Digest 2023 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 19 vragen (76 punten). 37 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Een gebroken functie (v1-3), Buigen van metalen platen (v4-6), Gedraaide parabool (v7-10), Absolute sinus (v11-12), Logaritmische functies (v13-14), Bissectrice in een rechthoek (v15-16), Exponentiële breuk (v17-19).

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = 2x + 1/x, f’(x) = 2 − 1/x² (machtsregel op de term x⁻¹).
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(d) = R·d^0,25 + 4R·d^-0,5, dF/dd = 0,25R·d^-0,75 − 2R·d^-1,5 (machtsregel op fractionele/negatieve exponenten).
Vraag 13 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 1/x, g’(x) = −e²/x.
Vraag 18 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — F’(x) = 1 − eˣ/(eˣ+1) als basisstap van het bewijs.
Komt 4× terug, steeds als noodzakelijke rekenstap onder een groter antwoord, geen losse vraag specifiek over de regel.

Somregel en verschilregel

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2x + 1/x term voor term gedifferentieerd tot f’(x) = 2 − 1/x².
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 1.

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (3p): “Bereken exact dit minimum.” Kernonderdeel, volledige vraag.
Vraag 4 (5p): “Bereken algebraïsch hoeveel procent de oppervlakte van vlakdeel A’B’C’D’ groter is.” Kernonderdeel.
Vraag 5 (3p): “Bereken algebraïsch hoeveel kracht er nodig is.” Kernonderdeel.
Vraag 6 (4p): “Bereken exact deze waarde van d.” Kernonderdeel.
Vraag 8 (3p): “Bereken exact de waarde van c.” Kernonderdeel.
Vraag 10 (4p): “Bereken exact tot welke waarde de helling … nadert.” Kernonderdeel.
Vraag 16 (6p): “Bereken exact deze waarde van p.” Kernonderdeel.
Vraag 17 (3p): “Bereken exact de afstand tussen deze twee horizontale asymptoten.” Kernonderdeel.
Typische frasering: “Bereken exact …”, “Bereken algebraïsch …”. Zeer dominant dit tijdvak: 8 van de 19 vragen, samen 31 scorepunten — net als in andere tijdvakken de meest voorkomende examenwoord-eis.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 1 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “De functie f heeft een minimum”, f’(x)=0 oplossen om het minimum te vinden.
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dF/dd = 0 geeft het minimum van F.
Komt 2× voor, beide keren ondersteunend aan een grotere berekening.

Machtsfunctie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f(x) = 2x + 1/x bevat de machtsterm x⁻¹ (gebroken functie).
Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(d) = R·d^0,25 + 4R·d^-0,5, machtsfunctie met fractionele/negatieve exponent na combineren van formule 1 en 2.
Komt 2× voor, telkens als onderliggend functietype van een grotere berekening.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 2 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — lijn k is de scheve asymptoot van f; lim(x→∞) 1/x = 0 gebruikt om de asymptoot te bepalen.
Vraag 17 (3p): in vraagstelling — “De grafiek van f heeft twee horizontale asymptoten”, lim(x→−∞) eˣ = 0 en lim(x→∞) eˣ = ∞ gebruikt om beide asymptoten (y=1 en y=0) te vinden.
Frasering: “scheve asymptoot”, “twee horizontale asymptoten”. Komt 2× voor, in beide gevallen kernonderdeel van de opgave (8 scorepunten samen).

Bewijzen en aantonen

Vraag 2 (5p): “De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a. Bewijs dit.”
Vraag 7 (3p): “Bewijs dat dit inderdaad de bewegingsvergelijkingen van Q zijn.”
Vraag 9 (3p): “Er geldt: L = … Bewijs dit.”
Vraag 13 (6p): “De raaklijnen … snijden elkaar loodrecht in het snijpunt. Bewijs dit.”
Vraag 15 (5p): “De lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED. Bewijs dit voor het geval p = 2.”
Vraag 18 (3p): “Een primitieve van f is F(x) = x − ln(eˣ+1). Bewijs dit.”
Vraag 19 (4p): “De oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van a kleiner dan ln(2). Bewijs dit.”
Frasering: uitsluitend “Bewijs dit” / “Bewijs dat…” dit tijdvak (geen “aantonen”/“laat zien”). Zeer frequent: 7 van de 19 vragen zijn bewijsvragen (samen 29 scorepunten) — de dominante examenvaardigheid dit tijdvak.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 13 (6p): kernonderdeel — bewijs via f’(x)=1/x, g’(x)=−e²/x, product f’(x)·g’(x) = −1 (loodrechte raaklijnen).
Vraag 18 (3p): kernonderdeel — bewijs dat F’(x) = f(x) via kettingregel op ln(eˣ+1).
Komt 2× voor, beide keren volledige bewijsvraag via de afgeleide (9 scorepunten samen).

