Digest 2021 tijdvak 3 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 16 vragen (73 punten). 32 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Onbekende zijde (v1), Spookje (v2-5), Hoogwater (v6-9), Twee halve cirkels (v10), Twee bewegende punten (v11-13), Een derdegraadsfunctie (v14-16).

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 1 (4p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, volledige openingsvraag. Driehoek ABC met AB=4, BC=12, M midden van BC, AM=5. Cosinusregel toegepast in twee deeldriehoeken (ABM+ABC, of AMB+AMC) om AC exact/algebraïsch te vinden. Frasering: “Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Correctievoorschrift geeft ook een alternatieve, niet-goniometrische route (stelsel via loodrechte projectie/Pythagoras) — cosinusregel is de hoofdroute maar niet de enige geldige.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (4p): “Bereken algebraïsch de lengte van AC.”
Vraag 3 (6p): “Bereken exact het aantal waarden van p waarvoor de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.”
Vraag 5 (4p): “Bereken exact de oppervlakte van V.”
Vraag 6 (5p): “Bereken algebraïsch de herhalingstijd in jaren.”
Vraag 11 (5p): “Bereken exact dit tijdstip.”
Vraag 13 (4p): “Bereken exact op welk tijdstip de x-coördinaat van P3 gelijk is aan 3.”
Vraag 16 (6p): “Bereken exact de y-coördinaat van S.”
Typisch frasering: “Bereken algebraïsch …” / “Bereken exact …”. Zeer dominant dit tijdvak: 7 van de 16 vragen, samen 34 scorepunten.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 2 (6p): kernonderdeel — “Bewijs dat inderdaad geldt: f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x).” Afleiding via productregel en goniometrische identiteiten, alle 6 punten hangen af van correcte differentiaal-/herleidingsstappen.
Vraag 7 (5p): kernonderdeel — “Bewijs dit” voor dC/dT = b / (T·(T−1)·ln(T/(T−1))) (formule 2), differentiëren van een samengestelde logaritmische functie.
Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (11 scorepunten samen).

Productregel

Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = cos(x)·cos(2x) + sin(x)·(−2sin(2x)) als eerste stap in het bewijs van f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x); differentiëren van het product sin(x)·cos(2x).
Komt 1× voor, essentiële openingsstap van het bewijs (1 van de 6 scorepunten expliciet, rest hangt er verder van af).

Grondformule van de goniometrie

Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — herleiding gebruikt 4sin²(x)cos(x) = 4cos(x)(1−cos²(x)), dus sin²(x)=1−cos²(x) als tussenstap in het bewijs van f’(x).
Komt 1× voor, tussenstap in een groter bewijs (1 van de 6 scorepunten).

Som- en verschilformules

Vraag 2 (6p): impliciet — cos(2x) wordt herleid via de verdubbelingsformule (op de formulekaart) naar 2cos²(x)−1, nodig voor het bewijs van f’(x).
Vraag 4 (3p): kernonderdeel — “Bewijs dat ½(sin(3x)+sin(x)) = sin(x)cos(2x)”, expliciet via de vorm sin(t+u), sin(t−u) van de formulekaart (t=2x, u=x).
Frasering: “Dit kan bijvoorbeeld worden bewezen door de vorm sin(t+u) ± sin(t−u) voor een geschikte keuze van t en u te herleiden.” Komt 2× voor (9 scorepunten samen), beide keren als kernbewijstechniek met de formulekaart.

Bewijzen en aantonen

Vraag 2 (6p): “Bewijs dat inderdaad geldt: f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x).”
Vraag 4 (3p): “Bewijs dat ½(sin(3x)+sin(x)) = sin(x)cos(2x).”
Vraag 7 (5p): “Bewijs dit.” (formule voor dC/dT)
Vraag 8 (5p): “Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is…”
Vraag 12 (3p): “Bewijs dit.” (richtingscoëfficiënt van l is steeds 2)
Vraag 14 (3p): “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = 2 + ∛(x+1).”
Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”, “Bewijs met behulp van…”. Zeer frequent dit tijdvak: 6 van de 16 vragen zijn bewijsvragen (samen 25 scorepunten) — breed terugkerende examenvaardigheid, elk met een eigen soort onderliggend argument (differentiëren, goniometrie, stijgend-bewijs, meetkunde).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 3 (6p): kernonderdeel — 6cos³(p) − 5cos(p) · cos(p) = 1 herleid tot 6cos⁴(p) − 5cos²(p) − 1 = 0, kwadratische vergelijking in q=cos²(p) oplossen, daarna cos(p) = ±1, ±1/√3 met telkens 2 oplossingen per vergelijking (totaal 8).
Komt 1× voor, volledige vraag (6p), met een ongebruikelijke stap (aantal oplossingen tellen i.p.v. exacte waarde geven).

