Digest 2022 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (76 punten). 32 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Inverse van ln(x) (v1-3), Letter op het computerbeeldscherm (v4-7), Gebroken sinusfunctie (v8), Raaklijn verschuiven (v9-11), Vulkaan (v12-14), Scheve asymptoot (v15), Vlieger (v16-17).

Inverse functie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, volledige vraag. f_p(x) = p·ln(x) en g_p(x) = e^(x/p) gegeven als elkaars inverse. Frasering: “De functies fp en gp zijn elkaars inverse. Bewijs dit.” Bewijs via het omkeren van de vergelijking (uit x = p·ln(y) volgt y = e
Komt 1× voor, volledige vraag (3p), opening van de opgave.

Logaritmische functie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f_p(x) = p·ln(x), basis van de hele opgave.
Vraag 2 (5p): in vraagstelling — grafiek van f_{-1} gebruikt om gebied V te bepalen.
Vraag 3 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — f_p’(x) = p/x, vergelijking p·ln(p) = p exact oplossen.
Komt 3× terug, samen met Exponentiële functie het dragende functiepaar van deze opgave (12 scorepunten samen).

Exponentiële functie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — g_p(x) = e^(x/p), inverse van f_p.
Vraag 2 (5p): in vraagstelling — grafiek van g_{-1} gebruikt.
Vraag 3 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — g_p(x) = e^(x/p) gebruikt bij het bepalen van p.
Komt 3× terug (12 scorepunten samen).

Samengestelde functies

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — g_p(f_p(x)) = x en f_p(g_p(x)) = x expliciet uitgewerkt als bewijs dat f_p en g_p elkaars inverse zijn.
Komt 1× voor, als alternatieve (kortere) oplosroute, 2 van de 3 scorepunten in dat alternatief.

Transformaties van grafieken

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “De grafiek van fp ontstaat uit de grafiek van f1 door een vermenigvuldiging met p ten opzichte van de x-as.”
Komt 1× voor, als derde alternatieve bewijsroute.

Bepaalde integraal

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — oppervlakte V berekend als verschil/som van integralen van f_{-1} en g_{-1} (of ∫(g_{-1}(x) − x)dx).
Vraag 10 (4p): kernonderdeel — oppervlakte onder f berekend met een bepaalde integraal van 0 tot 1.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (9 scorepunten samen).

Oppervlakte met integralen

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — “Bereken de oppervlakte van V.” Snijpunt van de grafieken eerst numeriek bepalen (x ≈ 0,567), dan integreren.
Vraag 10 (4p): kernonderdeel — “Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de x-as.”
Frasering: “Bereken (exact) de oppervlakte van …”. Komt 2× voor (9 scorepunten samen).

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 2 (5p): impliciet — eindantwoord in twee decimalen, snijpunt x = 0,567… via GR bepaald.
Vraag 13 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost”, vakspecifieke regel 2 (toelichting op GR-gebruik verplicht).
Komt 2× expliciet terug, plus generiek van toepassing via vakspecifieke regel 2 van dit tijdvak.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 2 (5p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 13 (3p): “Geef je eindantwoord in honderden meters nauwkeurig” — met een aanvulling op het correctievoorschrift die dit expliciet verduidelijkt (afronding vanaf x = 5100 telt goed).
Algemeen: vakspecifieke regel 1 (1 scorepunt aftrek per rekenfout) en regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 2× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing.

Algebraïsch en exact

Vraag 3 (4p): “Bereken exact de waarde van p” — kernonderdeel.
Vraag 4 (3p): “Bereken exact de x-coördinaat van C” — kernonderdeel.
Vraag 9 (4p): impliciet — exact (algebraïsch) oplossen van x² − 2x√x + x = 0 nodig voor het bewijs.
Vraag 10 (4p): “Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel…” — kernonderdeel.
Vraag 11 (7p): “Bereken exact deze waarde van a” — kernonderdeel.
Vraag 16 (5p): “Bereken exact voor welke waarde van a de middelloodlijn van lijnstuk AB wél door D gaat.” — kernonderdeel.
Typisch frasering: “Bereken exact …”. Dominant dit tijdvak: 4 van de 17 vragen expliciet “exact” gevraagd (23 scorepunten), plus 2 vragen waar exact algebraïsch werk impliciet vereist is.

