Digest 2022 tijdvak 3 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (76 punten). 36 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Gelijke oppervlaktes (v1-3), Drie op een rij (v4-5), Modeltube (v6), Vierkanten bij een exponentiële functie (v7), Gelijke hoeken (v8-9), Verouderingskromme (v10-12), Cosinusgrafiek door hoogste punten (v13-15), Loodrecht door de parabool (v16-17).

Primitieve functie

Vraag 1 (3p): kernonderdeel van de vraagstelling en correctievoorschrift — f(x) = 1/(x−5) + 1/(x−6), bewijs dat F(x) = ln(x²−11x+30) een primitieve is (via ln(a)+ln(b)=ln(ab), of via F’(x) uitrekenen). Frasering: “De functie F gegeven door … is dan een primitieve van f. Bewijs dit.”
Let op: via een aanvulling op het correctievoorschrift zijn hier altijd 3 scorepunten toegekend, ongeacht het antwoord — de noodzakelijke voorwaarde x > 6 ontbrak in de opgave (wiskundig niet juist gesteld). Test dit tijdvak dus zelf niet daadwerkelijk het concept voor scoring, maar de opzet (F herkennen als primitieve, kettingregel/somregel logaritmen) is representatief voor het vraagtype.
Komt 1× voor, volledige eerste vraag (3p, met bovengenoemd voorbehoud).

Kettingregel

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — F’(x) = (2x−11)/(x²−11x+30) via de kettingregel op ln(x²−11x+30). Expliciete opmerking: “Als een kandidaat de kettingregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 6 scorepunten toekennen” (later aangevuld: bij het tweede antwoordalternatief maximaal 1 scorepunt).
Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van e^(−2p) resp. e^p bij het differentiëren van R(p). Opmerking: “Als een kandidaat de ketting-, product- of quotiëntregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 6 scorepunten toekennen.”
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van cos²(x) bij f_p’(x) = −4cos(x)sin(x) + p·sin(x). Opmerking: “Als een kandidaat de kettingregel niet of onjuist heeft toegepast, voor deze vraag maximaal 2 scorepunten toekennen.”
Komt 3× terug, telkens niet als losse vraag maar met een expliciete score-opmerking in het correctievoorschrift als de regel niet is toegepast — dus vakinhoudelijk zwaar meegewogen zonder eigen scorepunten.

Logaritmische functie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — F(x) = ln(x²−11x+30), rekenregel ln(a)+ln(b)=ln(ab) gebruikt.
Vraag 2 (5p): in correctievoorschrift — oppervlaktes via F(9)−F(7)=ln(12)−ln(2) en F(p)−F(9), vergelijking ln(p²−11p+30)=ln(72) oplossen.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling — formule (3) gebruikt ²log, vergelijking ²log(1−t/L)=−2 oplossen.
Komt 3× terug dit tijdvak, telkens als kernonderdeel van de berekening (11 scorepunten samen).

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — afgeleide van 1/(x−5) en 1/(x−6) (machtsregel op (x−a)⁻¹).
Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van 1/(x−5)-vorm nodig voor de richtingscoëfficiënten van de raaklijnen in A.
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van cos(x), sin(x) bij f_p’(x).
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt = 2t, dy/dt = 1 (machtsregel op t²).
Komt 4× terug, telkens als noodzakelijke basistechniek onder een groter antwoord.

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (3p): “Bewijs dit.” (F is primitieve van f)
Vraag 4 (3p): “Bewijs dit.” (AS = (6/5, 3/5))
Vraag 5 (3p): “Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan.”
Vraag 6 (6p): “Onderzoek of de modeltube 80 cm³ shampoo kan bevatten.”
Vraag 8 (4p): “Bewijs dit.” (a = 1¾)
Vraag 14 (4p): “Bewijs dit.” (cos(a) = ¼p in het hoogste punt)
Vraag 15 (4p): “Bewijs dit.” (hoogste punten liggen op grafiek van g)
Vraag 16 (6p): “Bewijs dit.” (a + r = ½)
Frasering: “Bewijs dit.”, “Onderzoek of…”. Zeer dominant dit tijdvak: 8 van de 17 vragen zijn bewijs-/onderzoeksvragen (samen 33 scorepunten) — de breedste, meest terugkerende examenvaardigheid.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — “In figuur 1 is de grafiek van f (die uit drie delen bestaat) getekend”, een gevolg van de verticale asymptoten bij x=5 en x=6 die het domein in drie delen splitsen.
Komt 1× voor, indirect/contextueel (geen losse scorepunten, wel randvoorwaarde voor de rest van de opgave).

Afgeleide functie

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — F’(x) berekenen als generieke stap in de alternatieve bewijsroute.
Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van beide grafiekdelen in A bepalen.
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x) opstellen en gelijkstellen aan 0.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) bepalen uit de parametervoorstelling.
Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift als alternatieve bewijsroute — F’(x) exact herleiden tot f(x).
Vraag 14 (4p): kernonderdeel — bewijs dat cos(a)=¼p in het hoogste punt, volledig via f_p’(a)=0 met kettingregel.
Vraag 16 (6p): kernonderdeel — bewijs a+r=½ via dy/dx=1/(2t) en de loodrecht-voorwaarde.
Komt 3× terug, telkens een volledige exacte afleiding met differentiatieregels zonder GR-opties.

