Digest 2021 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 16 vragen (72 punten). 35 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Kromme K (v1-3), Vectoren spiegelen (v4-5), Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie (v6-7), Bankenformules (v8-10), Twee wortelgrafieken (v11-12), Asymptoten en raaklijnen (v13-14), Driehoek in cirkel (v15-16).

Parametervoorstelling

Vraag 1-3 (3p elk, 9p totaal): in vraagstelling — kernonderdeel van opgave “Kromme K”, gegeven door bewegingsvergelijkingen x(t)=cos³(t), y(t)=sin³(t), 0≤t≤½π.
Frasering: “De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen”. Dominant thema van de hele eerste opgave (9 scorepunten).

Kettingregel

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t)=−3cos²(t)·sin(t), y’(t)=3sin²(t)·cos(t) (macht van cos(t)/sin(t) differentiëren, kettingregel nodig).
Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — A’(x) afleiden van A(x)=x/100−ln(1+x/100), kettingregel voor ln(1+x/100).
Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — g’(½p) afleiden van g(x)=√(2x), kettingregel voor de samengestelde wortelfunctie.
Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=(1/x²)·e^(1/x) afleiden van f(x)=e^(1/x), kettingregel voor de e-macht met inwendige functie 1/x.
Komt 4× terug, telkens als noodzakelijke rekenstap verweven met een groter antwoord (geen losse kettingregel-vraag).

Bewijzen met differentiëren

Vraag 1 (3p): kernonderdeel — bewijs dat de helling gelijk is aan sin(t)/cos(t), via x’(t) en y’(t).
Vraag 6 (4p): kernonderdeel — bewijs dat M het midden is van AB, met f_p’(2) als richtingscoëfficiënt van raaklijn l.
Vraag 9 (4p): kernonderdeel — “Bewijs met behulp van differentiëren dat de verticale afstand … groter wordt”, via A’(x) (of A”(x)) en tekenredenering.
Vraag 11 (6p): kernonderdeel — bewijs dat de hellingen van f in P en g in Q gelijk zijn, via f’(p) en g’(½p).
Frasering: “Bewijs met behulp van differentiëren dat…”. Komt 4× terug, samen 17 scorepunten — dominant bewijstype dit tijdvak.

Bewijzen en aantonen

Vraag 1-3 (3p elk): “Bewijs dit.” (drie keer, bij helling, raaklijnvergelijking, en lengte AB constant).
Vraag 6 (4p): “Bewijs dat M het midden is van lijnstuk AB.”
Vraag 8 (4p): “Bewijs dat deze formule voor T correct is.”
Vraag 9 (4p): “Bewijs met behulp van differentiëren dat…”
Vraag 11 (6p): “Bewijs dit.”
Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Zeer dominant: 7 van de 16 vragen zijn bewijsvragen (samen 27 scorepunten) — grootste vraagcategorie dit tijdvak.

Grondformule van de goniometrie

Vraag 2 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos²(t)=1−sin²(t) (of omgekeerd) gebruikt om aan te tonen dat het punt op de raaklijn ligt.
Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (het merendeel van de 3 scorepunten hangt hiervan af).

Algebraïsch en exact

Vraag 4 (4p): “Bereken exact deze waarden van p en q” — kernonderdeel.
Vraag 7 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van V” — kernonderdeel.
Vraag 12 (6p): “Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte…” — kernonderdeel.
Vraag 13 (3p): “Stel met behulp van exacte berekeningen vergelijkingen op…” — kernonderdeel.
Vraag 16 (5p): “Bereken exact deze grenswaarde” — kernonderdeel.
Typische frasering: “Bereken exact …”, “met behulp van exacte berekeningen”. Komt 5× voor (23 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 1-3: in vraagstelling — kromme K wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t).
Komt 3× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn gericht op differentiëren/raaklijn/afstand, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak, net als in 2025 tijdvak 1).

Vector

Vraag 4 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, vector OF en zijn spiegelbeeld OG, combinatie p·OF + q·OG.
Vraag 5 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, spiegeling van OF in lijn k onderzoeken.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Vectoren spiegelen” (9 scorepunten samen).

