Digest 2022 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 16 vragen (78 punten). 33 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Buigraaklijn (v1-2), Op de diagonaal van een vierkant (v3), Golvend ertussendoor (v4-5), Efficiënt testen (v6-8), Begrensde gebieden (v9-10), Cirkels en lijnen (v11-13), Asymptoot (v14-15), Twee punten op een grafiek (v16). Geen aparte bijlage/uitwerkbijlage dit tijdvak — figuren staan in de vraagstelling zelf.

Kettingregel

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=2(2x−1)³+3(2x−1)², differentiëren van (2x−1)³ en (2x−1)² vereist kettingregel (inwendige afgeleide 2). Kernstap van het bewijs.
Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=1/(2sin(x)) opgevat als (2sin(x))⁻¹, f’(x)=−cos(x)/(2sin²(x)) via kettingregel.
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dT/dn bevat de term −1/n² (kettingregel/machtsregel op n⁻¹) naast de exponentiële term.
Komt 3× terug, steeds als noodzakelijke rekenstap onder een grotere vraag (geen losse kettingregel-vraag).

Somregel en verschilregel

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) bestaat uit twee termen 2(2x−1)³+3(2x−1)² die term voor term gedifferentieerd worden.
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 1.

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel toegepast bij het uitwerken van (2x−1)³ en (2x−1)² (ook via de uitgewerkte polynoomvorm 16x³−12x²+1).
Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f”(x)=96x−24 nodig om het buigpunt te vinden.
Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel op (2sin(x))⁻¹.
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel op de term 1/n binnen dT/dn.
Komt 4× terug, telkens als basistechniek onder een groter antwoord.

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (4p): “Bewijs dit.” (f’(x) = 48x² − 24x, gegeven f(x)=2(2x−1)³+3(2x−1)²)
Vraag 7 (4p): “Bewijs dat dit verband juist is.” (algebraïsch bewijs van formule 3 uit formules 1/2)
Vraag 12 (5p): “Bewijs dit.” (x-coördinaat van snijpunt A met de x-as is onafhankelijk van t)
Frasering: “Bewijs dit.” / “Bewijs dat…”. Komt 3× voor dit tijdvak (samen 13 scorepunten), telkens volledige bewijsvraag.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 1 (4p): kernonderdeel — het bewijs van f’(x)=48x²−24x verloopt volledig via differentiëren (kettingregel + somregel), met een alternatieve route via eerst uitwerken van f(x) tot een polynoom en dan differentiëren.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).

Buigpunten

Vraag 2 (5p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel. “De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt.” Buigpunt gevonden via f”(x)=0 → x=¼.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.

Raaklijn

Vraag 2 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De lijn k raakt de grafiek van f in het buigpunt. Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van k.” Buigraaklijn (raaklijn in het buigpunt) is zelfs de titel van de opgave.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Algebraïsch en exact

Vraag 2 (5p): “Stel door middel van exacte berekeningen een vergelijking op van k.”
Vraag 3 (6p): “Bereken exact de lengte van lijnstuk AP in deze situatie.”
Vraag 4 (5p): “Bereken exact het bereik van f.”
Vraag 5 (5p): “Bereken exact voor welke waarden van a de grafieken van f en ga géén punten gemeenschappelijk hebben.”
Vraag 9 (7p): “Bereken exact deze waarde van q.”
Vraag 11 (5p): “Bereken exact de waarden van t waarvoor OP en OQ loodrecht op elkaar staan.”
Vraag 15 (6p): “Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f onder de x-as ligt.”
Vraag 16 (5p): “Bereken exact deze waarde van p.”
Typische frasering: “Bereken exact …”. Zeer dominant dit tijdvak: 8 van de 16 vragen expliciet “exact”, samen 44 scorepunten.

Afgeleide functie

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f”(x) opnieuw afleiden van f’(x)=48x²−24x om het buigpunt te vinden.
Vraag 6 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “Bepaal met behulp van de afgeleide van T de helling van de grafiek voor n = 4”. dT/dn expliciet berekend.
Komt 2× voor als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities).