Bepaalde integraal

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — ∫(2x+1/x−2x)dx = ∫(1/x)dx tussen a en 2a moet berekend worden.
Vraag 3 (4p): kernonderdeel — integraal voor de inhoud van het omwentelingslichaam om y=3.
Vraag 12 (5p): kernonderdeel — integraal van (sin(x)+⅔√3) over het interval van een klein vlakdeel.
Vraag 19 (4p): kernonderdeel — ∫₀ᵃ f(x)dx berekend via F(a)−F(0).
Komt 4× terug, telkens noodzakelijke rekenstap (18 scorepunten in totaal betrokken).

Primitieve functie

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 1/x is ln(x) (x>0).
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van sin(x)+⅔√3 is −cos(x)+⅔√3·x.
Vraag 18 (3p): kernonderdeel — F(x) = x − ln(eˣ+1) is de gegeven primitieve, hele vraag draait om de controle F’=f.
Vraag 19 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(a)−F(0) = ln(2) berekend met de primitieve uit vraag 18.
Komt 4× terug, in vraag 18 volledig kernonderdeel, elders als noodzakelijke tussenstap (16 scorepunten betrokken).

Oppervlakte met integralen

Vraag 2 (5p): in vraagstelling — vlakdeel V ingesloten door grafiek van f, lijn k en x=a, x=2a.
Vraag 12 (5p): in vraagstelling — “Bereken exact de oppervlakte van een klein vlakdeel.”
Vraag 19 (4p): in vraagstelling — vlakdeel ingesloten door grafiek van f, x-as, y-as en lijn k.
Komt 3× voor, telkens kernonderdeel (14 scorepunten samen).

Logaritmische functie

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve ln(x) gebruikt, oppervlakte herleid tot ln(2a)−ln(a)=ln(2).
Vraag 13 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(x), g(x)=(1+e²)(1−ln(x)).
Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, zelfde functies f en g, snijpunten met lijn y=q.
Vraag 18 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(x) bevat ln(eˣ+1).
Vraag 19 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — grens ln(2), oppervlakte kleiner dan ln(2).
Frasering: functienaam “Logaritmische functies” als opgavetitel. Komt 5× terug, dominant thema van twee verschillende opgaven (22 scorepunten samen).

Omwentelingslichaam

Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “Deze lijn en de grafiek van f sluiten een vlakdeel W in dat wordt gewenteld om de lijn met vergelijking y = 3. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.” Kernonderdeel, volledige vraag.
Komt 1× voor dit tijdvak (wenteling om een horizontale lijn y=3, niet om de x-as of y-as zelf).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 3 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2x+1/x=3 oplossen geeft x=0,5 en x=1.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(x)=−½√3 oplossen tot x = ⁴⁄₃π+k·2π en x = ⁵⁄₃π+k·2π.
Vraag 14 (4p): kernonderdeel — vergelijking in q/p numeriek oplossen (GR), eindantwoord één decimaal.
Komt 3× voor, telkens noodzakelijke stap naar een numeriek of exact eindantwoord (13 scorepunten betrokken).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 3 (4p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 4 (5p): “Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 5 (3p): “Geef je eindantwoord als een geheel getal.”
Vraag 14 (4p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (tussentijds afronden dat tot ander eindantwoord leidt kost 1 punt) geldt voor het hele examen. Komt 4× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 3 (4p): impliciet — decimale inhoudsberekening van het omwentelingslichaam vereist GR.
Vraag 14 (4p): impliciet — vakspecifieke regel 2 zichtbaar in het correctievoorschrift als “Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden” / “Beschrijven hoe de vergelijking … opgelost kan worden”.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) van toepassing bij elke vraag met een numeriek/GR-eindantwoord. Komt 2× expliciet terug als noodzakelijke toelichtingsstap.

