Digest 2023 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (79 punten). 35 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Gebroken functie (v1-2), Sinus en cosinus getransformeerd (v3-5), Projectie op een lijn (v6), Twee e-machten (v7-9), Basketbal (v10-11), Absolute waarde en wortelfunctie (v12-14), Boogbrug (v15-16), Rechthoek met drie cirkels (v17).

Quotiëntregel

Vraag 1 (3p): kernonderdeel, zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = (x²−2x)/(x−3), f’(x) = ((2x−2)(x−3) − (x²−2x))/(x−3)² via de quotiëntregel, ingevuld op x=0 geeft de richtingscoëfficiënt van raaklijn l.
Opmerking in correctievoorschrift: “Als in het eerste antwoordelement de productregel, quotiëntregel of kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement maximaal 1 scorepunt worden toegekend.” Dezelfde opmerking staat ook bij vraag 12.
Komt 1× expliciet voor als hoofdtechniek (volledige vraag, 3p), en wordt in de opmerking bij vraag 12 nogmaals genoemd als mogelijk (foutief) alternatief.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 2 (6p): kernonderdeel — de grafiek van f heeft een scheve asymptoot (y = x−1) en een verticale asymptoot (x = 3), die elkaar snijden in S(3, 4). Correctievoorschrift toont expliciet een limietonderbouwing: “(want lim … = 0)”.
Frasering: “De grafiek van f heeft een scheve asymptoot en een verticale asymptoot. Deze twee asymptoten snijden elkaar in het punt S.”
Komt 1× voor, volledig kernonderdeel van vraag 2 (6p).

Transformaties van grafieken

Vraag 2 (6p): in vraagstelling — “De grafiek van f ondergaat een translatie van 2 naar rechts en b omhoog.” Waarde van b bepalen zodat S op de nieuwe grafiek g ligt.
Vraag 5 (4p): in vraagstelling — h ontstaat uit f “door middel van meerdere translaties en één vermenigvuldiging ten opzichte van de x-as” met factor p; p wordt bepaald via de amplitude-verhouding tussen h en f.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (10 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 3 (4p): kernonderdeel — 2sin(x−⅓π) = −1 exact oplossen op het gegeven interval, met de algemene oplossing x = ⅓π+16π+k·2π of x = ⅓π+56π+k·2π (met k geheel), resulterend in vier snijpunten met lijnstuk AB.
Vraag 4 (3p): kernonderdeel — 2cos(a−¾π)+2 = 2sin(a−⅓π) (of gelijkwaardig) numeriek oplossen met de GR; frasering: “Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden.” Eindantwoord a = 0,39 of a = 4,59.
Komt 2× voor, samen 7 scorepunten, met duidelijk onderscheid tussen exact (v3) en numeriek/GR (v4).

Samengestelde functies

Vraag 5 (4p): zichtbaar in vraagstelling en correctievoorschrift — h(x) = f(x)+3−g(x), een verschilfunctie van twee gegeven functies; extremen van h worden bepaald om de amplitude/factor p te vinden.
Vraag 9 (3p): zichtbaar in vraagstelling — h(x) = f(x)/g(x), een quotiëntfunctie; de perforatie van h wordt onderzocht.
Komt 2× voor (7 scorepunten samen), telkens als opzet van een grotere opgave (niet los bevraagd, wel noodzakelijk om de functie h te doorgronden).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe de extreme waarden van h(x) = f(x)+3−g(x) berekend kunnen worden”, (het minimum) 1,948… en (het maximum) 13,948… via de GR.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 0 oplossen om de x-coördinaat van top T te vinden.
Vraag 16 (6p): impliciet — de minimale lengte van lijnstuk PM wordt bepaald (extreemwaardeprobleem).
Komt 3× voor, telkens ondersteunend aan een grotere berekening (15 scorepunten samen betrokken).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 6 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, lijn l gegeven met vectorvoorstelling (x,y) = (1,9) + t·(3,−1); ook een vectorvoorstelling van de lijn door B en D wordt opgesteld: (x,y) = (2,2) + s·(1,3) (in het correctiemodel).
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag (7p), gegeven in de vraagstelling zelf en verder gebruikt in de uitwerking.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 6 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Het stelsel 2−s = 1+3t, 2+3s = 9−t moet worden opgelost” om het snijpunt D van twee lijnen (via vectorvoorstellingen) te vinden.
Frasering: “Het stelsel … moet worden opgelost.”
Komt 1× voor, essentiële tussenstap (meerdere van de 7 scorepunten hangen hiervan af).

