Digest 2019 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (76 punten). 32 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Minimale lengte (v1), Bewegend punt (v2-3), Raaklijn in knikpunt (v4), Optimale snijsnelheid (v5-7), Oppervlakte onder een sinusgrafiek (v8-9), Horizontale en verticale asymptoot (v10), Wind aan zee (v11-12, met uitwerkbijlage), Twee logaritmische functies (v13-15), Parabool en cirkel met variabele straal (v16-17).

Optimaliseren

Vraag 1 (4p): kernonderdeel — f(x) = x(x−3)² − 2, punt A(7,0), P op de grafiek, lengte AP minimaliseren. Frasering: “Bereken deze minimale lengte.” Correctievoorschrift: AP = √((7−p)² + (f(p))²), minimum bepalen met de GR, antwoord 4,35.
Vraag 7 (5p): kernonderdeel — snelheid V waarbij het aantal geboorde gaten A per 24 uur maximaal is, via dA/dV = 0.
Komt 2× voor dit tijdvak (9 scorepunten samen), beide keren volledige vraag.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 1 (4p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 3 (6p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 5 (4p): “Geef m in twee decimalen en C als geheel getal.”
Vraag 7 (5p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 9 (4p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 12 (5p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 13 (4p): “Geef je eindantwoorden in twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (1 scorepunt aftrek bij doorrekenen met afgeronde tussenantwoorden, tenzij de context afronden van tussenstappen vereist) geldt voor het hele examen. Komt 7× expliciet terug in de vraagstelling — het dominantste terugkerende instructie-element dit tijdvak.

Algebraïsch en exact

Vraag 3 (6p): “Bereken algebraïsch de hoek … tussen deze twee snelheidsvectoren.”
Vraag 4 (5p): “Stel op exacte wijze een vergelijking van lijn l op.”
Vraag 5 (4p): “Bereken algebraïsch de waarden van m en C.”
Vraag 12 (5p): “Bereken algebraïsch de snelheid … van de resulterende wind.”
Vraag 15 (2p): “Bereken exact deze grenswaarde.”
Vraag 16 (5p): “Bereken exact voor welke waarden van r de cirkel en de parabool drie gemeenschappelijke punten hebben.”
Vraag 17 (5p): “Bereken exact deze waarde van r.”
Zeer dominant dit tijdvak: 7 van de 17 vragen expliciet “algebraïsch”/“exact” (samen 32 scorepunten), vergelijkbaar met het gewicht van dit type opdracht in 2025 tijdvak 1.

Bewijzen en aantonen

Vraag 8 (4p): “Bewijs dat deze formule voor A(p) juist is.” (A(p) = 4cos(p))
Vraag 10 (7p): “Bewijs dat B het midden is van lijnstuk AC.” Zwaarste bewijsvraag dit tijdvak (7 punten).
Vraag 14 (3p): “Bewijs dat deze formule voor CD/CE juist is.”
Frasering: “Bewijs dat … juist is.” Komt 3× voor (samen 14 scorepunten), telkens een gegeven formule/bewering algebraïsch verifiëren (niet een meetkundig bewijs met stellingen).

Parametervoorstelling

Vraag 2 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t) = cos(2t) − sin(2t), y(t) = sin(2t) − sin(t), 0 ≤ t ≤ 2π. “Op een van die tijdstippen bevindt P zich links van de y-as. … Bereken exact de x-coördinaat van P op dit tijdstip.”
Vraag 3 (6p): in vraagstelling — zelfde kromme, snelheidsvectoren op t=0 en t=π vergeleken.
Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Bewegend punt” (10 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 2 (4p): in vraagstelling — “de beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen.”
Vraag 3 (6p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, snelheidsvector als afgeleide van de positievector: x’(t) = −2sin(2t) − 2cos(2t), y’(t) = 2cos(2t) − cos(t).
Komt 2× voor (10 scorepunten), sterker/directer verband dan in 2025 tijdvak 1 (waar de “bewegingsvergelijking”-frasering vooral cosmetisch was) — hier wordt de snelheidsvector zelf gescoord.

Afgeleide functie

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t), y’(t) als afgeleiden van de bewegingsvergelijkingen.
Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekend op het linkerdeel van de grafiek, lim_{x↑2} f’(x) = −3.
Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dA/dV opgesteld en gelijkgesteld aan 0.
Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere regel-notities (Productregel/Quotiëntregel/Standaardafgeleiden).

