Digest 2025 tijdvak 1 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 18 vragen (77 punten). 38 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Vierdegraadsfunctie (v1-2), Druppel (v3-5), Cirkels in een cirkel (v6-7), Een wortelfunctie en haar inverse (v8-10), Op en neer (v11-13), Een raaklijn met twee cirkels (v14-15), Logaritmische functies (v16-18).

Buigpunten

Vraag 1 (4p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel. f(x) = x⁴ − 30x², bewijs dat y-coördinaat van de buigpunten 125 is (via f”(x)=0). Frasering: “Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten … is.” Kernonderdeel van vraag 1, volledig 4 scorepunten.
Vraag 2 (4p): in vraagstelling — de buigpunten B en C (uit vraag 1) worden gebruikt om de lijn te bepalen die de grafiek snijdt in A en D. Indirect gebruik, geen scorepunten voor buigpunten zelf maar wel randvoorwaarde van de opgave.
Totaal: 2× dit tijdvak (v1 kernonderdeel, v2 randvoorwaarde).

Bewijzen met differentiëren

Vraag 1 (4p): kernonderdeel — bewijs via f’(x)=4x³−60x, f”(x)=12x²−60, f”(x)=0. Frasering: “Bewijs dat…”. Alle 4 scorepunten hangen af van correcte differentiaalstappen.
Komt 1× voor dit tijdvak, maar zwaar (volledige 4p).

Standaardafgeleiden

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=4x³−60x, f”(x)=12x²−60 (machtsregel toegepast op x⁴ en x²).
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f’(x) = x / (2√(½x²+1)) en g’(x) = -4x / (2√(2x²-2)).
Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — v(t) is de afgeleide van Z_blokje(t)=150+100cos(4t), v(t)=-400sin(4t).
Vraag 18 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — hq’(x) = 1/(2x), f’(x)=1/(x+1) als opgeleide stappen naar raakvoorwaarde.
Komt 4× terug, steeds als basistechniek onder een groter antwoord (geen losse scorepunten specifiek voor de regel, maar wel noodzakelijke stap).

Somregel en verschilregel

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van de som/verschil x⁴ − 30x² term voor term.
Komt 1× voor, ondersteunende stap binnen vraag 1.

Algebraïsch en exact

Vraag 2 (4p): “Bereken exact de lengte van AD” — kernonderdeel, oplossen van x⁴−30x²+125=0 exact.
Vraag 3 (6p): “Bereken exact de coördinaten van deze drie punten” — kernonderdeel.
Vraag 5 (4p): “Bereken exact de inhoud van dit omwentelingslichaam” — kernonderdeel.
Vraag 7 (6p): “Bereken exact de waarde van r” — kernonderdeel.
Vraag 9 (5p): “Bereken exact deze waarde van a” — kernonderdeel.
Vraag 15 (5p): “Bereken exact de coördinaten van M1 en M2” — kernonderdeel.
Vraag 17 (4p): “Bereken exact deze waarde van p” — kernonderdeel.
Typisch frasering: “Bereken exact …”. Zeer dominant dit tijdvak: 7 van de 18 vragen expliciet “exact”, samen 34 scorepunten.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 2 (4p): kernonderdeel — oplossen x⁴−30x²+125=0 (biquadratische vergelijking).
Vraag 7 (6p): kernonderdeel — oplossen 25r²−24r=0.
Vraag 9 (5p): kernonderdeel — oplossen 16a²=18(a²+1) resp. gelijkstellen afgeleiden.
Vraag 16 (4p): kernonderdeel — vergelijking a²+ln²(a) = a²+ln²(a+1)−2 numeriek oplossen (GR), eindantwoord twee decimalen.
Komt 4× voor, telkens kernonderdeel van de vraag (in totaal 19 scorepunten).