Vergelijking van een lijn

Vraag 6 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift, als alternatieve oplossingsmethode — “Een vergelijking van lijn l is x+3y = 28”, “Een vergelijking van de lijn door B en D is y = 3x−4”, opgelost via substitutie.
Komt 1× voor, als één van meerdere gelijkwaardige oplosroutes (niet de hoofdroute maar wel volwaardig, geeft volledige scorepunten).

Vector

Vraag 6 (7p): kernonderdeel — loodrechte projectie van punten A en B op lijn l, gebruik van richtingsvectoren en loodrechte stand om C en D (en in alternatieve methodes B’) te bepalen.
Komt 1× voor, drijft de hele opgave (7p).

Inproduct

Vraag 6 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift, als alternatieve oplossingsmethode — richtingsvector van AB is (1,1) en van BB’ is (3,−1); “Er geldt dus cos(∠ABB’) = ((1,1)·(3,−1))/(√2·√10)”, gevolgd door het oplossen van een vergelijking met k via deze hoekrelatie.
Komt 1× voor, in één van de alternatieve oplosroutes van vraag 6 (geen aparte losse inproduct-vraag, wel een volwaardig scorepunten-pad).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 6 (7p): de gelijkvormigheidsredenering (driehoek ASC gelijkvormig met driehoek BSD, “omdat ∠SDB = ∠SCA en ∠BSD = ∠ASC”) is een van de alternatieve oplossingsmethoden voor het bepalen van k.
Vraag 17 (5p): kernonderdeel — vierhoek MFNG wordt onderzocht via twee rechthoekige driehoeken MFG en FNG (Pythagoras), om de oppervlakte te vergelijken met die van een cirkel.
Komt 2× voor (12 scorepunten samen betrokken), telkens meetkundige redenering met driehoeken als kern.

Exponentiële functie

Vraag 7 (4p): kernonderdeel — f(x) = eˣ−1 en g(x) = 3(1−e⁻ˣ); vergelijking f(x) = g(x) exact oplossen via substitutie p = eˣ, leidt tot p²−4p+3 = 0.
Vraag 8 (4p): kernonderdeel — oppervlakte tussen de twee e-machtfuncties.
Vraag 9 (3p): kernonderdeel — perforatie van h(x) = f(x)/g(x), met limietberekening bij x→0.
Frasering: “De functies f en g worden gegeven door f(x) = eˣ−1 en g(x) = 3(1−e⁻ˣ).” Dominant thema van de hele opgave “Twee e-machten” (11 scorepunten samen).

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 3 (4p): 2sin(x−⅓π) = −1 exact oplossen.
Vraag 7 (4p): eˣ−1 = 3(1−e⁻ˣ) exact oplossen via substitutie p = eˣ, p²−4p+3=0.
Vraag 13 (5p): −3+x·√(x+3) = x (na herschrijven) leidt tot x²−x−3 = 0, kwadratische vergelijking oplossen met de abc-formule.
Vraag 15 (5p): f”(x) = 0 oplossen, −0,00048x²+0,024 = 0 geeft x² = 50.
Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van een grotere vraag (18 scorepunten samen betrokken).

Bewijzen en aantonen

Vraag 7 (4p): “Bewijs dat dit juist is door de vergelijking f(x) = g(x) exact op te lossen.” Volledige vraag is een bewijsvraag (4p).
Komt 1× voor dit tijdvak, minder dominant dan in andere tijdvakken maar wel volledig kernonderdeel.

Bepaalde integraal

Vraag 8 (4p): kernonderdeel — oppervlakte = ∫₀^ln(3) (4−3e⁻ˣ−eˣ) dx (na herschrijven van g(x)−f(x)).
Vraag 14 (5p): kernonderdeel — inhoud omwentelingslichaam via π∫(x³−3x²)… vorm (na verschuiven van f met lijn l: y=−3).
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (9 scorepunten samen).