Vergelijking van een lijn

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (methode met rc’s) — lijn MP en lijn DP opgesteld via richtingscoëfficiënt.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn door P en Q via rc en punt-richtingsvorm.
Vraag 14 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Stel een vergelijking op van k” (de scheve asymptoot als lijn).
Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn door P en Q opgesteld als y=6x+b.
Komt 4× voor, wisselend als kernonderdeel (v14) of als alternatieve oplosroute.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (methode via de stelling van Thales) — cirkel met middellijn MD, vergelijking (x−½)²+(y−1)²=5/4.
Vraag 13 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking van cP (x²+y²=4) en van de baan van M (cirkel cM) opgesteld om snijpunten te vinden.
Komt 2× voor, telkens als (één van de) oplosroutes binnen een grotere vraag.

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van de stelling van Thales: “Als DP en MP loodrecht op elkaar staan, dan ligt P op de cirkel met middellijn MD.”
Komt 1× voor, één van de vier gelijkwaardige oplosmethoden in het correctievoorschrift.

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (meetkundige methode) — congruentie van driehoeken ∆PRD ≅ ∆MQP via hoekgelijkheid, om AP te bepalen zonder coördinaten/vectoren.
Komt 1× voor, één van de aangeboden oplosroutes voor “Op de diagonaal van een vierkant”.

Inproduct

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (vectormethode) — MP·DP=0 als voorwaarde voor loodrechte stand.
Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, OP·OQ=0 als voorwaarde voor OP⊥OQ.
Komt 2× voor, beide keren de kernvoorwaarde “loodrecht” vertaald naar een inproduct dat gelijk is aan 0.

Vector

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — vectoren MP en DP opgesteld met coördinaten.
Vraag 11 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — vectoren OP en OQ, met bewegingsvergelijkingen als vectorcomponenten.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — vector QP opgesteld als basis voor de vectorvoorstelling van de lijn door P en Q.
Komt 3× voor als onderliggend begrip bij de opgave “Cirkels en lijnen” en bij één oplosmethode van “Op de diagonaal van een vierkant”.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “f heeft een minimum als sin(x) maximaal is” / “f heeft een maximum als sin(x) minimaal is”, extreme waarden bepalen via de afgeleide om het bereik te vinden.
Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “beredeneer daarmee of het laagste punt links of rechts van n = 4 ligt” op basis van het teken van de afgeleide.
Komt 2× voor, beide keren om via het teken/de waarde van de afgeleide een uitspraak over een extreme waarde te doen.

Som- en verschilformules

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van de verdubbelingsformule sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (van de bijgeleverde formulekaart) om a·cos(x)·sin(x)… te herschrijven tot a·sin(2x)=1.
Komt 1× voor, essentiële herschrijfstap (niet apart bescoord, wel noodzakelijk voor het vervolg).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — a·sin(2x)=1 oplossen resp. cos²(x)=sin²(x) oplossen (alternatieve methode).
Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(t) = −½ oplossen tot t = ⅔π en t = 4/3π.
Komt 2× voor, telkens als tussenstap naar een exact eindantwoord.

Goniometrische ongelijkheden

Vraag 5 (5p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, “Deze vergelijking heeft alleen oplossingen als −1 ≤ 1/a ≤ 1”, redenering over voor welke a-waarden er géén oplossing (dus geen gemeenschappelijke punten) is, resulterend in −1 < a < 1.
Komt 1× voor, kern van de redenering in vraag 5 (5p).

Exponentiële functie

Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — de term 0,8ⁿ in T(n) en de afgeleide daarvan (−ln(0,8)·0,8ⁿ).
Vraag 7 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — formule 3 is afgeleid van formule 2, die de term (1−p)ⁿ bevat.
Vraag 8 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, vergelijking met (1−0,025)⁷ oplossen voor N.
Vraag 16 (5p): in vraagstelling — f(x)=x·eˣ, punten P en Q met e^p en e
Komt 4× terug: bij “Efficiënt testen” via de factor (1−p)ⁿ/0,8ⁿ, en bij “Twee punten op een grafiek” via eˣ.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 8 (3p): impliciet — vergelijking 750 = N·(1+1/7−(1−0,025)⁷) numeriek oplossen naar N met de GR.
Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van f met de grafiek van g met de GR gevonden kan worden.”
Vraag 13 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe deze vergelijking (met de GR) kan worden opgelost.”
Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe uit deze vergelijking een exacte waarde voor eᵖ gevonden kan worden.”
Frasering: “Beschrijven hoe … (met de GR) … gevonden/opgelost kan worden.” Komt 4× terug — de vakspecifieke regel dat een GR-toelichting vereist is, is dit tijdvak nadrukkelijk als apart scorepunt in het beoordelingsmodel opgenomen.