Functievoorschrift

Vraag 5 (3p): in vraagstelling — formule 1 (F als functie van R, d, V) gegeven, kandidaat lost op naar R.
Vraag 6 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “Door formule 1 en formule 2 te combineren krijg je een formule die de benodigde kracht F uitdrukt in R en d.” Nieuw functievoorschrift F(d) opstellen door twee gegeven formules te combineren.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Buigen van metalen platen” (7 scorepunten samen).

Optimaliseren

Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een plaatdikte d waarbij de benodigde kracht F minimaal is. Bereken exact deze waarde van d.” Contextprobleem (minimale buigkracht) vertaald naar een functievoorschrift en opgelost met de afgeleide.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Kinematica met vectoren

Vraag 7 (3p): in vraagstelling — bewegingsvergelijkingen xP(t)=2t, yP(t)=2t² en xQ(t), yQ(t) van punten P en Q.
Vraag 8 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “De snelheid waarmee P beweegt” is expliciet de afgeleide van de positievector van P; snelheid van Q via xQ’(t), yQ’(t).
Vraag 9, 10: idem, lengte PQ en de helling van de grafiek van L (afgeleid van de bewegingsvergelijkingen).
Frasering: “De bewegingsvergelijkingen van een punt P worden gegeven door…”. Komt 4× terug, dominant thema van de hele opgave “Gedraaide parabool” (13 scorepunten samen).

Parametervoorstelling

Vraag 7 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, xP(t)=2t, yP(t)=2t² als parametervoorstelling van de baan van P.
Vraag 8, 9, 10: zelfde parametervoorstelling (van P en de afgeleide baan van Q) gebruikt als basis voor snelheid, lengte PQ en hellinggedrag.
Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Gedraaide parabool” (13 scorepunten samen) — hier toegepast op een bewegend punt in plaats van een lijn of cirkel.

Vector

Vraag 7 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, OM (vector naar midden M), MP roteren 90° rechtsom tot MQ, OQ = OM + MQ.
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — vectoren EP en ED opgesteld en met elkaar vergeleken (spiegeling/inproduct) om de bissectrice te bewijzen.
Komt 2× voor, in vraag 7 kernonderdeel van de bewijsmethode (rotatie van een vector over 90°), in vraag 15 een van de oplosroutes.

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 10 (4p): kernonderdeel, volledige vraag — “Als t vanaf links of vanaf rechts tot 0 nadert, nadert de waarde van L in beide situaties ook tot 0. De helling van de grafiek van L nadert echter niet in beide situaties tot dezelfde waarde. Bereken exact tot welke waarde de helling … nadert als t vanaf links tot 0 nadert.” Expliciete linkerlimiet lim(t→0⁻)(dL/dt).
Komt 1× voor, volledige vraag (4p) — sterk, direct voorbeeld van eenzijdige limiet.

Karakteristieke eigenschappen van functies

Vraag 10 (4p): in vraagstelling — “In de oorsprong, bij t=0, zien we een knik” (niet-gladde grafiek, verschillende linker-/rechterhelling).
Vraag 11 (3p): in vraagstelling — “de toppen A en B van de grafiek van f”, “de toppen die horen bij de eerste twee maxima van f rechts van de y-as” (extremen identificeren).
Komt 2× voor, beide keren als begripskader om een grafiek te beschrijven vóór de eigenlijke berekening.

Kettingregel

Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van √(2t²+2) naar t, kettingregel voor de wortelfunctie.
Vraag 18 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift, met expliciete opmerking — afgeleide van ln(eˣ+1) vereist de kettingregel (eˣ/(eˣ+1)); wordt de kettingregel niet gebruikt, dan mag voor dat antwoordelement geen scorepunt toegekend worden.
Komt 2× terug als noodzakelijke rekenstap, in vraag 18 zelfs expliciet afgedwongen door het correctievoorschrift.

Absolute-waardefunctie

Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, opgavetitel “Absolute sinus”, f(x) = |sin(x) + ⅔√3| (absolute waarde toegepast op een sinusfunctie); in het antwoord expliciete controle “(want 1−⅔√3 ≥ 0)” op het teken binnen de absolute waarde.
Vraag 12 (5p): in vraagstelling — de “kleine vlakdelen” ontstaan juist door de knik/spiegeling die de absolute waarde in de grafiek van f veroorzaakt.
Komt 2× voor, dominant thema van de hele opgave “Absolute sinus” (8 scorepunten samen).

