Digest 2024 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 17 vragen (75 punten). 36 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Twee functies (v1-2), Cobb-Douglas-productiefunctie (v3-5), Loodrecht op de snelheidsvector (v6-8), Passende parabool (v9), Lijnenparen (v10-12), Absolute logaritme (v13-14), Lijnstukken bij een exponentiële functie (v15-16), Een hoek van 45 graden (v17).

Machtsfunctie

Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=72−x³ en g(x)=x√x zijn beide machtsfuncties (x³ resp. x^(3/2), de wortelfunctie als bijzonder geval). Substitutie p=x√x gebruikt om exact op te lossen.
Vraag 3 (2p) / vraag 5 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, Y=40·L^0,7·(50−2,5L)^0,3 is opgebouwd uit machtsfuncties met gebroken exponenten; vraag 5 bewijst een schaaleigenschap (gY=A·(gL)^α·(gK)^β) die expliciet leunt op machtsfunctie-rekenregels.
Komt 2× voor (opgaven “Twee functies” en “Cobb-Douglas-productiefunctie”), telkens als onderliggend functietype.

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (4p): “Bereken exact de coördinaten van S.”
Vraag 2 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van V.”
Vraag 4 (5p): “Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen…”
Vraag 8 (3p): “Bereken exact de vier waarden van t…”
Vraag 9 (6p): “Bereken exact de waarden van a, b en c.”
Vraag 13 (4p): “Bereken exact de x-coördinaten van deze vier punten.”
Vraag 14 (4p): “Bereken exact deze waarde van a.”
Vraag 16 (7p): “Bereken exact deze waarde van a.”
Vraag 17 (6p): “Bereken algebraïsch de mogelijke coördinaten van beide posities.”
Zeer dominant dit tijdvak: 9 van de 17 vragen expliciet “exact” of “algebraïsch” (samen 44 scorepunten) — nog sterker aanwezig dan in tijdvak 1 2025.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 1 (4p): kernonderdeel — 72−p²=p oplossen na substitutie p=x√x (kwadratische vergelijking).
Vraag 13 (4p): kernonderdeel — ²log(x²−18x+69)=2 én =−2 oplossen (twee kwadratische vergelijkingen).
Vraag 14 (4p): kernonderdeel — kwadratische vergelijking x²−ax+69=0 met abc-formule oplossen naar de twee asymptootwaarden.
Vraag 16 (7p): kernonderdeel — e^(2a)−e^a−2=0 herleiden en factoriseren tot (e^a−1)(e
Komt 4× voor, telkens kernonderdeel (19 scorepunten samen).

Raaklijn

Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “Lijn k raakt aan de grafiek van f in het punt P rechts van de y-as.” Kernvoorwaarde om P te vinden (f’(x)=richtingscoëfficiënt van k).
Vraag 9 (6p): in vraagstelling — “De raaklijn aan de grafiek van f in punt S snijdt de x-as in het punt…” Kernonderdeel, raaklijn gebruikt om b te bepalen.
Vraag 15 (5p): in vraagstelling — “Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van a door de oorsprong gaat.” Kernonderdeel, volledige vraag.
Komt 3× voor, telkens een centraal element van de opgave (16 scorepunten samen).

Standaardafgeleiden

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=−3x² (machtsregel).
Vraag 7 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t)=cos(t), y’(t)=−sin(t+¼π) (basisafgeleiden sin/cos, met lineaire substitutie in het argument).
Vraag 9 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=2ax+b.
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x)=a·e
Komt 4× terug, steeds als noodzakelijke basisstap onder een groter antwoord.

Somregel en verschilregel

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=72−x³ term voor term differentiëren.
Vraag 9 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=ax²+bx+c term voor term differentiëren tot f’(x)=2ax+b.
Komt 2× voor, beide keren ondersteunende stap (geen losse scorepunten specifiek hiervoor).

Bepaalde integraal

Vraag 2 (5p): kernonderdeel — ∫(−12x+88−(72−x³))dx moet berekend worden voor de oppervlakte van V.
Komt 1× voor dit tijdvak.

Primitieve functie

Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van x³−12x+16 is ¼x⁴−6x²+16x.
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 5 scorepunten specifiek hiervoor).

Oppervlakte met integralen

Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de y-as… Bereken exact de oppervlakte van V.” Kernonderdeel, volledige vraag (5p).
Komt 1× voor dit tijdvak.

