Digest 2025 tijdvak 2 — Wiskunde B vwo

Examen bestaat uit 18 vragen (77 punten). 31 van de 55 Stap 1-onderwerpen worden door minstens één vraag geraakt.

Opgaven in dit tijdvak: Beweging over twee lijnen (v1-3), Opbrengst van zonnepanelen (v4-6), Vierkant en driehoek (v7-10), Twee lijnstukken met eindpunt P (v11-12), Wortel en sinus (v13), Drie keer over de lijn (v14-15), Vlakdeel en rakende cirkel (v16-18).

Parametervoorstelling

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. Beweging van punt P gegeven door bewegingsvergelijkingen xP(t)=8t², yP(t)=4−4t² (t≥0); punt Q door xQ(t)=1+3t, yQ(t)=4t. Frasering: “beweegt het punt P volgens de bewegingsvergelijkingen”. Exacte y-coördinaat van P bepalen onder een voorwaarde.
Vraag 3 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, coördinaten van P bepalen bij een gegeven helling van lijnstuk PQ, met dezelfde bewegingsvergelijkingen.
Komt 2× voor (v1, v3), basis van de hele opgave “Beweging over twee lijnen” (7 scorepunten).

Kinematica met vectoren

Vraag 1 (3p): in vraagstelling — “bewegingsvergelijkingen” xP(t), yP(t) beschrijven een bewegend punt (kinematica-frasering).
Vraag 2 (4p): kernonderdeel — snelheid v(t) van P berekend als lengte van de snelheidsvector: v(t)=√((16t)²+(8t)²); snelheid van Q is constant (√(3²+4²)=5). Frasering: “Bewijs dat op t=5 de snelheid van P inderdaad acht keer zo groot is als de snelheid van Q.”
Vraag 3 (4p): impliciet — lijnstuk PQ tussen de twee bewegende punten.
Komt 3× voor, dominant thema van opgave “Beweging over twee lijnen” (11 scorepunten), inclusief de volledige vraag 2 over baansnelheid.

Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen

Vraag 1 (3p): kernonderdeel — exact oplossen van (4−4t²) = −4t.
Vraag 3 (4p): kernonderdeel — exact oplossen van de kwadratische vergelijking voor t uit de hellingvoorwaarde (t² = 16/44).
Vraag 7 (4p): kernonderdeel — 2p = ln(9p) − ln(3p) algebraïsch oplossen naar p.
Vraag 11 (3p): kernonderdeel — (p−5)²+16 = (p−8)²+25 exact oplossen naar p.
Vraag 15 (5p): kernonderdeel — 2(⅓a+1)√(⅓a+1) = 16 exact oplossen naar de grenzen van het interval voor a.
Komt 5× voor, telkens kernonderdeel (21 scorepunten samen).

Algebraïsch en exact

Vraag 1 (3p): “Bereken exact de y-coördinaat van P in dit geval.”
Vraag 3 (4p): “Bereken exact de coördinaten van P in dit geval.”
Vraag 4 (5p): “Bereken algebraïsch de waarde van b die de leverancier heeft berekend.”
Vraag 7 (4p): “Bereken algebraïsch de coördinaten van P.”
Vraag 10 (5p): “Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.”
Vraag 11 (3p): “Bereken exact de x-coördinaat van P waarbij dit het geval is.”
Vraag 15 (5p): “Bereken exact dit interval.”
Vraag 18 (4p): “Bereken exact de coördinaten van M.”
Frasering: dit tijdvak komen zowel “Bereken exact…” (6×) als “Bereken algebraïsch…” (2×) voor — een expliciet contrast tussen beide examenwerkwoorden. Zeer dominant: 8 van de 18 vragen, samen 35 scorepunten.

Bewijzen met differentiëren

Vraag 2 (4p): kernonderdeel — bewijs via differentiëren van xP(t) en yP(t) naar t (dx/dt=16t, dy/dt=−8t), gebruikt om de snelheid v(t) op te stellen en te vergelijken met die van Q.
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige 4 scorepunten.

Afgeleide functie

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt berekend als basis voor de snelheidsvector.
Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d(L²−L⁴)/dL berekend om het maximum te vinden.
Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x) = a−3x²+3 om de x-coördinaat van de top te bepalen.
Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Bewijzen met differentiëren-notities).

Standaardafgeleiden

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — machtsregel toegepast op 8t² en 4−4t².
Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=1/x als afgeleide van ln(3x).
Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van L²−L⁴ (machtsregel).
Vraag 13 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=1/(2√x) en g’(x)=1−cos(x), afgeleiden van √x en x+sin(x).
Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x)=a−3x²+3, afgeleide van ax−x³+3x.
Komt 5× terug, steeds als noodzakelijke basistechniek onder een groter antwoord.

Vector

Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — snelheid als lengte van de snelheidsvector (Pythagoras op (dx/dt, dy/dt)).
Vraag 12 (6p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, vectoren AP, BP, AC, BD; optellen van vectoren (OC=OA+AC, OD=OB+BD) om M te bepalen. Frasering: “Vector AP wordt 90° tegen de klok in om A gedraaid. Het resultaat is vector AC.”
Komt 2× voor (10 scorepunten samen), in vraag 12 volledig kernonderdeel van de vraag.

