Digest 2024 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 18 vragen (76 punten). 39 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Stijgend en horizontaal (v1-2), Wachttijden (v3-5), Verschuiven (v6), Logaritme, wortel en exponent (v7-8), Klavertje drie (v9-10), Halve cirkel (v11-12), Top, asymptoot en geen perforatie (v13-14), Vereenvoudigde sterrenkunde (v15-18).

Machtsfunctie

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f(x) = x⁵ − 3x√x, een machtfunctie met gebroken exponent (x^(3/2)), basis van de hele opgave “Stijgend en horizontaal”.
Komt 1× voor, ondersteunend basisfunctietype.

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 5x⁴ − 4½√x (machtsregel op x⁵ en x
Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — standaardafgeleide van e^(at) als onderdeel van het bewijs.
Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 6(3x−7), machtsregel als basis onder de kettingregel.
Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van cos(t), sin(t), cos(4t), sin(4t).
Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ST(a) = a − 2/a is 1 + 2/a² (machtsregel op a⁻¹).
Komt 5× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord.

Somregel en verschilregel

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van x⁵ − 3x^(3/2) term voor term.
Komt 1× voor, ondersteunende stap.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 1 (3p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel. Frasering: “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.” Via f’(1) = 12 > 0.
Vraag 4 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is van y = teᵃᵗ voor elke waarde van a (met a ≠ 0).” Via differentiëren en vergelijken met de gegeven functie.
Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel van de vraag.

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.”
Vraag 4 (3p): “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is … voor elke waarde van a.”
Vraag 13 (4p): “Bewijs dit.” (geen enkele waarde van a geeft een perforatie)
Vraag 16 (3p): “Bewijs dat dit verband juist is.”
Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 13 scorepunten), brede terugkerende examenvaardigheid.

Hellinggrafiek

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — teken van f’(1) bepaalt of de grafiek stijgt.
Vraag 6 (6p): in vraagstelling — “De helling van de raaklijn in A aan de grafiek van g is −6.”
Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — helling van de raaklijn bepaald via dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt).
Komt 3× voor.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 1 (3p): kernidee stijgend gedrag via teken van de afgeleide.
Vraag 7 (5p): in vraagstelling — impliciet, minimale lengte van het verticale lijnstuk tussen f en g (extreme waarde).
Vraag 14 (6p): in vraagstelling — “Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.”
Komt 3× voor.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 2 (4p): kernonderdeel — p⁵−3p√p = (p+12)⁵−3(p+12)√(p+12) numeriek oplossen met de GR.
Vraag 6 (6p): kernonderdeel — 6(3x−7) = −6 exact oplossen.
Vraag 8 (6p): kernonderdeel — logaritmische vergelijking in p onderzoeken op oplossingen (blijkt geen oplossing te hebben).
Vraag 13 (4p): kernonderdeel — aantonen dat a²+2 = 0 geen oplossingen heeft.
Vraag 15 (2p): kernonderdeel — 10 = 0,4+0,3·2^(n−2) oplossen.
Vraag 18 (4p): kernonderdeel — vergelijking voor de straal r van de baan van de zon oplossen.
Komt 6× voor, zeer dominant dit tijdvak (samen 27 scorepunten).

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” (toelichting GR-gebruik).
Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe de minimale waarde van f(x)−g(x) kan worden bepaald.”
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) generiek van toepassing bij elke vraag met numeriek/GR-eindantwoord.
Komt 2× expliciet terug, plus generiek van toepassing.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 2 (4p): “Geef je eindantwoord in drie decimalen.”
Vraag 3 (3p): “Geef je eindantwoord in één decimaal.”
Vraag 5 (4p): “Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 7 (5p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 17 (3p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 18 (4p): “Geef je eindantwoord in honderdduizendtallen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 1 (aftrek voor rekenfouten) en regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden) gelden voor het hele examen. Komt 6× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met numeriek eindantwoord.

