Digest 2021 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 14 vragen (74 punten). 36 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Parabool en twee lijnen (v1), Goniometrische functies (v2-4), Aardbevingen (v5-7), Een vierkant en vier vectoren (v8-9), Limiet van een verhouding (v10), Gebroken functie met een parameter (v11-12), Absolute natuurlijke logaritme (v13), P en Pʹ (v14).

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (8p): “Bereken exact de oppervlakte van V.” Kernonderdeel — hele opgave loopt uit op exacte oppervlakteberekening.
Vraag 2 (4p): “Bereken exact de x-coördinaten van P en Q.”
Vraag 6 (6p): “Bereken algebraïsch de coördinaten van de twee mogelijke plaatsen van het epicentrum.”
Vraag 10 (4p): “Bereken exact deze limiet.”
Vraag 13 (6p): “Bereken exact deze waarde van q.”
Vraag 14 (6p): “Bereken exact de x-coördinaat van P’.”
Typische frasering: “Bereken exact …” / “Bereken algebraïsch …”. Zeer dominant: 6 van de 14 vragen, samen 34 scorepunten. Vergelijkbaar dominant als in 2025-tv1.

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 1 − 2x, machtsregel toegepast op x en x².
Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 2cos(x) − 2cos(2x), k’(x) = 1/(2cos²(x)).
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van f_p(x) via de macht x³ en x⁻².
Komt 3× terug, steeds als basistechniek onder een grotere afleiding (geen losse scorepunten specifiek voor de regel, wel noodzakelijke stap).

Afgeleide functie

Vraag 1 (8p): f’(x) bepalen om rcl (richtingscoëfficiënt raaklijn in oorsprong) te vinden.
Vraag 4 (4p): f’(x) en k’(x) bepalen om raakvoorwaarde te bewijzen.
Vraag 12 (5p): f_p’(x) bepalen om de x-coördinaat van de top te vinden.
Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip.

Somregel en verschilregel

Vraag 1 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = x − x² term voor term gedifferentieerd: f’(x) = 1 − 2x.
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 1.

Vergelijking van een lijn

Vraag 1 (8p): kernonderdeel — richtingscoëfficiënt raaklijn l (rcl = f’(0) = 1), loodrechte lijn m (rcm = −1 uit rcl·rcm = −1), vergelijking van m opstellen via ½ = −½ + b.
Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vergelijking van de lijn door M loodrecht op PB opstellen via richtingscoëfficiënten.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — bewijzen dat toppen op de lijn y = 1½x liggen.
Komt 3× terug (8+7+5 = 20 scorepunten betrokken), telkens als route naar een exact of algebraïsch eindresultaat.

Raaklijn

Vraag 1 (8p): in vraagstelling — “De lijn l is de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong.” Uitgangspunt van de hele opgave.
Vraag 4 (4p): in vraagstelling — “De grafiek van k raakt de grafiek van f in een punt met x-coördinaat ⅓π. Bewijs dat … de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.” Kernonderdeel: raakvoorwaarde tussen twee grafieken (gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
Frasering: “de raaklijn aan de grafiek van f” / “raakt de grafiek van … de grafiek van …”. Komt 2× voor (12 scorepunten samen).

Bewijzen en aantonen

Vraag 4 (4p): “Bewijs dat voor x = ⅓π de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.”
Vraag 8 (6p): “Bewijs dat voor elke waarde van p de hoek tussen de vectoren … gelijk is aan …”
Vraag 11 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f1 boven deze scheve asymptoot ligt.”
Vraag 12 (5p): “Bewijs dat er een lijn is waarop al deze toppen liggen.”
Frasering: “Bewijs dat…”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 18 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid, iets minder frequent dan in 2025-tv1 (6×) maar nog steeds substantieel.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 4 (4p): kernonderdeel — bewijs via f’(⅓π) = k’(⅓π) = 2 (afgeleiden gelijkstellen als raakvoorwaarde), naast f(⅓π) = k(⅓π).
Vraag 12 (5p): ondersteunend — f_p’(x) = 0 oplossen als stap in het bewijs dat toppen op een lijn liggen.
Komt 2× voor (4p kernonderdeel, 5p met differentiëren als route, niet als hele bewijs).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — bewijs via gelijkvormige driehoeken: “△CAP is gelijkvormig met △CAR” resp. “△OPC is gelijkvormig met △OCQ”, Z-hoeken.
Komt 1× voor, als meetkundige (niet-vector) route naast de hoofdmethode met inproduct.