Primitieve functie

Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 4−3e⁻ˣ−eˣ is 4x+3e⁻ˣ−eˣ.
Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van x³−3x² is ¼x⁴−x³.
Komt 2× voor, telkens noodzakelijke tussenstap (2 scorepunten specifiek voor de primitieve).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 9 (3p): kernonderdeel — “De grafiek van h heeft één perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” Oplossing via limₓ→₀ h(x) = limₓ→₀ (eˣ−1)/(3(1−e⁻ˣ)) = 1/3, na herleiden tot een breuk zonder de perforatie-factor.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p), rechtstreekse toepassing van het limietbegrip op een perforatie.

Kinematica met vectoren

Vraag 10 (5p): in vraagstelling — bewegingsvergelijkingen x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55 voor de baan van een basketbal; stelsel oplossen voor v.
Vraag 11 (5p): idem, met α=50° en v=8 m/s gegeven; hoek β van de baan bij de basket bepalen via x’(t) en y’(t).
Frasering: “Voor de baan van de bal geldt: x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55.” Komt 2× voor, dominant thema van de opgave “Basketbal” (10 scorepunten samen), expliciet met “algebraïsch” als vereiste methode (niet enkel GR).

Standaardafgeleiden

Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) = 8cos(50°), y’(t) = 8sin(50°)−9,8t (afgeleiden van lineaire en kwadratische term).
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) bevat de afgeleide van √(x+3) (macht ½).
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = −0,00016x³+0,024x en f”(x) = −0,00048x²+0,024 (machtsregel op x⁴ en x²).
Komt 3× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord.

Somregel en verschilregel

Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = −0,00004x⁴+0,012x²+2,3 term voor term differentiëren tot f’(x) en f”(x).
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 15.

Machtsfunctie

Vraag 15 (5p): in vraagstelling — f(x) = −0,00004x⁴+0,012x²+2,3, een vierdegraadsfunctie (combinatie van machtstermen) als model voor het wegdek van de boogbrug.
Vraag 16 (6p): in vraagstelling — dezelfde functie f gebruikt om punt P(p, f(p)) te definiëren.
Komt 2× voor als onderliggend functietype van de opgave “Boogbrug” (11 scorepunten samen).

Buigpunten

Vraag 15 (5p): kernonderdeel — het maximum van de absolute waarde van de helling (dus van f’) wordt gevonden via f”(x) = 0, wat neerkomt op het zoeken van de buigpunten van f (x² = 50, dus x = ±√50).
Frasering: “Dit kun je controleren door te bepalen hoe groot het maximum van de absolute waarde van de helling is.”
Komt 1× voor, maar kernonderdeel van de vraag (meerdere van de 5 scorepunten hangen af van het correct vinden van dit buigpunt/extreme van f’).

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (3p): “Bereken exact de richtingscoëfficiënt van l.”
Vraag 2 (6p): “Bereken exact de waarde van b.”
Vraag 3 (4p): “Bereken exact de x-coördinaten van deze snijpunten.”
Vraag 6 (7p): “Bereken exact de waarde van k.”
Vraag 7 (4p): “Bewijs dat dit juist is door de vergelijking … exact op te lossen.”
Vraag 8 (4p): “Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.”
Vraag 9 (3p): “Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.”
Vraag 10 (5p): “Bereken in deze situatie algebraïsch de snelheid v.”
Vraag 11 (5p): “Bereken algebraïsch de grootte van hoek β.”
Vraag 12 (5p): “Bereken exact de x-coördinaat van punt T.”
Vraag 13 (5p): “Bereken exact de x-coördinaat van punt S.”
Vraag 14 (5p): “Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam.”
Vraag 15 (5p): “Onderzoek op algebraïsche wijze of het model aan deze eis voldoet.”
Typisch frasering: “Bereken exact …” / “algebraïsch”. Zeer dominant dit tijdvak: 13 van de 17 vragen expliciet “exact” of “algebraïsch”, samen 62 van de 79 scorepunten.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 4 (3p): “Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden” (numeriek met GR), eindantwoord in twee decimalen.
Vraag 5 (4p): extreme waarden van h via GR bepaald.
Vraag 10, 11, 16: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) expliciet zichtbaar als “Beschrijven hoe … kan worden opgelost/bepaald” in het correctievoorschrift.
Komt meermaals terug als noodzakelijke toelichtingsstap, generiek van toepassing op elke vraag met een niet-exact eindantwoord.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 4 (3p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 5 (4p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 10 (5p): “Geef je eindantwoord in meters per seconde in één decimaal.”
Vraag 11 (5p): “Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 16 (6p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (1 scorepunt aftrek per rekenfout) gelden voor het hele examen. Komt 5× expliciet terug in de vraagstelling.