Algebraïsch en exact

Vraag 3 (3p): “Bereken algebraïsch in hoeveel procent van de gevallen de wachttijd tussen 0 en 3 minuten ligt.”
Vraag 5 (4p): “Bereken algebraïsch de gemiddelde wachttijd in minuten.”
Vraag 6 (6p): “Stel op exacte wijze een functievoorschrift van g op.”
Vraag 8 (6p): “Onderzoek op exacte wijze of er een waarde van p is waarvoor dit verschil gelijk is aan 3.”
Vraag 9 (5p): “Bereken exact de afstand tussen P en Q in deze situaties.”
Vraag 10 (6p): “Bereken exact de scherpe hoek in graden tussen de raaklijn aan de baan in punt P en de x-as.”
Vraag 11 (4p): “Bereken exact de x-coördinaat van P.”
Vraag 12 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van vierhoek AORS.”
Vraag 14 (6p): “Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.”
Vraag 15 (2p): “Bereken exact welk rangnummer Saturnus dan zou hebben.”
Vraag 17 (3p): “Bereken algebraïsch de afstand in AE van de aarde tot Venus.”
Typisch frasering: “Bereken exact …”, “Bereken algebraïsch …”, “Stel op exacte wijze …”, “Onderzoek op exacte wijze …”. Zeer dominant dit tijdvak: 11 van de 18 vragen, samen 50 scorepunten.

Exponentiële functie

Vraag 3 (3p): in vraagstelling — Erlang-wachttijdmodel f(t) = 50e
Vraag 4 (3p): in vraagstelling — algemene vorm y = teᵃᵗ met primitieve in exponentiële vorm.
Vraag 5 (4p): in vraagstelling — zelfde model f(t) = 50e^(−½t), gemiddelde berekenen.
Vraag 15 (2p): in vraagstelling — a = 0,4+0,3·2^(n−2) (Wet van Titius-Bode).
Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Wachttijden” plus opgave “Vereenvoudigde sterrenkunde”.

Bepaalde integraal

Vraag 3 (3p): kernonderdeel — ∫₀³ 50e^(−½t) dt.
Vraag 5 (4p): kernonderdeel — (1/100)∫₀²⁰ t·f(t) dt.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel.

Primitieve functie

Vraag 3 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 50e^(−½t) is −100e
Vraag 4 (3p): in vraagstelling — gegeven primitieve y = (t/a − 1/a²)eᵃᵗ van y = teᵃᵗ, waarvan het bewijs gevraagd wordt.
Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van y = te^(−½t) is (−2t−4)e
Komt 3× voor.

Productregel

Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van t·eᵃᵗ, product van twee functies van t.
Komt 1× voor, essentiële rekenstap binnen het bewijs.

Kettingregel

Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van eᵃᵗ.
Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van (3x−7)². Expliciete opmerking: “Als in het eerste antwoordelement … de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend.”
Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van cos(4t) en sin(4t).
Komt 3× terug, bij vraag 6 zelfs met een expliciete scoringsregel over correct gebruik.

Transformaties van grafieken

Vraag 6 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Frasering: “De grafiek van f wordt naar rechts en omhoog verschoven. Hierdoor ontstaat de grafiek van de functie g.”
Komt 1× voor, dominant thema van opgave “Verschuiven” (6p).

Functievoorschrift

Vraag 6 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Stel op exacte wijze een functievoorschrift van g op.”
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Raaklijn

Vraag 6 (6p): in vraagstelling — “De helling van de raaklijn in A aan de grafiek van g is −6.”
Vraag 10 (6p): in vraagstelling — “de raaklijn aan de baan in punt P.”
Komt 2× voor.

Logaritmische functie

Vraag 7 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = ²log(1/x)+8, g de inverse van f.
Vraag 8 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, zelfde functie f, verschil yQ−yP onderzocht.
Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Logaritme, wortel en exponent” (11 scorepunten samen).

Inverse functie

Vraag 7 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “De functie g is de inverse functie van f.” Kortste verticale lijnstuk tussen f en g berekenen.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.

Optimaliseren

Vraag 7 (5p): in vraagstelling — impliciet, minimaliseren van de verticale afstand tussen f en g.
Vraag 14 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.”
Komt 2× voor.

Parametervoorstelling

Vraag 9 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen xP(t) = 4cos(t)−cos(4t), yP(t) = 4sin(t)−sin(4t).
Vraag 10 (6p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, raaklijn via dx/dt en dy/dt.
Frasering: “Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen.” Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Klavertje drie” (11 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 9 (5p): in vraagstelling — “Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen … met t in seconden.”
Vraag 10 (6p): idem, zelfde baan.
Komt 2× voor, zwak/indirect (de vragen zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren, niet op snelheids- of versnellingsvectoren zelf; de “bewegingsvergelijking”-frasering met t in seconden is het voornaamste raakvlak).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 8cos(t) = 0 oplossen, wat leidt tot t = ½π of t = 1½π.
Komt 1× voor, tussenstap naar het exacte eindantwoord.

Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(t+π) = −cos(t) en cos(4(t+π)) = cos(4t), periodiciteit/symmetrie gebruikt om de vergelijking xP = xQ te herleiden.
Vraag 17 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(180°−θ) = −cos(θ) toegepast om het stelsel te herleiden tot één vergelijking in d.
Komt 2× voor, beide keren als noodzakelijke herleidingsstap.

Som- en verschilformules

Op de bijgeleverde formulekaart (afgedrukt bovenaan het examen) staan de som-, verschil- en verdubbelingsformules voor sin/cos; deze onderliggen impliciet de herleidingen bij vraag 9 en 17, maar worden in het beoordelingsmodel niet als zelfstandige toepassing gescoord.
Zwak/indirect, geen losse scorepunten specifiek voor de formule zelf dit tijdvak.

Vector

Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — richtingsvector (4√3, 4) van de raaklijn gebruikt om de hoek met de x-as te bepalen.
Vraag 18 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — coördinaten/vectoraanpak voor het zwaartepunt OP.
Komt 2× voor, beide keren als alternatieve oplossingsroute naast een hoofdmethode.

Inproduct

Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cos(θ) = (v·w)/(|v|·|w|) voor de hoek tussen raaklijn en x-as, met richtingsvectoren (4√3,4) en (1,0).
Komt 1× voor, als alternatieve methode naast de dy/dx-aanpak.

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 11 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “De lijn k gaat door de oorsprong O en snijdt cirkel c in punt P.”
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Vergelijking van een cirkel

Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — (x−1)²+y² = 2² als vergelijking van cirkel c (middellijn AB).
Komt 1× voor, noodzakelijke stap binnen vraag 11.

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — cosinusregel toegepast in driehoek OMP.
Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — sin(∠OBR) en cos(∠OBR) gebruikt.
Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cosinusregel in driehoek ZAV en in driehoek ZVM, kernonderdeel van het bewijs.
Vraag 17 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel in driehoek ABZ.
Komt 4× voor, kernmethode in de meetkunde-/sterrenkunde-opgaven (13 scorepunten betrokken).

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Uit het stelsel van deze twee vergelijkingen volgt 4 = 2x+1+6¼ (of een andere juiste lineaire vergelijking)” (cirkelvergelijking gecombineerd met afstandsvergelijking OP=2½).
Komt 1× voor, zwak/indirect (expliciet “stelsel” genoemd in het correctievoorschrift, maar het is een combinatie van een cirkel- en een afstandsvergelijking, geen klassiek lineair 2×2-stelsel).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 11 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cirkel c met middellijn AB, lijn k door O.
Vraag 12 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, gelijkvormige driehoeken BRO en BSA, stelling van Pythagoras.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Halve cirkel” (9 scorepunten samen).

Linker- en rechterlimiet en perforatie

Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Frasering: “Er bestaat geen waarde van a waarvoor de grafiek van fa een perforatie heeft. Bewijs dit.” Aangevuld met een correctie op het correctievoorschrift zelf (aanvulling 2024-1, over de haakjes in de laatste deelscore).
Komt 1× voor, volledige vraag (4p), zeer expliciet dit tijdvak.

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — horizontale asymptoot bepaald via lim(x→∞) fa(x) = a.
Komt 1× voor, onderdeel van een grotere vraag (deel van de 6 scorepunten).

Zwaartepunt

Vraag 18 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Frasering: “De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt. Bereken de straal van deze baan in km.” Zwaartepuntformule OP toegepast op het stelsel zon-Jupiter.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Afgeleide functie

Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekenen.
Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — dy/dt berekenen ter verificatie van de primitieve.
Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) resp. g’(x).
Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt.
Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ST(a).
Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere notities Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 16 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Bewijs dat dit verband juist is.” Geometrisch bewijs via de cosinusregel in twee driehoeken (ZAV en ZVM) die herleid worden tot de gegeven verhouding.
Komt 1× voor, zwak/indirect (het bewijs is algebraïsch-meetkundig via de cosinusregel, vergelijkbaar met eerdere jaren se bewijsvragen in de vlakke meetkunde, maar minder zuiver “meetkundig” dan bijvoorbeeld raakcirkel-bewijzen).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2024-tijdvak1-digest