Inproduct

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (eerste oplosmethode) — cos(φ) = (v₁·v₂)/(|v₁|·|v₂|) toegepast op de twee snelheidsvectoren (−2,1) en (−2,3), geeft cos(φ) = 7/√65.
Komt 1× voor, kernstap van één van de twee toegestane oplosmethoden (3 van de 6 scorepunten).

Vector

Vraag 3 (6p): snelheidsvectoren als kolomvectoren genoteerd, hoek ertussen berekend.
Vraag 11 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, wind als vector met lengte 1 cm = 1 m/s; wᵣ = w_z + w_d optellen/aftrekken van vectoren, tekenen op uitwerkbijlage.
Vraag 12 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, vectoren w_d (5 m/s zuidwestelijk), w_z (3 m/s loodrecht op kustlijn), resulterende w_r berekenen.
Frasering: “wind heeft een richting en een snelheid. Daarom kan wind als een vector worden weergegeven.” Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Wind aan zee” (9 scorepunten samen), inclusief tekenwerk op de uitwerkbijlage.

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel |w_r|² = 3² + 5² − 2·3·5·cos(75°), met de hoek tussen de zijden van lengte 3 en 5 afgeleid uit de gegeven richtingen.
Komt 1× voor, als volwaardig alternatief voor de vectoriële (coördinaten-)methode.

Absolute-waardefunctie

Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = |x−2|·(½x+2) + 1, knik in het punt A door de absolute waarde.
Komt 1× voor, bepaalt de hele opzet van de opgave “Raaklijn in knikpunt” (5p).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — de helling van raaklijn l wordt gevonden via lim_{x↑2} f’(x) = −3 (linkerlimiet van de afgeleide, omdat f alleen voor x<2 met dat voorschrift geldt). Opmerking in het correctievoorschrift: notatie f’(2) = −3 in plaats van de limietnotatie wordt niet afgekeurd.
Komt 1× voor, essentiële (en expliciet zo benoemde) stap bij een functie met een knikpunt.

Raaklijn

Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de lijn l is de raaklijn in A aan het linkerdeel van de grafiek.”
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Productregel

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = −(x−2)·(½x+2) + 1 voor x<2 differentiëren als product van twee factoren: f’(x) = −1·(½x+2) − (x−2)·½.
Komt 1× voor, kernstap (2 van de 5 scorepunten).

Vergelijking van een lijn

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — met helling −3 en punt A(2,1) de vergelijking y = −3x + 7 opstellen.
Komt 1× voor, sluitstuk van de opgave “Raaklijn in knikpunt”.

Standaardafgeleiden

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel toegepast binnen de productregel-stap.
Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel op V⁴-termen bij het differentiëren van de noemer van A.
Komt 2× terug, steeds als basistechniek verweven met een grotere regel (product-/quotiëntregel), geen losse scorepunten specifiek voor de standaardregel zelf.

Quotiëntregel

Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — A = 432V / (V⁴/150⁴ + 1) differentiëren als quotiënt, dA/dV via (f’·g − f·g’)/g².
Komt 1× voor, kernstap van de hele vraag (het grootste deel van de 5 scorepunten hangt hiervan af).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 7 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “uit de grafiek blijkt dat er een snelheid is waarbij het aantal geboorde gaten per 24 uur maximaal is”, extreme waarde bepalen via dA/dV = 0.
Komt 1× voor, kernidee van de vraag naast de rekentechniek (Quotiëntregel).

Functievoorschrift

Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Leid deze formule voor A af uit de aannames a, b, c en d.” Functievoorschrift A = 432V/(V⁴/150⁴+1) opgebouwd uit N=0,3V, T=(150/V)⁴ en d=T/(T+2).
Komt 1× voor, volledige vraag (5p) — een van de zwaardere “afleiden”-vragen die in het cross-refereerde materiaal is gezien.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 1 (4p): impliciet — “Beschrijven hoe het minimum hiervan (met de GR) bepaald kan worden” staat expliciet als scorepunt in het correctievoorschrift.
Vraag 9 (4p): impliciet — “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” als apart scorepunt.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) zichtbaar in het correctievoorschrift bij v1 en v9. Komt 2× expliciet terug als eigen scorepunt.

Bepaalde integraal

Vraag 8 (4p): kernonderdeel — A(p) = ∫ van p tot π−p van 2sin(x) dx, bewijs dat dit gelijk is aan 4cos(p).
Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte-vergelijking met een bepaalde integraal als alternatieve oplosroute.
Vraag 17 (5p): kernonderdeel — inhoud van het omwentelingslichaam van de parabool via ∫ πy dy van 0 tot r.
Komt 3× voor (14 scorepunten samen), telkens kernonderdeel.