Bepaalde integraal

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — oppervlaktes V en W via F(9)−F(7) resp. F(p)−F(9) (hoofdstelling van de integraalrekening).
Vraag 6 (6p): kernonderdeel — I = ∫₀¹⁰ A(h) dh, inhoud van de modeltube.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).

Oppervlakte met integralen

Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “V is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen … W is het gebied begrensd door …”, oppervlaktes V en W gelijkstellen.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Algebraïsch en exact

Vraag 2 (5p): “Bereken exact deze waarde van p.”
Vraag 3 (5p): “Bereken algebraïsch de hoek tussen deze raaklijnen.”
Vraag 7 (8p): “Bereken exact de maximale waarde van R.”
Vraag 9 (5p): “Bereken exact de waarde van b.”
Vraag 12 (3p): “Bereken exact na hoeveel procent van de theoretische levensduur…”
Vraag 17 (6p): “Bereken exact deze waarde van r.”
Typisch frasering: “Bereken exact …”, “Bereken algebraïsch …”. Dominant dit tijdvak: 6 van de 17 vragen expliciet “exact”/“algebraïsch”, samen 32 scorepunten.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — ln(p²−11p+30)=ln(72) oplossen, (p−14)(p+3)=0.
Vraag 10 (3p): kernonderdeel — de vergelijkingen C(t)=2 en C(t)=3 oplossen (machtsvorm met exponent 1/2,3), GR-gestuurd.
Vraag 12 (3p): kernonderdeel — logaritmische vergelijking oplossen voor t/L.
Vraag 17 (6p): kernonderdeel — r²−4r+1=0 oplossen, r=2−√3 (r=2+√3 verwerpen).
Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (17 scorepunten in totaal).

Absolute-waardefunctie

Vraag 3 (5p): in vraagstelling — de grafiek van g (afgeleid van f, symmetrisch in x=5½) heeft in A(5½, 0) een knik, met twee verschillende raaklijnen links en rechts van A — kenmerkend voor een functie met een absolute-waarde-achtige knik (g = |f|).
Komt 1× voor, ondersteunend/conceptueel (geen losse scorepunten voor de knik zelf, wel de aanleiding voor twee verschillende raaklijnen).

Raaklijn

Vraag 3 (5p): in vraagstelling — “Zowel aan het deel van de grafiek links van A als aan het deel van de grafiek rechts van A is er een raaklijn in A.” Kernonderdeel, hoek tussen twee raaklijnen berekenen.
Vraag 16 (6p): in vraagstelling — “de halve lijn vanuit M door A de parabool loodrecht snijdt in punt A”, richtingscoëfficiënt van de raaklijn in A bepalen.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 3 (5p): “Geef je eindantwoord in gehele graden nauwkeurig.”
Vraag 10 (3p): “Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.”
Vraag 11 (4p): “Rond je berekende waarden zo nodig af op drie decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 1 (rekenfout/verschrijving, 1 punt aftrek zonder maximum bij wiskunde B) en regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 3× expliciet terug in de vraagstelling.

Vector

Vraag 4 (3p): in vraagstelling — AB en AH als vector gegeven, AS berekenen.
Vraag 5 (3p): kernonderdeel — BS en HD als vector opstellen voor het inproduct.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — richtingsvector van de raaklijn en vector MA gebruikt.
Komt 3× voor, telkens ondersteunend aan een grotere vraag (geen losse scorepunten specifiek voor vectornotatie als zodanig).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — lijn door H en D als vectorvoorstelling gebruikt om S te bepalen.
Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, lijnen k, l en m alle gegeven met vectorvoorstelling.
Vraag 9 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — S als snijpunt van k en l bepaald vanuit de vectorvoorstellingen.
Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Gelijke hoeken” en ondersteunend bij “Drie op een rij” (12 scorepunten samen).

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — S als snijpunt van twee lijnen (AF en HD) bepaald.
Vraag 9 (5p): kernonderdeel — S als snijpunt van k en l, via stelsel of via vectorvoorstelling+vergelijking.
Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — lijn AM snijden met de cirkel (x−r)²+y²=r² om B te bepalen.
Komt 3× terug, telkens als (alternatieve) rekenroute naar een snijpunt.

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 4 (3p): kernonderdeel — bewijs AS=(6/5,3/5) via gelijkvormige driehoeken of coördinaten/vectorvoorstelling.
Vraag 5 (3p): kernonderdeel — onderzoek loodrechte stand BS/HD via inproduct, cirkel van Thales, of richtingscoëfficiënten.
Komt 2× voor (6 scorepunten samen), dominant thema van opgave “Drie op een rij”.

Inproduct

Vraag 5 (3p): kernonderdeel (eerste methode) — BS·HD=0 uitrekenen om loodrechte stand aan te tonen.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — MA·richtingsvector=0 als loodrecht-voorwaarde.
Komt 2× voor, telkens als (een van de) directe manier(en) om loodrechte stand te bewijzen.