Vector

Vraag 8 (6p): in vraagstelling — vectoren CP, CA, CQ gegeven in figuur, kernonderdeel van de hoekbewijs.
Vraag 9 (7p): in vraagstelling — vector QM, lijnstuk PB als vector.
Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vectoren OP, OP’ met hoek 120° ertussen.
Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Een vierkant en vier vectoren” en alternatieve route bij v14 (19 scorepunten samen).

Inproduct

Vraag 8 (6p): kernonderdeel — cos(hoek) = (v·w)/(|v||w|) herhaaldelijk toegepast om cos(∠PCA) en cos(∠ACQ) te berekenen en gelijk te stellen.
Vraag 9 (7p): kernonderdeel (hoofdmethode) — PB·QM = 0 als loodrechtheidsvoorwaarde.
Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cos(120°) = (OP·OP’)/(|OP||OP’|).
Frasering: “loodrecht staat op” (⇒ inproduct = 0), “de hoek tussen de vectoren … is gelijk aan …”. Komt 3× terug, telkens kernonderdeel of hoofdroute (19 scorepunten samen) — sterk aanwezig dit tijdvak.

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 2 (4p): kernonderdeel — sin(x) = sin(2x) oplossen via x = 2x + k·2π of x = π − 2x + k·2π (met k geheel), plus alternatieve methode via sin(x) = 0 of cos(x) = ½.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Som- en verschilformules

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — 2sin(x) − sin(2x) = sin(2x) herleid met sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (verdubbelingsformule, staat op de formulekaart bovenaan het examen).
Komt 1× terug, ondersteunend (formule zelf op formulekaart, scorepunten voor correcte toepassing).

Transformaties van grafieken

Vraag 3 (5p): in vraagstelling — “De grafiek van g wordt 1 omhoog geschoven. Zo ontstaat de grafiek van de functie h.” Verticale translatie van een grafiek.
Komt 1× voor, uitgangspunt van vraag 3.

Oppervlakte met integralen

Vraag 1 (8p): kernonderdeel — oppervlakte van V berekend als ∫(−x²+2x+¾) dx over het interval tussen de snijpunten.
Vraag 3 (5p): in vraagstelling — “Bereken de oppervlakte van V met behulp van primitiveren.” Oppervlakte tussen f en h via ∫(f−h) dx.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (13 scorepunten samen).

Primitieve functie

Vraag 1 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van −x²+2x+¾ opgesteld: −⅓x³+x²+¾x.
Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van f−h is 2cos(x) − cos(2x) − x.
Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap naar een oppervlakte (2 van de 13 betrokken scorepunten specifiek voor de primitieve).

Bepaalde integraal

Vraag 1 (8p): kernonderdeel — grenzen invullen in de primitieve levert de exacte oppervlakte 1⅙.
Komt 1× voor dit tijdvak.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 3 (5p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 6 (6p): “Geef de coördinaten in je eindantwoord als gehele getallen.”
Vraag 7 (6p): “Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 9 (7p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 4× expliciet terug in de vraagstelling.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 3 (5p): impliciet — snijpunten van f en h numeriek gegeven (1,33 en 2,97), duidt op GR-gebruik.
Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost.”
Vraag 7 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost.”
Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost.”
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”). Komt 4× terug als expliciete toelichtingsstap in het correctievoorschrift.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 7 (6p): kernonderdeel — stelsel {a − 7,5b = log(4,5), a − 6b = log(285,5)} oplossen voor a en b.
Komt 1× duidelijk voor (lineair stelsel); vraag 5 gebruikt ook de term “stelsel” in het correctievoorschrift maar is niet-lineair (6 = d/t, 3,5 = d/(t+17)), dus losstaand vermeld onder Aardbevingen.

Logaritmische functie

Vraag 7 (6p): kernonderdeel — log(4,5) en log(285,5) in het stelsel voor a en b van het Gutenberg-Richter-model.
Vraag 13 (6p): kernonderdeel — hele opgave draait om f(x) = ln(x) resp. ln|x|, en ln(b) = −ln(4b) oplossen.
Komt 2× voor, in beide gevallen kernonderdeel (12 scorepunten samen).