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — stelsel 7p−7q=7, 2p−2q=−3 exact oplossen (uit p·OF+q·OG = (7,−3)).
Komt 1× voor, kernonderdeel van het antwoord (2 van de 4 scorepunten).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 5 (5p): in vraagstelling — lijn k gegeven met een vectorvoorstelling; correctievoorschrift gebruikt ook een vectorvoorstelling van de loodlijn door F om het snijpunt S te vinden.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de hoofdmethode (gegeven ín de vraagstelling zelf).

Vergelijking van een lijn

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn k herschreven als y=¾x, loodlijn door F als y=−¾(x−7)+2.
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — lijn k: y=px, raaklijn l: y=(p−4)x+4.
Komt 2× voor, in beide gevallen als (alternatieve) rekenroute naast vectorvoorstelling/afgeleide.

Inproduct

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — hoek φ tussen OF en lijn k berekend via cos(φ) = (inproduct van richtingsvectoren) / (product van lengtes).
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute (niet de hoofdmethode, maar volledig scoregevend).

Machtsfunctie

Vraag 6 (4p): in vraagstelling — f_p(x)=¼x⁴−x³+px is een vierdegraadsfunctie (machtsfunctie-combinatie), basis van de hele opgave.
Vraag 7 (5p): in vraagstelling — zelfde functievoorschrift gebruikt voor de oppervlakteberekening.
Komt 2× voor als onderliggend functietype van opgave “Raaklijnen bij een vierdegraadsfunctie” (9 scorepunten samen).

Standaardafgeleiden

Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x)=x³−3x²+p (machtsregel op x⁴, x³, px).
Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — A’(x) via afgeleide van ln(1+x/100).
Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleides van f(x)=2√x en g(x)=√(2x).
Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van e
Komt 4× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord.

Afgeleide functie

Vraag 6, 9, 11, 14: telkens f’ of A’ als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities.
Komt 4× terug dit tijdvak.

Somregel en verschilregel

Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x)=x³−3x²+p, differentiëren van ¼x⁴−x³+px term voor term.
Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — A(x)=x/100−ln(1+x/100) term voor term gedifferentieerd.
Komt 2× voor, ondersteunende stap binnen een groter antwoord.

Raaklijn

Vraag 1-2 (3p elk): in vraagstelling — raaklijn aan kromme K in het punt (x(t),y(t)), en de vergelijking ervan.
Vraag 6 (4p): in vraagstelling — lijn l is “de raaklijn aan de grafiek van f_p in het punt A”.
Vraag 14 (7p): in vraagstelling — “De raaklijn aan de grafiek van f in een punt P snijdt de x-as in een punt S.”
Frasering: “de raaklijn aan … in het punt …”. Komt 4× voor (21 scorepunten samen betrokken), dominant thema.

Bepaalde integraal

Vraag 7 (5p): kernonderdeel — oppervlakte V via ∫₀⁴ (¼x⁴−x³+px − px) dx.
Vraag 12 (6p): kernonderdeel — oppervlakte via ∫₀⁴ (2√x−√(2x)) dx.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).

Primitieve functie

Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve −1/20 x⁵+¼x⁴ opgesteld.
Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve 4/3 x√x−2/3 x²√x opgesteld.
Komt 2× voor, noodzakelijke tussenstap bij beide integraalvragen.

Oppervlakte met integralen

Vraag 7 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van V” — kernonderdeel, vlakdeel tussen lijn k en grafiek van f_p.
Vraag 12 (6p): “Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS” — kernonderdeel.
Komt 2× voor, dominant thema van beide opgaven (11 scorepunten samen).

Exponentiële functie

Vraag 8 (4p): in vraagstelling — bij groeipercentage p hoort groeifactor (1+p/100), exponentiële groei van het spaarbedrag, basis van de “Bankenformules”-opgave.
Komt 1× voor, kernonderdeel (4p).