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 5 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — cirkel met middellijn BD, S ligt op de cirkel, dus hoek BSD=90° (stelling van Thales).
Komt 1× voor, als alternatieve, meetkundige bewijsroute naast de vector-/coördinatenroute.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 5 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — cirkel met middelpunt C door B: (x−2)²+y²=½.
Vraag 17 (6p): kernonderdeel — cirkel met middelpunt M(r,0) en straal r: (x−r)²+y²=r², punt B ligt op de cirkel.
Komt 2× voor (6 van de 9 scorepunten van vraag 17 hangen hiervan af).

Vergelijking van een lijn

Vraag 5 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — richtingscoëfficiënten van BS en HD, product = −1.
Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — lijnen herschreven in de vorm y=…, snijvoorwaarde via richtingscoëfficiënten.
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — lijn k als 12x+5y=328, gesneden met de parametervoorstelling van l.
Komt 3× terug, telkens als alternatieve oplosroute naast vectoren/vectorvoorstelling.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe (met de GR of met behulp van een primitieve van I) de waarde van I gevonden kan worden.”
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden opgelost kan worden.”
Vraag 10 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Een beschrijving waaruit de oplossing … volgt” (GR-gebruik toelichten, vakspecifieke regel 2).
Komt 3× terug als noodzakelijke toelichtingsstap bij numeriek/GR-werk.

Exponentiële functie

Vraag 7 (8p): in vraagstelling — f(x)=e^x, punt P(p, e^p) op de grafiek, vierkanten V en W opgebouwd rond dit punt.
Komt 1× voor, basis van de volledige opgave “Vierkanten bij een exponentiële functie” (8p).

Optimaliseren

Vraag 7 (8p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is. Bereken exact de maximale waarde van R.” Afgeleide van R(p) gelijkstellen aan 0.
Komt 1× voor, volledige vraag (8p, de zwaarste vraag van dit tijdvak).

Productregel

Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — genoemd in de opmerking over ketting-, product- of quotiëntregel bij het differentiëren van R(p) = p²·e^(−2p) (productvorm).
Komt 1× voor, als (een van de) toegestane differentiatieroute(s), geen losse scorepunten specifiek voor de regel zelf.

Quotiëntregel

Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — R(p) = p²/e^(2p) gedifferentieerd met de quotiëntregel, dR/dp = (2p·e^(2p) − 2p²·e^(2p))/(e
Komt 1× voor, als alternatieve differentiatieroute naast productregel/kettingregel.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — dR/dp=0 oplossen om het maximum van R te vinden.
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(a)=0 als voorwaarde voor het hoogste punt (extreme waarde).
Komt 2× voor, beide keren als kernstap naar een extreme waarde (12 scorepunten betrokken).

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 9 (5p): kernonderdeel — “In S geldt 29−5s=3t en 4−½s=24−4t. Beschrijven hoe dit stelsel … opgelost kan worden.” Twee vergelijkingen, twee onbekenden (s,t).
Komt 1× voor, volledige kernstap van de vraag (van de 5 scorepunten hangen minstens 2 hiervan af).

Machtsfunctie

Vraag 10 (3p): in vraagstelling — C(t) bevat een term met exponent 1/2,3, machtsvorm.
Vraag 11 (4p): kernonderdeel — formule (1) herleiden naar t = L − L·a(6−C)^b, expliciet een machtsfunctie-vorm met te bepalen a en b.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Verouderingskromme” samen met Logaritmische functie (7 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 13 (4p): kernonderdeel — 2cos²(x)−3cos(x)+1=0 oplossen via ontbinden, cos(x)=1 of cos(x)=½.
Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(a)·(4cos(a)−p)=0 oplossen, sin(a)=0 verwerpen.
Komt 2× voor, beide keren als kernstap naar een exact eindantwoord (8 scorepunten betrokken).

Radialen

Vraag 13 (4p): zichtbaar in het eindantwoord — de gevraagde x-coördinaat wordt gegeven als ⅓π (radialen, geen graden).
Komt 1× voor, impliciet (antwoord in radialen zoals gebruikelijk bij wiskunde B-goniometrie, geen aparte scorepunten voor de eenheid zelf).

Som- en verschilformules

Vraag 15 (4p): kernonderdeel — cos(2a)=2cos²(a)−1 (verdubbelingsformule, van de bijgeleverde formulekaart) gebruikt om te bewijzen dat de hoogste punten op de grafiek van g(x)=cos(2x) liggen.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p), formule zelf staat op de formulekaart.

Parametervoorstelling

Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t)=t², y(t)=t als bewegingsvergelijkingen van de parabool.
Vraag 17 (6p): in vraagstelling — zelfde parametrisering gebruikt om A en B te bepalen.
Frasering: “Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen”. Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Loodrecht door de parabool” (12 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 16 (6p): in vraagstelling — de kromme wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t), kinematica-achtige formulering.
Vraag 17 (6p): idem, zelfde kromme.
Komt 2× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn gericht op differentiëren/raaklijn/cirkel, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; alleen de “bewegingsvergelijking”-frasering is het raakvlak).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2022-tijdvak3-digest