdeel is.
Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p(x)=p+√(x−p), f_p’(x)=1/(2√(x−p)), kettingregel voor de wortelfunctie met inwendige functie x−p.
Komt 2× terug, beide keren met expliciete scoreconsequenties voor het correct toepassen.

Standaardafgeleiden

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel/wortelregel toegepast binnen f’(x).
Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van de wortelfunctie (ook via alternatieve methode g(x)=√x, g’(x)=1/(2√x)).
Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — g(x)=f’(x)=1·ln(x)+x·(1/x)−1, som van standaardafgeleiden (ln en constante).
Komt 3× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 2 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “toppen” van f zijn extremen, gevonden door f’(x)=0 op te lossen en te vergelijken met x-coördinaat van A.
Komt 1× voor, kern van de vraag (samen met Bewijzen met differentiëren).

Bewijzen met differentiëren

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — “Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.” Bewijs dat top B rechts van punt A ligt, via f’(x)=0.
Vraag 3 (5p): kernonderdeel — bewijs dat lijn k de grafiek van f_p raakt voor elke p≥1, via f_p’(x)=1 (raakvoorwaarde).
Komt 2× voor, beide keren volledige/kernonderdeel van de vraag (10 scorepunten samen).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 1 (5p): kernonderdeel — 5t²−30t+25=0 (kwadratisch) oplossen naar t=1 of t=5.
Vraag 2 (5p): kernonderdeel — −6sin(2x)−1/(2√x)=0 oplossen (numeriek/GR) om x-coördinaat van B te vinden.
Vraag 7 (6p): kernonderdeel — vergelijking voor x (hoogte capsule) oplossen.
Vraag 8 (5p): kernonderdeel — (x−1)ln(x)=x−1 herleiden en oplossen naar x=1 of x=e.
Vraag 9 (7p): kernonderdeel — ln(4p)=1 (of gelijkwaardige vorm) oplossen naar p=¼e².
Vraag 10 (6p): kernonderdeel — 2cos²(x)−cos(x)−2=0 oplossen (cos(x)=−½√2).
Vraag 12 (4p): kernonderdeel — vergelijking in p oplossen (loodrechte richtingscoëfficiënten/inproduct=0).
Komt zeer frequent voor: 7 van de 15 vragen, meestal met expliciete instructie “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” (GR-toelichting) als apart scorepunt.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 2 (5p): “Beschrijven hoe uit de vergelijking … de x-coördinaat van B gevonden kan worden” — apart scorepunt voor GR-toelichting.
Vraag 7 (6p): “Beschrijven hoe deze vergelijking wordt opgelost” — apart scorepunt.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) expliciet zichtbaar als apart scorepunt bij v2 en v7.
Komt 2× expliciet terug als eigen scorepunt, generiek van toepassing bij elke numeriek/GR-opgelost vergelijking.

Raaklijn

Vraag 3 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Lijn k raakt de grafiek van f_p voor elke waarde van p≥1. Bewijs dit.” Raakvoorwaarde via f_p’(x)=1 (richtingscoëfficiënt van k) en controle dat het raakpunt op k ligt.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p), zwaar (bewijsvraag).

Machtsfunctie

Vraag 3 (5p): in vraagstelling — f_p(x)=p+√(x−p) is een macht-/wortelfunctie (x^½), verschoven.
Vraag 4 (3p): idem, zelfde functiefamilie.
Vraag 5 (5p): in vraagstelling — grafiek van f1 (wortelfunctie) begrenst vlakdeel V.
Vraag 15 (7p): in vraagstelling — f(x)=√x, basis van het omwentelingslichaam.
Komt 4× terug als onderliggend functietype, dominant in twee losse opgaven (“Altijd raak” en “Afgeknotte paraboloïde”).

Transformaties van grafieken

Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “De grafiek van f_p ontstaat uit de grafiek van g(x)=√x door deze p naar rechts en p omhoog te verschuiven.”
Vraag 4 (3p): in vraagstelling — randpunt van f_p ligt op grafiek van f_{p−1}; relatie tussen verschoven grafieken uit dezelfde familie.
Komt 2× voor, kernidee van het tweede deel van opgave “Altijd raak” (8 scorepunten samen).

Bewijzen en aantonen

Vraag 2 (5p): “Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.”
Vraag 3 (5p): “Bewijs dit.” (lijn k raakt f_p voor elke p≥1)
Vraag 4 (3p): “Bewijs dat inderdaad voor p≥1 geldt: het randpunt van de grafiek van f_p ligt op de grafiek van f_{p−1}.”
Vraag 15 (7p): “Bewijs dit.” (V = h·A)
Frasering: “Bewijs dit.”, “Toon dit aan…”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 20 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid, net als in andere tijdvakken.

Vergelijking van een lijn

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Een vergelijking van lijn l is y=x” (door randpunten A en B van f1 en f2).
Vraag 13 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Een vergelijking van k is y=10−¼x”, “Een vergelijking van m is y=−⅗x+40⅘”.
Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — middelloodlijn van AB: “y−5=4(x−20)”.
Komt 3× terug, telkens als tussenstap naar een snijpunt- of afstandsberekening.

Bepaalde integraal

Vraag 5 (5p): kernonderdeel — oppervlakte van V via een bepaalde integraal van het verschil van twee functies.
Vraag 9 (7p): kernonderdeel — ∫ van p tot 2p van g(x) dx = 0, gekoppeld aan f als primitieve (f(2p)−f(p)).
Vraag 15 (7p): kernonderdeel — V = π∫ van a tot b van (√x)² dx.
Komt 3× voor, elke keer kernonderdeel (19 scorepunten samen). Let op: aanvulling op het correctievoorschrift (2019-1) verruimt bij v5 en v9 de scoring van bepaalde deelantwoorden (0, 1 of 2 punten toegestaan i.p.v. alles-of-niets).