Raaklijn

Vraag 3 (6p): in vraagstelling — “We bekijken de raaklijn aan de grafiek van f in A en de raaklijn aan de grafiek van g in B… de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.” Loodrechte raaklijnen ⇒ product van richtingscoëfficiënten (afgeleiden) is −1.
Vraag 16 (6p): in vraagstelling — “een punt P waarin de raaklijn aan de grafiek van f horizontaal is” / “een punt Q waarin de raaklijn aan de grafiek van f_inv verticaal is.” Kernonderdeel, horizontale/verticale raaklijn als voorwaarde voor extreme punten.
Frasering: “de raaklijn aan de grafiek van … is horizontaal/verticaal”, “de twee raaklijnen elkaar loodrecht snijden.” Komt 2× voor (12 scorepunten samen), telkens als kernvoorwaarde van de vraag.

Oppervlakte met integralen

Vraag 5 (4p): kernonderdeel — “V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g. Bereken exact de oppervlakte van V”, verschil van twee bepaalde integralen over grenzen −π/12 en 1½π… (grenzen uit de gegeven snijpunten).
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Primitieve functie

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven worden opgesteld: van ½sin(3x) is −⅙cos(3x), van 2+sin(x)−½sin(x) is 2x−cos(x)−½cos(x) (of gelijkwaardige splitsing).
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten specifiek voor de primitieve).

Bepaalde integraal

Vraag 5 (4p): kernonderdeel — oppervlakte als ∫(2+sin(x) − ½(sin(3x)+sin(x))) dx over het gegeven interval.
Vraag 15 (3p): kernonderdeel — inhoud omwentelingslichaam als π∫₀⁹ (f_inv(x))² dx = π∫₀⁹ (2+∛(x+1))² dx.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (7 scorepunten samen).

Logaritmische functie

Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, model C = a + b·ln(ln(T/(T−1))) met a=5734, b=1648, capaciteit 12 000 m³/s; herhalingstijd T algebraïsch oplossen (dubbele ln oplossen).
Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van de samengestelde logaritmische uitdrukking ln(T/(T−1)) resp. ln(ln(T/(T−1))).
Vraag 8 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — bewijs gebruikt dat y=ln(x) stijgend is en ln(1)=0 om het teken van ln(T/(T−1)) te bepalen.
Vraag 9 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, opnieuw hetzelfde logaritmische model, nu voor de Maas met onbekende a en b.
Frasering: “met behulp van formule 1”, “C = a + b·ln(ln(T/(T−1)))”. Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Hoogwater” (19 scorepunten samen).

Samengestelde functies

Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — ln(T/(T−1)) en ln(ln(T/(T−1))) zijn functies-van-functies; het differentiëren vereist het herkennen van de samenstelling (buitenfunctie ln, binnenfunctie T/(T−1) of ln(T/(T−1))).
Komt 1× voor, ondersteunend concept onder Kettingregel/Logaritmische functie (geen losse scorepunten specifiek voor “herkennen van de samenstelling”, wel noodzakelijke basis voor de rekenstappen).

Kettingregel

Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d/dT[ln(ln(T/(T−1)))] = (1/ln(T/(T−1))) · d/dT[ln(T/(T−1))], twee keer kettingregel toegepast (buiten-ln, dan binnen-ln met breuk).
Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs (meerdere van de 5 scorepunten hangen hiervan af).

Quotiëntregel

Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d/dT[T/(T−1)] wordt expliciet uitgewerkt als [1·(T−1) − T·1] / (T−1)² = −1/(T−1)², een directe quotiëntregel-toepassing binnen het grotere bewijs.
Komt 1× voor, tussenstap (1 van de 5 scorepunten expliciet hiervoor).

Afgeleide functie

Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekenen als startpunt van het bewijs.
Vraag 7 (5p): kernonderdeel — dC/dT expliciet afleiden en bewijzen (formule 2).
Vraag 8 (5p): zichtbaar — teken van dC/dT bepalen om stijgend gedrag te bewijzen.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 3x²−12x+12 en f_inv’(x) berekend voor de raakvoorwaarden.
Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Kettingregel/Quotiëntregel/Productregel/Standaardafgeleiden-notities).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 8 (5p): kernonderdeel — “Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is voor elke waarde van a en b.” Teken van de afgeleide gebruiken om monotoniciteit te bewijzen.
Vraag 16 (6p): in vraagstelling — horizontale raaklijn bij P (op f) en verticale raaklijn bij Q (op f_inv) zijn beide extreme-punt-voorwaarden (f’(x)=0 resp. f_inv’(x) niet gedefinieerd/oneindig).
Komt 2× voor (11 scorepunten samen), eenmaal als volledig generiek bewijs, eenmaal als concrete toepassing.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 9 (4p): kernonderdeel — “1700 = a + b·1,24…”, “2100 = a + b·2,25…” (numerieke ln-waarden ingevuld), stelsel van twee lineaire vergelijkingen in a en b oplossen (met GR).
Komt 1× voor, essentiële tussenstap van de vraag (2 van de 4 scorepunten specifiek hiervoor: “Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost”).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 9 (4p): “Bereken deze waarde van C in m³/s met behulp van formule 1. Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 10 (7p): “Bereken de y-coördinaat van P voor deze situatie. Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 15 (3p): “Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam. Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Algemeen: vakspecifieke regel 1 (aftrek voor rekenfouten), 2 (toelichting GR-gebruik) en 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 3× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 9 (4p): impliciet — stelsel in a en b oplossen vereist GR; correctievoorschrift scoort expliciet “Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost.”
Vraag 10 (7p): impliciet — vergelijking √(…)−2 = ½(5−√(…)) numeriek oplossen; correctievoorschrift scoort “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost.”
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) zichtbaar in het correctievoorschrift bij v9 en v10. Komt 2× terug als noodzakelijke toelichtingsstap.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 10 (7p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. “Voor c1 geldt: x²+y²−12x=32, het middelpunt is M1 en y≥0” (let op: pdftotext-extractie verliest hier vermoedelijk een minteken — het correctievoorschrift herleidt de vergelijking tot (x−6)²+y²=4, dus de oorspronkelijke vergelijking is waarschijnlijk x²+y²−12x=−32; controleer dit desgewenst met de Read-tool als afbeelding). Cirkelvergelijking herleiden naar middelpunt/straal-vorm is kernstap.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de zwaarste vraag dit tijdvak (7p).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 3 (6p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking in q=cos²(p) oplossen (6q²−5q−1=0).
Vraag 6 (5p): kernonderdeel — dubbele-ln-vergelijking algebraïsch oplossen voor T.
Vraag 9 (4p): kernonderdeel — stelsel/model oplossen voor a, b en vervolgens C.
Vraag 13 (4p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking 2t²+8t−6=0 (ABC-formule, t=(−4±√28)/2).
Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (in totaal 19 scorepunten).