Primitieve functie

Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 2sin(x) is −2cos(x), gebruikt om A(p) te bewijzen.
Vraag 17 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van πy is ½πy².
Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap in een bewijs/berekening (niet los gescoord, wel onmisbaar).

Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — −cos(π−p) = cos(p) (herleidingsformule) gebruikt om A(p) te herleiden tot 4cos(p); alternatieve methode gebruikt expliciet “vanwege de symmetrie van f” om de integraal te halveren.
Komt 1× voor, kernstap van het bewijs bij vraag 8 (meerdere van de 4 scorepunten hangen hiervan af).

Oppervlakte met integralen

Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, oppervlakte A(p) van het grijze gebied tussen f, de x-as en de lijnen x=p en x=π−p.
Vraag 9 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, oppervlakte van deelgebied W gelijkstellen aan de helft van A(p) om p te bepalen.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Oppervlakte onder een sinusgrafiek” (8 scorepunten samen).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 2 (4p): kernonderdeel — sin(2t) = sin(t) oplossen voor t (via 2t = t + k·2π of 2t = π − t + k·2π), of via ontbinden in factoren (sin(t)=0 of cos(t)=½).
Vraag 9 (4p): kernonderdeel — (π−2p)·2sin(p) = ½·4cos(p) numeriek oplossen (GR), p ≈ 0,41.
Vraag 13 (4p): kernonderdeel — log-vergelijking oplossen voor q, twee oplossingen q ≈ −0,20 en q ≈ 0,34.
Komt 3× voor, telkens kernonderdeel (12 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2t) = sin(t) oplossen levert t = 0, ⅓π, π, 1⅔π, 2π.
Komt 1× voor, kernstap van vraag 2 (2 van de 4 scorepunten).

Exponentiële functie

Vraag 10 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = (e^(2x) − 1000)/(e^x − 10), horizontale asymptoot via lim_{x→−∞} e^x = 0 en lim_{x→−∞} e^(2x) = 0.
Komt 1× voor, volledige (en zwaarste) vraag van dit tijdvak (7p).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 10 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, horizontale asymptoot y=100 en verticale asymptoot x=ln(10) bepalen en gebruiken om te bewijzen dat B het midden is van AC.
Vraag 15 (2p): in vraagstelling — kernonderdeel, grenswaarde van CD/CE als p onbegrensd toeneemt: lim (2−log(p))/log(p) = 2.
Frasering: “Als a/p onbegrensd toeneemt, nadert … tot een grenswaarde.” Komt 2× voor (9 scorepunten samen), zelfde frasering als in 2025 tijdvak 1 (v17).

Logaritmische functie

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking 20·116^m = 30·40^m opgelost via logaritmen: m = log(1,5)/log(2,9).
Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = log(√x) = ½log(x) en g(x) = log(x·√x) − 1 = 1½log(x) − 1, lijn y=q snijdt beide grafieken, AB=3 oplossen.
Vraag 14 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, verhouding CD/CE = (2log(p) − 2)/log(p) bewijzen met f en g uit v13.
Vraag 15 (2p): in vraagstelling — grenswaarde van diezelfde verhouding.
Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Twee logaritmische functies” (13 scorepunten) plus één keer als rekentechniek bij “Optimale snijsnelheid” (v5).

Vergelijking van een cirkel

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M(0,r) en straal r: x² + (y−r)² = r².
Komt 1× voor, basis van de hele opgave “Parabool en cirkel met variabele straal” (5p).

Omwentelingslichaam

Vraag 17 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “wanneer de cirkel wordt gewenteld om de y-as, ontstaat een bol”; gebieden V en W gewenteld om de y-as, inhouden gelijkstellen om r te bepalen (r = 8/3).
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Notatiefouten bij Wiskunde B

Algemeen: vakspecifieke regel 1 (“voor elke rekenfout of verschrijving in de berekening wordt 1 scorepunt in mindering gebracht tot het maximum van het aantal scorepunten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven”) staat expliciet in het correctievoorschrift van dit tijdvak en geldt voor het hele examen.
Komt niet aan één specifieke vraag gebonden voor, maar is generiek van toepassing — net als in 2025 tijdvak 1.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2019-tijdvak2-digest