Primitieve functie

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van de verschilfunctie wordt expliciet opgesteld.
Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f wordt gebruikt als primitieve van g (fundamentaalstelling).
Vraag 15 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van x is ½x².
Komt 3× voor, telkens noodzakelijke tussenstap onder Bepaalde integraal.

Oppervlakte met integralen

Vraag 5 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en de grafiek van f1. Bereken exact de oppervlakte van V.”
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 6 (3p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 7 (6p): “Geef je eindantwoord in gehele meters.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Bovendien is er dit tijdvak een aanvulling op het correctievoorschrift (2019-1) die bij v5, v9 en v14 expliciet extra scoreruimte (0/1/2 punten) toevoegt aan specifieke antwoordelementen.
Komt 2× expliciet terug in de vraagstelling, plus de aanvulling is een tijdvak-specifiek aandachtspunt.

Vector

Vraag 7 (6p): in vraagstelling — “De twee krachten kun je weergeven met twee vectoren. De som van deze twee vectoren is een vector die een verticale kracht weergeeft.”
Vraag 12 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — PQ en QR als vectoren genoteerd.
Vraag 14 (8p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, AP en BP expliciet als vectoren opgesteld.
Komt 3× voor, in v14 volledig kernonderdeel van de oplosmethode.

Productregel

Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — g(x)=f’(x) waarbij f(x)=x·ln(x)−x+1; productregel nodig voor x·ln(x) (afgeleide 1·ln(x)+x·(1/x)).
Komt 1× voor, essentiële rekenstap (1 van de 5 scorepunten).

Logaritmische functie

Vraag 8 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=x·ln(x)−x+1, g=f’.
Vraag 9 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, integraal van g over [p, 2p], eindantwoord in de vorm p=a·e
Frasering: opgavetitel “Een logaritmische functie en haar afgeleide”. Komt 2× terug, dominant thema van de hele opgave (12 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 10 (6p): kernonderdeel — cos(x)/(cos²(x)−1)=2 herleiden tot 2cos²(x)−cos(x)−2=0 en exact oplossen.
Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — teller en noemer van f_p gelijkstellen aan 0 (sin²(x)=1, cos(x)=0 e.d.).
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel van opgave “Gebroken goniometrische functie” (12 scorepunten samen).

Grondformule van de goniometrie

Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin²(x)+cos²(x)=1 gebruikt om de noemer p−sin²(x) te herschrijven in cos²(x).
Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — zelfde herleiding, sin²(x)=1 ⇒ cos²(x)=0 e.d.
Komt 2× voor, telkens kernstap van de herleiding (meerdere scorepunten hangen hiervan af).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 11 (6p): kernonderdeel — “Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van f_p perforaties heeft.” Correctievoorschrift werkt expliciet met lim_{x→½π} f1(x) om te bepalen of er een perforatie (ophefbare discontinuïteit) dan wel een asymptoot is.
Frasering: “Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van f_p perforaties heeft.” Komt 1× voor, volledige vraag (6p) — dit tijdvak een expliciete, zware toepassing van dit onderwerp.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “de onderbouwde constatering dat de grafiek van f1 bij x=½π (en voor de andere waarden van x) een verticale asymptoot heeft.”
Komt 1× voor, als alternatieve redenering naast de limietbenadering binnen dezelfde vraag.

Inproduct

Vraag 12 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — PQ·QR=0 als loodrechte voorwaarde, uitgewerkt met vectorcoördinaten.
Vraag 14 (8p): kernonderdeel — “∠APB=90°, dus AP·BP=0”, inproduct van AP en BP uitgeschreven en gelijkgesteld aan 0.
Komt 2× voor, in v14 de hoofdmethode (meerdere scorepunten).

Parametervoorstelling

Vraag 13 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De baan van een punt P is gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: x=18+5t, y=30−3t.” Lijn m als parametervoorstelling.
Vraag 14 (8p): idem, zelfde parametervoorstelling gebruikt om coördinaten van P (en driehoek ABP) te onderzoeken.
Komt 2× terug, basis van de hele opgave “Driehoek met bewegend hoekpunt” (13 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 13 (5p): in vraagstelling — “bewegingsvergelijkingen” frasering voor de baan van punt P, kinematica-achtige formulering van een parametervoorstelling.
Vraag 14 (8p): idem, zelfde beweging van P gebruikt.
Komt 2× voor, zwak/indirect (vragen zelf zijn gericht op vectoren/meetkunde, niet op snelheid/versnelling; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak, net als in andere tijdvakken).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “∠APB=90°, dus P ligt op de cirkel met middellijn AB” (stelling van Thales).
Komt 1× voor, als één van meerdere gelijkwaardige oplosroutes binnen dezelfde vraag.

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 14 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — meetkundige redenering met het vierkant op diagonaal AB en de loodrechte diagonaal door het midden, om een positie van P te vinden/uit te sluiten.
Komt 1× voor, als alternatieve (meer meetkundige) route naast de algebraïsch/vectoriële hoofdroute.

Omwentelingslichaam

Vraag 15 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde … Voor de inhoud V geldt de formule V=h·A. Bewijs dit.” Combineert inhoudsberekening via integraal met een algebraïsch/meetkundig bewijs van de gegeven formule.
Komt 1× voor, volledige vraag (7p), zwaarste vraag van het tijdvak samen met vraag 14.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2019-tijdvak1-digest