Kinematica met vectoren

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “bewegingsvergelijkingen” van P1 en P2 gegeven, snelheid v2(t)=4√(t²+1) expliciet vermeld als natuurkundige grootheid.
Vraag 12 (3p), 13 (4p): idem, zelfde twee bewegende punten.
Komt 3× voor, dominant thema van opgave “Twee bewegende punten” (12 scorepunten samen) — sterker verankerd dan in voorgaande tijdvakken doordat snelheid v1(t)/v2(t) hier expliciet als grootheid wordt vergeleken (niet alleen frasering).

Parametervoorstelling

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t)=t²−2t, y(t)=4t voor P1 en x(t)=4t, y(t)=2t² voor P2, tijdstip met gelijke snelheid berekenen.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — richtingscoëfficiënt van de lijn door P1 en P2 (afhankelijk van t) bewijzen constant te zijn.
Vraag 13 (4p): in vraagstelling — snijpunt van lijn l (door P1, P2) met de x-as bepalen.
Frasering: “beweegt het punt P… volgens de bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Twee bewegende punten” (12 scorepunten samen).

Vector

Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingsvector van de lijn door P1 en P2 opgesteld uit (x’(t), y’(t))-achtige differentievector, gebruikt om de richtingscoëfficiënt te bewijzen.
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de directe rico-berekening (geen losse scorepunten, wel volwaardig alternatief in het beoordelingsmodel).

Vergelijking van een lijn

Vraag 12 (3p): kernonderdeel — richtingscoëfficiënt van lijn l (door P1 en P2) berekenen en bewijzen dat die steeds 2 is.
Vraag 13 (4p): kernonderdeel — vergelijking van l opstellen als y=2x+b, snijpunt met x-as (y=0) bepalen.
Komt 2× voor (7 scorepunten samen), beide keren kernonderdeel binnen dezelfde deelopgave.

Inverse functie

Vraag 14 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = 2 + ∛(x+1)” voor f(x)=x³−6x²+12x−9, via herleiding of via spiegeling in y=x.
Vraag 15 (3p): in vraagstelling — de integraal voor het omwentelingslichaam wordt opgesteld met f_inv(x) i.p.v. f(x) (wentelen om de y-as via de inverse).
Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, punt P op f en punt Q op f_inv, symmetrie in de lijn y=x wordt gebruikt in de alternatieve oplosroute.
Frasering: “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = …”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Een derdegraadsfunctie” (12 scorepunten samen).

Machtsfunctie

Vraag 14 (3p): in vraagstelling — f(x)=x³−6x²+12x−9 is een derdegraadsfunctie (som van machtstermen), basisfunctie van de hele opgave. Zwakker/indirecter raakvlak dan bij een pure machtsfunctie: de nadruk van de vraag ligt op de inverse, niet op machtsfunctie-eigenschappen als zodanig.
Komt 1× voor als onderliggend functietype van opgave “Een derdegraadsfunctie” (3p, indirect).

Omwentelingslichaam

Vraag 15 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam. Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam.” Gebruikt f_inv(x) als integrand omdat om de y-as gewenteld wordt.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (3p).

Standaardafgeleiden

Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van cos(2x) en sin(2x) als stap in het bewijs.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=3x²−12x+12 (machtsregel op x³, x², x) en f_inv’(x)=⅓(x+1)^(−⅔) (machtsregel op de derdemachtswortel).
Komt 2× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord (geen losse scorepunten specifiek voor de regel, maar wel noodzakelijke stap).

Somregel en verschilregel

Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=3x²−12x+12 ontstaat door f(x)=x³−6x²+12x−9 term voor term te differentiëren (som van machtstermen).
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 16.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2021-tijdvak3-digest