Logaritmische functie

Vraag 8 (4p): kernonderdeel — T = ln(2) / ln(1+p/100), logaritme nodig om T op te lossen uit de groeifactorvergelijking.
Vraag 13 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — inverse functie f_inv(x)=1/ln(x).
Komt 2× voor (7 scorepunten samen).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 9 (4p): kernonderdeel — teken van A’(x) (of A”(x)) gebruikt om te bewijzen dat de verticale afstand steeds toeneemt.
Vraag 14 (7p): kernonderdeel — x-coördinaat van S is maximaal wanneer de afgeleide van xS(p) nul is.
Komt 2× voor (11 scorepunten samen betrokken).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 10 (5p): kernonderdeel — vergelijking tussen de verschilformules van T,T1,T2 numeriek oplossen (GR) voor p.
Vraag 15 (5p): kernonderdeel — vergelijking cos(φ)/sin(φ) = cos(φ) (of gelijkwaardig) oplossen voor φ.
Komt 2× voor, telkens kernonderdeel (10 scorepunten samen).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 10 (5p): “Bereken dit rentepercentage p. Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 15 (5p): “Bereken de waarde van φ … Geef je eindantwoord in hele graden.”
Algemeen: vakspecifieke regel 1 (rekenfout/verschrijving −1 punt) en regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 2× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 10 (5p): kernonderdeel — numeriek oplossen van de vergelijking tussen verschilformules, “Beschrijven hoe bovenstaande verschilformules in een tabel kunnen worden weergegeven” (GR-gebruik).
Vraag 15 (5p): kernonderdeel — “Beschrijven hoe de vergelijking … kan worden opgelost” (GR-toelichting vereist).
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (toelichting op GR-gebruik) zichtbaar in het correctievoorschrift bij beide vragen. Komt 2× expliciet terug.

Samengestelde functies

Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — g(x)=√(2x) is een samengestelde (ketting)functie van de wortelfunctie met inwendige functie 2x, kettingregel nodig voor g’(x).
Komt 1× voor, ondersteunend aan het bewijs van gelijke hellingen.

Inverse functie

Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “heeft de grafiek van de inverse functie van f ook twee asymptoten”, asymptoten van de inverse van f(x)=e^(1/x) bepalen.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, horizontale en verticale asymptoten van f en van de inverse functie, via limietberekening (lim x→∞ e^(1/x) = 1, lim x→0⁺ e^(1/x) = ∞).
Vraag 16 (5p): in vraagstelling — “Als φ nadert naar 0, neemt de oppervlakte van driehoek MBC af tot een grenswaarde. Bereken exact deze grenswaarde.” Grenswaardeberekening analoog aan asymptotisch limietgedrag.
Frasering: “nadert naar”, “grenswaarde”. Komt 2× voor (8 scorepunten samen).

Optimaliseren

Vraag 14 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is. Bereken exact deze maximale waarde.” Afgeleide van xS(p) gelijkstellen aan 0.
Komt 1× voor, volledige (zwaarste) vraag van dit tijdvak (7p).

Buigpunten

Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f”(x)=0 gebruikt om het buigpunt van f(x)=e^(1/x) te vinden; de gevraagde raaklijn met grootste x-coördinaat van S blijkt de raaklijn in het buigpunt te zijn.
Komt 1× voor, in de alternatieve oplosroute (niet de hoofdmethode, maar volledig scoregevend).

Productregel

Vraag 14 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f”(x) berekenen als afgeleide van het product (1/x²)·e^(1/x) (combinatie van kettingregel en productregel).
Komt 1× voor, in de alternatieve oplosroute.

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M en straal 1 die lijn k raakt in punt A, “hoek OAM is dus 90°” (raaklijn ⊥ straal).
Vraag 16 (5p): in vraagstelling — zelfde cirkelconfiguratie, punt C op de cirkel met MC bissectrice van hoek AMB.
Frasering: “raakt … lijn k. Punt A is het raakpunt”. Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Driehoek in cirkel” (10 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 15 (5p): kernonderdeel — vergelijking met tan(φ)/sin(φ)/cos(φ) oplossen voor φ (numeriek, GR).
Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — hoek ∠BMA=90−2φ, ∠BMC=45−φ herleid uit goniometrische relaties.
Komt 2× voor, telkens als kernstap richting het eindantwoord.

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte van driehoek MBC berekend als ½·MB·MC·sin(∠BMC) = ½sin(45°) (oppervlakteformule met sinus, MB=MC=1 als straal).
Komt 1× voor, zwak/ondersteunend (alleen de oppervlakteformule met sinus wordt gebruikt, geen klassieke sinus- of cosinusregel-toepassing op een schuine driehoek).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2021-tijdvak2-digest