Bewijzen en aantonen

Vraag 3 (2p): “Toon aan dat Y=40·L^0,7·(50−2,5L)
Vraag 5 (4p): “Bewijs dat bij α+β=1 geldt: als zowel L als K met dezelfde factor g groeit, dan groeit ook de productie Y met diezelfde factor g.”
Vraag 7 (4p): “Bewijs dat uit het feit dat de vector OP loodrecht staat op de snelheidsvector in punt P inderdaad volgt: sin(2t)=sin(2t+½π).”
Vraag 10 (4p): “Bewijs dat voor elke positieve waarde van a punt S op de grafiek van f ligt.”
Vraag 15 (5p): “Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van a door de oorsprong gaat.”
Frasering: “Toon aan dat…”, “Bewijs dat…”. Zeer frequent: 5 van de 17 vragen zijn bewijsvragen (samen 19 scorepunten) — dominante examenvaardigheid, net als in 2025 tijdvak 1.

Productregel

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dY/dL vereist het differentiëren van het product L^0,7·(50−2,5L)^0,3; expliciete opmerking in het correctievoorschrift: “Als in het eerste antwoordelement de productregel en/of de kettingregel niet is gebruikt, mogen voor dit antwoordelement geen scorepunten worden toegekend.”
Komt 1× voor, maar zwaar/expliciet vereist (2 van de 5 scorepunten).

Kettingregel

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — (50−2,5L)^0,3 is een samengestelde functie, kettingregel nodig binnen de productregel-toepassing (zie ook expliciete opmerking hierboven).
Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x)=a·e^(ax), kettingregel voor e
Komt 2× terug, beide keren essentiële rekenstap zonder losse scorepunten.

Optimaliseren

Vraag 4 (5p): in vraagstelling — “Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten om de productie Y maximaal te krijgen.” Kernonderdeel, volledige vraag (5p), klassiek optimaliseringsprobleem met nevenvoorwaarde (budgetvergelijking geeft K als functie van L).
Komt 1× voor dit tijdvak.

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — dY/dL=0 oplossen voor het maximum.
Vraag 11 (3p): in vraagstelling — “Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x>5 daalt.” Kernonderdeel, teken van de afgeleide.
Komt 2× voor (8 scorepunten samen).

Parametervoorstelling

Vraag 6 (3p): in vraagstelling — kromme gegeven door x(t)=sin(t), y(t)=cos(t+¼π), 0≤t≤2π. Kernonderdeel.
Vraag 7 (4p) / vraag 8 (3p): in vraagstelling en correctievoorschrift — zelfde parametervoorstelling gebruikt voor de afgeleiden en de oplossing van de vergelijking.
Frasering: “De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen.” Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Loodrecht op de snelheidsvector” (10 scorepunten samen).

Kinematica met vectoren

Vraag 6 (3p): in vraagstelling — expliciet “bewegingsvergelijkingen” van punt P, kinematica-achtige framing.
Vraag 7 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, de “snelheidsvector” v=(x’(t), y’(t)) wordt letterlijk gebruikt en berekend.
Vraag 8 (3p): indirect — resultaat van de kinematische afleiding in v7 wordt hier opgelost.
Frasering: “de snelheidsvector in punt P”. Komt 3× voor, sterker/directer aanwezig dan in 2025 tijdvak 1 (waar het alleen impliciet via “bewegingsvergelijkingen”-frasering meespeelde) — hier wordt de snelheidsvector zelf expliciet berekend en gebruikt in een bewijs.

Vector

Vraag 7 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — OP als vector, loodrecht op de snelheidsvector v.
Vraag 17 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, vectoren OP en OQ, hoek ertussen.
Komt 2× voor (10 scorepunten samen).

Inproduct

Vraag 7 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Uit OP·v volgt sin(t)·cos(t) + cos(t+¼π)·(−sin(t+¼π)) = 0”, de inproductformule a·b=0 ⟺ loodrecht rechtstreeks toegepast.
Vraag 17 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, cos(∠(OP,OQ)) = (OP·OQ)/(|OP|·|OQ|) expliciet gebruikt om de hoek van 45° te vertalen naar een vergelijking.
Komt 2× voor, beide keren kernstap (samen ruim de helft van de scorepunten van beide vragen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 8 (3p): kernonderdeel — sin(2t)=sin(2t+½π) exact oplossen via de algemene oplossing (2t=π−(2t+½π)+k·2π), geeft vier waarden van t.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Som- en verschilformules