Machtsfunctie

Vraag 1 (4p): in vraagstelling — f(x)=x⁴−30x² is een vierdegraads (macht)functie, basis van de hele opgave.
Vraag 2 (4p): in vraagstelling — zelfde functievoorschrift gebruikt.
Komt 2× voor als onderliggend functietype van opgave “Vierdegraadsfunctie”.

Parametervoorstelling

Vraag 3 (6p): in vraagstelling — kromme K gegeven door bewegingsvergelijkingen x(t)=sin(t)(cos(t)+1), y(t)=cos(t), 0≤t≤2π. Kernonderdeel.
Vraag 4 (4p): in vraagstelling en correctievoorschrift — bewijs x² = −y⁴+2y³+2y−1 voor punten van K, met behulp van de parametervoorstelling.
Vraag 5 (4p): in vraagstelling — omwentelingslichaam van het door K ingesloten vlakdeel.
Frasering: “De kromme K wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Druppel” (14 scorepunten totaal).

Productregel

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t) = cos(t)·(cos(t)+1) + sin(t)·(−sin(t)), differentiëren van een product van twee functies van t.
Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 6 scorepunten).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(2t) = cos(t) oplossen via 2t = t + k·2π of 2t = −t + k·2π.
Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — 400sin(4t)=255 oplossen voor t.
Komt 2× voor, in beide gevallen als tussenstap naar een numeriek/exact eindantwoord (5 scorepunten in totaal betrokken).

Raaklijn

Vraag 3 (6p): in vraagstelling — “In drie punten van deze kromme loopt de raaklijn aan de kromme verticaal.” Kernonderdeel (verticale raaklijn ⇒ x’(t)=0).
Vraag 18 (6p): in vraagstelling — “raakt de grafiek van hq de grafiek van f links van de y-as.” Kernonderdeel, raakvoorwaarde tussen twee grafieken (gelijke functiewaarde én gelijke afgeleide).
Frasering: “raakt … verticaal” / “raakt de grafiek van … de grafiek van …”. Komt 2× voor, beide keren volledig kernonderdeel (12 scorepunten samen).

Som- en verschilformules

Vraag 3 (6p): impliciet zichtbaar via formulekaart (cos(2t) op basis van som-/verdubbelingsformules) en gebruikt in de herleiding van x’(t) naar cos(2t)=cos(t).
Komt 1× terug, ondersteunend (de formule zelf staat op de bijgeleverde formulekaart, dus geen scorepunten voor de formule an sich, wel voor het correct toepassen).

Bewijzen en aantonen

Vraag 1 (4p): “Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten 125 is.”
Vraag 4 (4p): “Bewijs dit.” (x² = −y⁴+2y³+2y−1)
Vraag 6 (3p): “Bewijs dit.” (MS = √(9−6r))
Vraag 8 (3p): “Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.”
Vraag 11 (3p): “Laat … zien dat … amplitude 50 … evenwichtsstand 250.”
Vraag 14 (4p): “Bewijs dat de coördinaten van P’ juist zijn.”
Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”, “Laat zien dat…”. Zeer frequent dit tijdvak: 6 van de 18 vragen zijn bewijsvragen (samen 21 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid.

Grondformule van de goniometrie

Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van sin²(t)+cos²(t)=1 (of 1−cos²(t) substitutie) om x² te herleiden naar een uitdrukking in y=cos(t).
Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (meerdere van de 4 scorepunten hangen hiervan af).

Bepaalde integraal

Vraag 5 (4p): kernonderdeel — I = π∫x² dy = π∫(−y⁴+2y³+2y−1) dy over [−1,1].
Vraag 10 (6p): kernonderdeel — oppervlakte V opgebouwd uit meerdere bepaalde integralen van f, g en lijn k.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (10 scorepunten samen).

Omwentelingslichaam

Vraag 5 (4p): in vraagstelling — “Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam… Bereken exact de inhoud.” Kernonderdeel, volledige vraag (4p).
Komt 1× voor dit tijdvak.