Raaklijn

Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “de lijn y = x [is] de gemeenschappelijke raaklijn … van de grafieken van fp en gp.” Kernonderdeel.
Vraag 4 (3p): in vraagstelling — “de richting van de raaklijn in A”, “de raaklijn in B [is] horizontaal” — vergelijkingen van twee raaklijnen bepalen hun snijpunt C.
Vraag 8 (8p): in vraagstelling — “Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken” (raken = gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
Vraag 11 (7p): in vraagstelling — raaklijn k in de oorsprong, verschoven over een vector, moet weer een raaklijn aan de grafiek zijn.
Vraag 15 (8p): in vraagstelling — raaklijn aan de grafiek van f in willekeurig punt P, snijdt de verticale en de scheve asymptoot in Q en R.
Frasering: “raaklijn”, “raken elkaar”. Zeer dominant: 5 van de 17 vragen (30 scorepunten), kernbegrip van dit tijdvak.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 3 (4p): kernonderdeel — p·ln(p) = p exact oplossen.
Vraag 9 (4p): kernonderdeel — x² − 2x√x + x = 0 herleiden en oplossen (geeft (√x − 1)² = 0).
Vraag 13 (3p): kernonderdeel — vergelijking met tan(1) en cos²(1) numeriek (GR) oplossen voor x, met y = 0.
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — discriminant van een kwadratische vergelijking in x gelijkstellen om de raakvoorwaarde te bewijzen.
Komt 4× voor (15 scorepunten samen), telkens kernstap.

Standaardafgeleiden

Vraag 3 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x) = p/x (afgeleide van ln(x)).
Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — g’(x) = cos(x) (afgeleide van sin(x)), onderdeel van de quotiëntregel-toepassing.
Vraag 11 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 2x − 3√x + 1 (macht- en somregel op x², x√x en x).
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — afgeleiden van twee kwadratische functies (dy/dx) opgesteld en gelijkgesteld.
Vraag 15 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 1 − 2/x² (afgeleide van x + 2/x).
Komt 5× terug, steeds als noodzakelijke basistechniek onder een grotere bewijs-/berekenvraag (geen losse scorepunten voor de regel zelf, wel noodzakelijk).

Afgeleide functie

Vraag 3, 8, 11, 14, 15: overal waar f’(x) of g’(x) wordt opgesteld als onderliggend begrip, zie Standaardafgeleiden/Kettingregel/Quotiëntregel voor de specifieke regels die erbij gebruikt worden.
Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip.

Quotiëntregel

Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, f(x) = sin(x)/sin(2x), f’(x) = [cos(x)·sin(2x) − sin(x)·2cos(2x)] / sin²(2x).
Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 8 scorepunten).

Kettingregel

Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van sin(2x) is 2cos(2x), kettingregel nodig binnen de quotiëntregel-toepassing.
Komt 1× voor, verweven met een grotere afgeleide-berekening (geen losse kettingregel-vraag).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2x) = 1 oplossen via 2x = ½π + k·2π (sin(x) = 0 voldoet niet).
Komt 1× voor, tussenstap naar de twee raakpunten (x = ¼π en x = −¾π).

Somregel en verschilregel

Vraag 11 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van x² − 2x√x + x term voor term.
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen een grotere vraag.

Primitieve functie

Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van x² − 2x√x + x wordt opgesteld (⅓x³ − ⅘x^(5/2) + ½x²).
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten).

Parametervoorstelling

Vraag 5 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten P, Q, R bewegen via vectorvoorstellingen OP = OA + t·AC, OQ = OC + t·CB, OR = OP + t·PQ voor 0 ≤ t ≤ 1.
Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bewijs dit” voor OR = (1−t)²·OA + t²·OB + 2t(1−t)·OC.
Vraag 7 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t) = −4t² + 6t, y(t) = 6t² − 8t + 4 herleid tot dezelfde Bézierkromme.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, parameter t elimineren uit x(t), y(t) van de lavabom om formule (2) te bewijzen.
Frasering: “bewegingsvergelijkingen”, “Bézierkromme”. Komt 4× terug, dominant thema van “Letter op het computerbeeldscherm” en (deels) “Vulkaan” (14 scorepunten samen).

Vector

Vraag 5 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, OP, OQ, OR als positievectoren, AC, CB, PQ als richtingsvectoren; ook gebruikt op de uitwerkbijlage (punt R tekenen).
Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, herleiding met vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging.
Vraag 11 (7p): in vraagstelling — verschuiving van raaklijn k over de vector (a, 0).
Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methodes) — AB als normaalvector/richtingsvector van de middelloodlijn.
Komt 4× terug (20 scorepunten samen), zowel als hoofdmethode (v5, v6) als ondersteunend (v11, v16).