Vraag 7 (4p): impliciet zichtbaar — de herleiding van “sin(t)cos(t)+cos(t+¼π)(−sin(t+¼π))=0” naar “sin(2t)=sin(2t+½π)” gebruikt de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) (van de formulekaart, die ook in dit tijdvak is bijgevoegd).
Komt 1× terug, ondersteunend (geen losse scorepunten, wel noodzakelijk voor de herleiding).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 6 (3p): “Bereken deze maximale afstand. Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 12 (6p): “Rond je eindantwoord af op twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 3a/3b (afronden van tussenantwoorden, zonder maximum bij wiskunde B) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 2× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 6 (3p): impliciet — “Beschrijven hoe het maximum van AP kan worden berekend” vereist een GR-toelichting.
Vraag 12 (6p): impliciet — numerieke oplossing van de cirkelvergelijking voor a.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) zichtbaar in het correctievoorschrift. Komt 2× terug als noodzakelijke toelichtingsstap.

Vergelijking van een lijn

Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn m herschreven als y=a(x−10)+4.
Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — de lijn door O en Q beschreven met richtingscoëfficiënt q, y=qx.
Komt 2× voor, beide keren als (een van de) oplosroutes naast een andere methode.

Snijpunten van lijnen en cirkels

Vraag 10 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, S is het snijpunt van lijnen k en m; bewijs dat dit snijpunt op de grafiek van f ligt.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.

Stelsel van lineaire vergelijkingen

Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — het snijpunt van k (y=ax) en m (richtingscoëfficiënt −a door P) bepalen via een stelsel.
Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — het stelsel a−3b=25 (of b=−2a) gecombineerd met a²+b²=125 oplossen.
Komt 2× terug, beide keren als noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs/berekening.

Quotiëntregel

Vraag 11 (3p): kernonderdeel — zichtbaar in correctievoorschrift, dy/dx van y=2x/(x−5) via [2(x−5)−1·2x]/(x−5)².
Komt 1× voor, volledige vraag (3p) hangt hiervan af.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 11 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x>5 daalt” — exacte afleiding van f’(x) gevolgd door tekenonderzoek (10/(x−5)²>0 dus dalend), typerend voorbeeld van dit examentype.
Komt 1× voor dit tijdvak.

Vergelijking van een cirkel

Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — (x−r)²+y²=r² als vergelijking van cirkel c met middelpunt (r,0).
Komt 1× voor, als een van de oplosroutes.

Raaklijn aan een cirkel

Vraag 12 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is één waarde van a waarvoor deze cirkel raakt aan de y-as.” Bijzonder geval: raken aan een coördinaatas.
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — de middelloodlijn van lijnstuk OP gebruikt om middelpunt M te vinden (elk punt op de middelloodlijn heeft gelijke afstand tot O en P), en MO=MP=MS=r (gelijke stralen).
Komt 1× voor, als onderdeel van de oplosroutes.

Logaritmische functie

Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f18(x)=²log(x²−18x+69).
Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x)=²log(x²−ax+69) met verticale asymptoten.
Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Absolute logaritme” (8 scorepunten samen).

Absolute-waardefunctie

Vraag 13 (4p): kernonderdeel — de grafiek van (vermoedelijk) y=|f18(x)| snijdt y=2 in vier punten, wat in het correctievoorschrift leidt tot twee aparte kwadratische vergelijkingen (f18(x)=2 én f18(x)=−2), typerend voor het splitsen bij absolute waarden.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag (opgavetitel “Absolute logaritme” verwijst hier direct naar).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “heeft de grafiek van fa twee verticale asymptoten met een onderlinge afstand van 20.” Verticale asymptoten van een logaritmische functie bepalen via de nulpunten van het argument.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Exponentiële functie

Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x)=e
Vraag 16 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten op de grafiek van fa en haar inverse.
Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Lijnstukken bij een exponentiële functie” (12 scorepunten samen).

Inverse functie

Vraag 16 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de grafiek van de inverse van fa (gestippeld)… De punten D, E en F zijn de beeldpunten van respectievelijk A, B en C bij spiegeling in de lijn y=x.” Spiegeling in y=x om de inverse te construeren.
Komt 1× voor, volledige vraag (7p) — zwaarste vraag van dit tijdvak.

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — P ligt op de lijn met vectorvoorstelling (a,b)=(1,−3)+t·(…), gebruikt om de loodrechte projectie S en de spiegelbeelden van Q te bepalen.
Komt 1× voor, als een van de oplosroutes.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2024-tijdvak2-digest