Sinusmodel

Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er bestaat een sinusoïde die gegeven wordt door g(x) = a + b·sin(x), waarvan twee opeenvolgende toppen samenvallen met de punten A en B. Bereken exact de waarde van a en b.” Amplitude (b) en evenwichtsstand (a) afleiden uit twee gegeven toppen.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=0 als sin(x)=−½√3, opgelost tot x=⁴⁄₃π+k·2π en x=⁵⁄₃π+k·2π (periodiciteit).
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap om de integratiegrenzen van het kleine vlakdeel te bepalen (2 van de 5 scorepunten).

Raaklijn

Vraag 13 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijnen aan de grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht in het snijpunt. Bewijs dit.” Raaklijnvergelijkingen via f’(x) en g’(x) in het snijpunt.
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Vergelijking van een lijn

Vraag 13 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — loodrecht-voorwaarde f’(e)·g’(e) = −1 tussen de twee raaklijnen.
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking van AC (x−2y=8) en van PF (x−2y=−4) opgesteld om snijpunt D te vinden.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vergelijking van de lijn door F en D, en van PF, gebruikt om p te bepalen.
Komt 3× terug, telkens als rekentechnische basis onder een grotere (bewijs)vraag (17 scorepunten betrokken).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 15 (5p): kernonderdeel — bewijs dat EF de bissectrice is van hoek PED, via vectoren/inproduct, spiegeling in EF, of gelijkvormige driehoeken (Z-hoeken) als alternatieve routes.
Komt 1× voor, volledige bewijsvraag (5p), met meerdere in het correctievoorschrift toegestane bewijsroutes.

Inproduct

Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(hoek(EP,EF)) en cos(hoek(ED,EF)) berekend via het inproduct van de vectoren EP, ED en EF, om aan te tonen dat beide hoeken gelijk zijn.
Komt 1× voor, één van de aangeboden oplosroutes voor vraag 15 (niet de enige, maar wel expliciet met inproduct).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — Z-hoeken (PEF en EPC) gebruikt bij de bissectrice-redenering.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — “D ligt op de cirkel, dus geldt hoek FDE = 90°” (stelling van Thales: EF is middellijn van cirkel c, dus de hoek in D, op de cirkel, is recht).
Komt 2× voor, in vraag 16 een kernstap van de raakvoorwaarde (Thales), in vraag 15 ondersteunend bij een alternatieve bewijsroute.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 16 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel c met middelpunt M(4,2) en straal 2: (x−4)²+(y−2)²=4.
Komt 1× voor, basis van de hele vraag (6p).

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — snijpunt D van lijn AC en lijn PF bepaald door de twee lijnvergelijkingen te combineren.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — cirkel c gesneden met lijn AC geeft de vergelijking waaruit punt D volgt.
Komt 2× voor, in beide gevallen een noodzakelijke tussenstap (11 scorepunten betrokken).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vectorvoorstelling van AC en van PF opgesteld en gelijkgesteld om het snijpunt D te vinden.
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de vergelijking-van-een-lijn-methode.

Exponentiële functie

Vraag 17 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = 1/(eˣ+1), opgavetitel “Exponentiële breuk”.
Vraag 18 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — primitieve F(x)=x−ln(eˣ+1) van dezelfde exponentiële-breukfunctie.
Vraag 19 (4p): in vraagstelling — zelfde functie f, oppervlakte-bewijs met grens ln(2).
Komt 3× terug, dominant thema van de hele opgave “Exponentiële breuk” (10 scorepunten samen).

Notatiefouten bij Wiskunde B

Algemeen: vakspecifieke regel 1 (“Voor elke rekenfout of verschrijving in de berekening wordt 1 scorepunt in mindering gebracht tot het maximum van het aantal scorepunten dat voor dat deel van die vraag kan worden gegeven”) geldt voor het hele examen, expliciet vermeld onder de vakspecifieke regels van het correctievoorschrift.
Niet aan een specifieke vraag gebonden, maar generiek van toepassing op elke berekening in dit tijdvak.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2023-tijdvak1-digest