Bepaalde integraal

Vraag 9 (7p): kernonderdeel — integraal van f(x)=4/√(x+1) berekend om de oppervlakte onder de grafiek te bepalen.
Vraag 10 (5p): kernonderdeel — oppervlakte tussen f, g en de lijn x=4 opgebouwd uit bepaalde integralen.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (12 scorepunten samen).

Primitieve functie

Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van f(x)=4/√(x+1) is 8√(x+1) (let op: pdftotext toont dit als “8 x + 1”, de wortel is weggevallen bij extractie).
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap binnen vraag 9.

Oppervlakte met integralen

Vraag 9 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn. Bereken exact deze waarde van q.”
Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken de oppervlakte van dit gebied”, ingesloten door f, de inverse g en de lijn x=4.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Begrensde gebieden” (12 scorepunten samen).

Inverse functie

Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De functie g is de inverse functie van de functie f.” Met f(x)=4/√(x+1) wordt g(x)=16/x²−1 afgeleid.
Komt 1× voor, kernonderdeel van vraag 10 (5p).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 10 (5p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 13 (6p): “Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 2× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Kinematica met vectoren

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten P en Q bewegen volgens bewegingsvergelijkingen xP(t)=2cos(t), yP(t)=2sin(t) resp. xQ(t)=2+cos(t), yQ(t)=sin(t).
Vraag 12, 13: idem, dezelfde bewegende punten P, Q en het midden M.
Komt 3× voor, de hele opgave “Cirkels en lijnen” is opgezet als bewegingsvergelijkingen van punten op cirkelbanen.

Parametervoorstelling

Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, de cirkelbanen cP en cQ zijn gegeven als parametervoorstelling in t.
Vraag 13 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — coördinaten van M als functie van t: M(1+3/2cos(t), 3/2sin(t)).
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Cirkels en lijnen”.

Grondformule van de goniometrie

Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 4cos(t)+2cos²(t)+2sin²(t)=0 herleid met behulp van sin²(t)+cos²(t)=1 tot cos(t)=−½ (of via sin²(t)+cos²(t)=1 in het alternatief met richtingscoëfficiënten).
Komt 1× voor, kernstap van de herleiding (meerdere van de 5 scorepunten hangen hiervan af).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel van de hoofdmethode, “Een vectorvoorstelling van de lijn door P en Q is (x,y) = (2cos(t), 2sin(t)) + r·(cos(t)−2, sin(t)).”
Komt 1× voor, kern van de hoofdmethode in vraag 12 (5p).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 14 (3p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, “Lijn k is een scheve asymptoot van de grafiek van f.” Bepaald via een limietredenering voor x→−∞ van de breuk (x−5)/(2x−5).
Vraag 15 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — verticale asymptoot x=2½ (nulpunt van de noemer, geen nulpunt van de teller) gebruikt om het teken van f te bepalen.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Asymptoot” (9 scorepunten samen).

Absolute-waardefunctie

Vraag 14 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Voor x < 1 geldt: f(x) = −x + 1 + (x−5)/(2x−5).” Dit wijst op f(x) = |x−1| + (x−5)/(2x−5) (de grafiek heeft expliciet “een knikpunt voor x = 1”, typisch voor een absolute-waardeterm; let op: pdftotext toont dit met een gewoon minteken, de absolutewaardestrepen zijn bij extractie weggevallen).
Vraag 15 (6p): impliciet — de oplossing “2½ < x < 3” houdt rekening met alleen de tak x > 1 (rechts van het knikpunt), relevant voor de absolutewaardefunctie-structuur van f.
Komt 2× voor, onderliggende structuur van opgave “Asymptoot”.

Ongelijkheden oplossen

Vraag 15 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Een deel van de grafiek van f ligt onder de x-as. Bereken exact voor welke waarden van x de grafiek van f onder de x-as ligt.” (f(x) < 0 oplossen)
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2022-tijdvak2-digest