Primitieve functie

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van −y⁴+2y³+2y−1 wordt opgesteld: −⅕y⁵+½y⁴+y²+y.
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten specifiek voor de primitieve).

Meetkundige stellingen cirkel

Vraag 6 (3p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, cirkels c1–c4 die elkaar raken, stelling van Pythagoras in driehoek MSP toegepast op raakcirkels.
Vraag 7 (6p): in vraagstelling/bijlage — kernonderdeel, zelfde circelconfiguratie, Pythagoras in driehoek NSP.
Frasering: “Bewijs dit. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.” / “Bereken exact de waarde van r.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Cirkels in een cirkel” (9 scorepunten samen), én gebruikt de uitwerkbijlage.

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 6 (3p): kernonderdeel — bewijs MS=√(9−6r) via Pythagoras, meetkundige redenering met raakcirkels.
Vraag 14 (4p): kernonderdeel — bewijs dat coördinaten van P’ (loodrechte projectie) juist zijn, via vectorvoorstelling of richtingscoëfficiënten.
Komt 2× voor (7 scorepunten samen), beide als volledige bewijsvraag.

Inverse functie

Vraag 8 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn” (f(x)=½x²+1, g(x)=√(2x²… let op: 2x−2, zie correctievoorschrift) via spiegelen in y=x of via g(f(x))=x.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Optimaliseren

Vraag 9 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is. Bereken exact deze waarde.” Afgeleide gelijkstellen aan 0 / raaklijn evenwijdig aan k.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Kettingregel

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van √(½x²+1) resp. √(2x²−2), kettingregel nodig voor de wortelfunctie.
Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van 150+100cos(4t) naar t, kettingregel voor cos(4t).
Vraag 18 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van hq(x)=½ln(−x)+q, kettingregel voor ln(−x).
Komt 3× terug als noodzakelijke rekenstap, telkens verweven met een groter antwoord (typisch “Bepaal m.b.v. de afgeleide/kettingregel…” type toepassing, geen expliciete losse kettingregel-vraag).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — minimum van PQ bepalen via afgeleide = 0, kernidee van stijgen/dalen naar een extreme waarde.
Komt 1× voor, ondersteunend aan Optimaliseren.

Oppervlakte met integralen

Vraag 10 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken de oppervlakte van V”, vlakdeel begrensd door f, g, assen en lijn k, meerdere integralen combineren. Eindantwoord in twee decimalen.
Komt 1× voor, volledige vraag (6p).

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 10 (6p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 12 (3p): “Geef je eindantwoord in centimeters nauwkeurig.” (aanvulling op correctievoorschrift wijzigt hier zelfs een tussenstap in het model)
Vraag 16 (4p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Vraag 18 (6p): “Geef je eindantwoord in twee decimalen.”
Algemeen: vakspecifieke regel 4a/4b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 4× expliciet terug in de vraagstelling, plus generiek van toepassing op elke vraag met een numeriek eindantwoord.

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 10 (6p): impliciet — decimale oppervlakteberekening vereist GR.
Vraag 12 (3p): impliciet — numerieke oplossing van 400sin(4t)=255.
Vraag 16 (4p): impliciet — numeriek oplossen van vergelijking in a.
Vraag 18 (6p): impliciet — eindantwoord in twee decimalen na algebraïsche afleiding.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 (“de kandidaten geven een toelichting waaruit blijkt hoe zij de GR hebben gebruikt”) zichtbaar in het correctievoorschrift als “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” (bijv. bij v10, v12, v16). Komt 4× terug als noodzakelijke toelichtingsstap.