Optimaliseren

Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de lengte van lijnstuk PM is minimaal” bepalen om de straal MR van de cirkelvormige doorgang te berekenen (afstand van punt tot punt op de kromme minimaliseren, met nevenvoorwaarde PR = 0,30 m).
Komt 1× voor, volledige vraag (6p), met twee alternatieve oplosroutes (minimaliseren van MP² direct, of via loodrechte raaklijn-voorwaarde f(p)/(p−5)·f’(p) = −1).

Kettingregel

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) bevat de afgeleide van √(x+3), kettingregel nodig voor de wortelfunctie binnen het product |x|·√(x+3).
Opmerking bij vraag 12 noemt expliciet “productregel, quotiëntregel of kettingregel”.
Komt 1× voor als noodzakelijke rekenstap, verweven met Productregel.

Productregel

Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = −3+x·√(x+3) (voor x≤0, met |x|=−x herschreven), f’(x) = −√(x+3) − x/(2√(x+3)), differentiëren van een product van twee factoren.
Opmerking: “Als in het tweede antwoordelement de productregel, quotiëntregel of kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag … maximaal 1 scorepunt worden toegekend.”
Komt 1× voor, essentiële rekenstap binnen vraag 12.

Absolute-waardefunctie

Vraag 12 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = −3+|x|·√(x+3) met x≥−3, top T links van de y-as bepalen.
Vraag 13 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, lijn k door P(−3,−3) en O snijdt de grafiek van f rechts van de y-as in punt S.
Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, gebied V (ingesloten door f en lijn y=−3) gewenteld om lijn l.
Frasering: “De functie f wordt gegeven door f(x) = −3+|x|·√(x+3) met x≥−3.” Dominant thema van de hele opgave “Absolute waarde en wortelfunctie” (15 scorepunten samen).

Afgeleide functie

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) via de quotiëntregel.
Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t), y’(t) als afgeleiden van de parametervergelijkingen.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) via productregel/kettingregel.
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) en f”(x) berekenen.
Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f’(p) gebruikt in de loodrechte-raaklijnvoorwaarde.
Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel/Quotiëntregel-notities).

Omwentelingslichaam

Vraag 14 (5p): in vraagstelling — “Gebied V wordt gewenteld om lijn l. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.” Wenteling om een horizontale lijn y=−3 (niet om de x-as), functie eerst verschoven met +3.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).

Parametervoorstelling

Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55 als baan van de basketbal.
Vraag 11 (5p): in vraagstelling — zelfde soort parametervoorstelling, nu met concrete waarden voor α en v.
Frasering: “Voor de baan van de bal geldt: …” Komt 2× voor, dominant thema van de opgave “Basketbal” (10 scorepunten samen).

Oppervlakte met integralen

Vraag 8 (4p): in vraagstelling — “De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.” Vlakdeel tussen twee e-machtfuncties, via bepaalde integraal van het verschil.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 17 (5p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, drie cirkels met gelijke straal r in rechthoek ABCD, raakcirkels (onderste raakt aan alle zijden van driehoek ABD, bovenste aan driehoek BCD, middelste raakt aan beide), MS = 2r omdat MN door de raakpunten van de cirkels gaat.
Frasering: “Onderzoek of de oppervlakte van vierhoek MFNG groter dan, kleiner dan of gelijk aan de oppervlakte van een van de cirkels is.” Gebruikt de figuur (bijlage) expliciet.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p), dominant thema van de opgave “Rechthoek met drie cirkels”.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2023-tijdvak2-digest