Exponentiële functie

Vraag 7 (6p): in vraagstelling — model N = 10^(a−bM), vorm a·g^x met grondtal 10 en exponent −bM.
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Absolute-waardefunctie

Vraag 13 (6p): kernonderdeel — f(x) = ln(x) is in de opgave feitelijk ln|x| (“absolute natuurlijke logaritme”); correctievoorschrift werkt expliciet met ln(xC) = ln(xC) (want ln(xC) > 0) en −ln(xB) (want ln(xB) < 0) om punt B met negatieve x-coördinaat te behandelen.
Frasering: opgavetitel zelf (“Absolute natuurlijke logaritme”). Komt 1× voor, maar volledig kernonderdeel van de hele opgave (6p).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 1 (8p): kernonderdeel — x² − 2x − ¾ = 0 exact oplossen (kwadratische vergelijking) om de snijpunten van m en de grafiek van f te vinden.
Vraag 13 (6p): kernonderdeel — eq = 4e⁻q oplossen (herleid tot e²q = 4), en ln(b) = −ln(4b) oplossen.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (14 scorepunten samen).

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 6 (6p): kernonderdeel — twee cirkelvergelijkingen x²+y²=240² en (x−192)²+(y−128)²=80² van elkaar aftrekken levert een lijn (y = 1,5x − 408), die vervolgens in één van de cirkelvergelijkingen wordt gesubstitueerd om de snijpunten te vinden.
Komt 1× voor, volledige vraag (6p) — klassieke techniek cirkel-cirkelstelsel herleiden tot lijn-cirkelstelsel.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 6 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — x²+y²=240² (cirkel om S) en (x−192)²+(y−128)²=80² (cirkel om T).
Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “P ligt op de cirkel met middelpunt O en straal p: x²+y²=p².”
Komt 2× voor (12 scorepunten samen).

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel toegepast in driehoek STE: 80² = 240² + 230,75…² − 2·240·230,75…·cos(∠EST).
Komt 1× voor, als alternatieve (meetkundige) route naast de algebraïsche route met cirkelvergelijkingen.

Kinematica met vectoren

Vraag 10 (4p): in vraagstelling — “De beweging van een punt P wordt beschreven door de volgende bewegingsvergelijkingen: x(t) = t², y(t) = t² − 2t.” Expliciete “bewegingsvergelijkingen”-frasering.
Komt 1× voor, uitgangspunt van de opgave “Limiet van een verhouding”.

Parametervoorstelling

Vraag 10 (4p): in vraagstelling — x(t) = t², y(t) = t² − 2t als parametervoorstelling van de baan van P, met de lijn x = a die deze baan snijdt in R en S.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de opgave.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 10 (4p): kernonderdeel — “Als a onbegrensd toeneemt, nadert de verhouding QR/QS tot een limiet. Bereken exact deze limiet.” Limietgedrag voor a → ∞.
Vraag 11 (3p): kernonderdeel — scheve asymptoot van f1 bepalen (4/x² nadert 0 als x onbegrensd toeneemt) en bewijzen dat de grafiek erboven ligt.
Frasering: “onbegrensd toeneemt”, “scheve asymptoot”. Komt 2× voor (7 scorepunten samen).

Quotiëntregel

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x) = (x²·3x² − (x³+4p)·2x)/x⁴ herleid uit f_p(x) = (x³+4p)/x², expliciete quotiëntregelvorm.
Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap (1 van de 5 scorepunten specifiek voor de correcte afgeleide).

Samengestelde functies

Vraag 12 (5p): impliciet — f_p(x) = (x³+4p)/x² is een quotiëntfunctie van twee machtsfuncties, waarvan de top bepaald moet worden.
Komt 1× voor, conceptuele basis onder de Quotiëntregel-toepassing (geen losse scorepunten specifiek voor het herkennen van de functiestructuur).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 12 (5p): kernonderdeel — f_p’(x) = 0 oplossen levert de x-coördinaat van de top (extreme waarde) als functie van p.
Komt 1× voor, kernstap van de opgave (5p).

Kettingregel

Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 2cos(x) − 2cos(2x), afgeleide van cos(2x) vereist kettingregel.
Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs.

Machtsfunctie

Vraag 14 (6p): in vraagstelling — f(x) = √(6x), wortelfunctie (machtsfunctie met exponent ½) als basis van de opgave.
Komt 1× voor, functietype waarop de hele opgave “P en Pʹ” is gebaseerd.

Radialen

Vraag 4 (4p): in vraagstelling — x-coördinaat van het raakpunt is ⅓π, goniometrische functies doorgaans in radialen bij Wiskunde B.
Komt 1× expliciet voor als hoekwaarde in radialen (de hoek 120° bij vraag 14 wordt juist wél in graden gegeven, dus niet meegeteld hier).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2021-tijdvak1-digest