Sinusmodel

Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, Z_blokje(t)=150+100cos(4t), amplitude/evenwichtsstand van Z_veer afleiden.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling — zelfde model, snelheid v(t) als afgeleide, hoogtes bij v=255 cm/s.
Vraag 13 (3p): in vraagstelling — Z_totaal(t)=a+b·cos(4t) opstellen als gewogen gemiddelde van Z_blokje en Z_veer.
Frasering: “Laat … zien dat…”, “Bereken deze twee hoogtes”, “Stel een formule op … Licht je werkwijze toe.” Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Op en neer” (9 scorepunten samen).

Zwaartepunt

Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, letterlijk over het zwaartepunt (Z) van blokje en veer.
Vraag 12 (3p): in vraagstelling — zwaartepunt-hoogte van het blokje als uitgangspunt voor de snelheid.
Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, zwaartepunt van blokje én veer samen (gewogen gemiddelde met massa’s 1000 g en 600 g).
Komt 3× terug, dit is het centrale natuurkundig/wiskundig begrip van de hele opgave “Op en neer” (9 scorepunten samen).

Afgeleide functie

Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) en f”(x) berekenen.
Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dPQ/da resp. f’(x)/g’(x).
Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — v is expliciet “de afgeleide van Z_blokje”.
Vraag 18 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — hq’(x), f’(x) voor de raakvoorwaarde.
Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel-notities).

Vector

Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, loodrechte projectie P’ van P op lijn k, gebruik van vectoren/richting.
Komt 1× voor, ondersteunend aan de hoofdmethode van vraag 14 (vectorvoorstelling van de loodlijn).

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, lijn k gegeven met vectorvoorstelling (x,y) = (0,-20) + t·(1,1); correctievoorschrift gebruikt ook een vectorvoorstelling van de loodlijn door P.
Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag (gegeven ín de vraagstelling zelf).

Vergelijking van een lijn

Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn k herschreven als y=−x+20, loodlijn door P als y=x+2p−32.
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de vectorvoorstelling.

Raaklijn aan een cirkel

Vraag 14 (4p): in vraagstelling — “De cirkel raakt aan lijn k”, “Cirkel c1 heeft middelpunt M1 en raakt aan lijn k in het punt R1.”
Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, coördinaten van M1 en M2 berekenen via PP’ = straal = PA = PB (raakvoorwaarde).
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Een raaklijn met twee cirkels” (9 scorepunten samen).

Vergelijking van een cirkel

Vraag 15 (5p): impliciet zichtbaar — de eis dat A en B op de cirkel liggen en de cirkel raakt aan k, wordt vertaald naar afstandsvergelijkingen (PB=PP’) in plaats van een expliciete cirkelvergelijking; conceptueel wel de basis van de opgave.
Komt 1× voor, ondersteunend/conceptueel (geen losse scorepunten specifiek voor het opstellen van een cirkelvergelijking als zodanig).

Logaritmische functie

Vraag 16 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(x+1), g_p(x)=ln(px), afstand tot O berekenen.
Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, grenswaarde van p bepalen zodat AB → 1 voor a → ∞.
Vraag 18 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, hq(x)=½ln(−x)+q raakt aan f.
Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Logaritmische functies” (14 scorepunten samen).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “als a onbegrensd toeneemt, nadert de afstand AB tot 1” — limietgedrag voor a→∞ gebruikt om p te bepalen.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Kinematica met vectoren

Vraag 3 (6p): in vraagstelling — de kromme K wordt geïntroduceerd als “bewegingsvergelijkingen” x(t), y(t) — kinematica-achtige formulering van een parametervoorstelling.
Vraag 4, 5: idem, zelfde kromme K.
Komt 3× voor, zwak/indirect (de vragen zelf zijn wiskundig gericht op parametervoorstelling/differentiëren/integreren, niet op snelheids- of versnellingsvectoren; de “bewegingsvergelijking”-frasering is het enige raakvlak).

Functievoorschrift

Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Stel een formule op van Z_totaal in de vorm Z_totaal(t) = a + b·cos(4t). Licht je werkwijze toe.” Opstellen van een nieuw functievoorschrift uit twee gegeven modellen.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2025-tijdvak1-digest