Kinematica met vectoren

Vraag 5, 6, 7: in vraagstelling — punten “bewegen … met een constante snelheid” over lijnstukken, kinematica-achtige formulering van de Bézierconstructie.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling — expliciete natuurkundige context, lavabom met bewegingsvergelijkingen x(t) = 210cos(α)·t, y(t) = 2000 + 210sin(α)·t − 4,9t², snelheid 210 m/s.
Vraag 13 (3p): idem, vervolgvraag op hetzelfde model (afstand tot de vulkaan).
Vraag 14 (4p): idem, zelfde model gebruikt voor de gestippelde omhullende kromme.
Frasering: “beweegt … met een constante snelheid”, “bewegingsvergelijkingen”. Komt 6× terug (dominant in twee van de zeven opgaven, samen 21 scorepunten), maar zoals ook in 2025: de vragen zelf zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren/algebra, niet op snelheids- of versnellingsvectoren zelf — het raakvlak is vooral de “bewegingsvergelijking”-frasering en het uitgangspunt (constante snelheid, projectielbaan).

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (3p): “Bewijs dit.” (fp, gp elkaars inverse)
Vraag 6 (5p): “Bewijs dit.” (OR-formule)
Vraag 7 (3p): “Bewijs dit met behulp van de formule voor OR.”
Vraag 8 (8p): “Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.”
Vraag 9 (4p): “Bewijs dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek van f met de x-as zijn.”
Vraag 12 (3p): “Bewijs dit.” (formule 2 van het bewegingsmodel)
Vraag 14 (4p): “Bewijs dat alle banen van de lavabommen raken aan de gestippelde kromme.”
Vraag 15 (8p): “Bewijs dat P het midden is van lijnstuk QR.”
Vraag 17 (4p): “Bewijs dat de y-coördinaat van dat punt P gelijk is aan 1.”
Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Zeer dominant dit tijdvak: 9 van de 17 vragen zijn bewijsvragen (samen 42 van de 76 scorepunten) — meer dan de helft van het examen bestaat uit bewijzen.

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 15 (8p): kernonderdeel — bewijs dat P het midden is van QR, via coördinatenmeetkunde (raaklijnvergelijking, snijpunten met de asymptoten).
Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — bewijs via Pythagoras in driehoek BDM/OAD en gelijkvormige driehoeken.
Komt 2× voor (13 scorepunten samen).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 15 (8p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = x + 2/x heeft verticale asymptoot x = 0 en scheve asymptoot y = x (2/x → 0 als x → ∞).
Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Wanneer a onbegrensd toeneemt, nadert het zwaartepunt Z tot een vast punt P” — limietgedrag voor a → ∞.
Komt 2× voor (12 scorepunten samen).

Vergelijking van een lijn

Vraag 4 (3p): kernonderdeel — vergelijkingen van de raaklijnen in A en B opstellen om het snijpunt C te vinden.
Vraag 15 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking van de raaklijn in P opgesteld om de snijpunten met de asymptoten te vinden.
Vraag 16 (5p): kernonderdeel — vergelijking van de middelloodlijn opstellen (x − ay = …).
Komt 3× voor (16 scorepunten samen).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vectorvoorstelling van de middelloodlijn opgesteld: (x, y) = (½, ½a) + t·(a, −1).
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.

Inproduct

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingsvector van AB in inproduct met richtingsvector van DM gelijkgesteld aan 0 (loodrechte stand van de middelloodlijn).
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — stelsel van twee vergelijkingen (in a en t) oplossen na invullen van D(−1, 0) in de vectorvoorstelling van de middelloodlijn.
Komt 1× voor, als onderdeel van een alternatieve oplosroute.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Een vergelijking van de cirkel met middellijn DB is x² + y² = 1.”
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — “Hoek BMD is 90°, dus M ligt op de cirkel met middellijn DB” (stelling van Thales, hoek in een halve cirkel).
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute.

Zwaartepunt

Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, zwaartepunt Z van vier puntmassa’s (in A, B, C, D) met gewichten 2, 1, a, 1.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p), centraal begrip van opgave “Vlieger”.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2022-tijdvak1-digest