Vergelijking van een lijn

Vraag 3 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — P moet op de baan van Q liggen, die richtingscoëfficiënt 4/3 heeft.
Vraag 11 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vergelijking van de middelloodlijn van AB.
Vraag 18 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — M ligt op de deellijn tussen de twee scheve asymptoten, een lijn van de vorm y=−x+c, gebruikt om xM te bepalen.
Komt 3× voor, telkens als ondersteunende/alternatieve rekenroute.

Sinusregel en cosinusregel

Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “In driehoek PQR geldt: b/sin(28°) = PR/sin(122°)”, sinusregel toegepast om PR (en daarmee b) te bepalen.
Komt 1× voor, kernstap van de vraag (binnen de 5 scorepunten).

Sinusmodel

Vraag 5 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, PA = p·cos(qt) + sin(2qt) als periodiek model voor het geleverde vermogen; p en q bepalen uit twee gegeven punten op de kromme.
Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, PB = 4,8·cos(0,23t), gegeven periodiek model, gebruikt voor de energieopbrengst-integraal.
Frasering: “Bereken met behulp van deze punten de waarde van p en van q.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Opbrengst van zonnepanelen” (9 scorepunten samen).

Goniometrische vergelijkingen

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — stelsel met sin(9q)/cos(9q) en sin(18q)/cos(18q) herleid en numeriek (GR) opgelost naar q.
Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 20,86…·(sin(0,23t₂) − sin(2,53)) = 18 oplossen naar t₂.
Komt 2× voor, beide keren als noodzakelijke tussenstap naar een numeriek eindantwoord (9 scorepunten betrokken).

Toegestane hulpmiddelen en rekenmachine

Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost” (toelichting GR-gebruik verplicht, vakspecifieke regel 2).
Vraag 6 (5p): impliciet — numerieke oplossing van de vergelijking voor t₂ vereist de GR.
Algemeen: vakspecifieke regel 2 geldt voor het hele examen bij elke vraag met een GR-afhankelijke (numerieke) stap. Komt 2× expliciet terug in het correctievoorschrift.

Afronden en het correctievoorschrift

Vraag 5 (4p): “Geef je eindantwoorden in drie decimalen.”
Vraag 6 (5p): “Bereken … hoeveel minuten dat duurt. Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Vraag 7 (4p): “Geef je eindantwoorden in twee decimalen.”
Vraag 16 (3p): “Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam… Geef je eindantwoord als geheel getal.”
Algemeen: vakspecifieke regel 4a/4b (afronden van tussenantwoorden) en regel 1 (aftrek voor rekenfouten) gelden voor het hele examen. Komt 4× expliciet terug in de vraagstelling.

Bepaalde integraal

Vraag 6 (5p): kernonderdeel — E = ∫ PB dt tussen t₁=11 en t₂, opgelost met primitiveren om de oplaadtijd te bepalen.
Vraag 16 (3p): kernonderdeel — inhoud van het omwentelingslichaam berekend als verschil van bepaalde integralen van lijn k en de grafiek van f.
Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (8 scorepunten samen).

Primitieve functie

Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 4,8cos(0,23t) is (4,8/0,23)·sin(0,23t).
Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap.

Logaritmische functie

Vraag 7 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(3x); coördinaten van P en R op de grafiek van f.
Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, raaklijn aan de grafiek van f=ln(3x) in punt B.
Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Vierkant en driehoek” (8 scorepunten samen).

Raaklijn

Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De raaklijn in het punt B aan de grafiek van f snijdt de y-as in punt C.” Gebruikt om te bewijzen dat AC=1 voor elke a.
Komt 1× voor, kernonderdeel (4 scorepunten).

Bewijzen en aantonen

Vraag 8 (4p): “Bewijs dit.” (AC=1 voor elke a)
Vraag 9 (3p): “Bewijs dit.” (Opp(ACD) = ½L²−¼L⁴)
Vraag 12 (6p): “Bewijs dit.” (coördinaten van M onafhankelijk van P)
Vraag 13 (7p): “Bewijs deze eigenschap.”
Vraag 14 (5p): “Bewijs dit.” (ytop-formule)
Vraag 17 (3p): “Bewijs dit.” (vergelijkingen van de scheve asymptoten)
Frasering: uitsluitend “Bewijs dit.” / “Bewijs deze eigenschap.” dit tijdvak (geen “aantonen”/“laat zien” gebruikt). Zeer dominant: 6 van de 18 vragen zijn bewijsvragen (samen 28 scorepunten).

Bewijzen in de vlakke meetkunde

Vraag 9 (3p): kernonderdeel — bewijs Opp(ACD)=½L²−¼L⁴ via Pythagoras in driehoek ACD (AD=√(1+L²)).
Vraag 12 (6p): kernonderdeel — bewijs dat coördinaten van M onafhankelijk zijn van P, via vectoralgebra (kentallen p en q vallen weg in de uitkomst).
Komt 2× voor (9 scorepunten samen), beide keren volledige bewijsvraag met algebraïsche/vectoriële technieken.

Optimaliseren

Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.” Afgeleide van L²−L⁴ gelijkstellen aan 0.
Komt 1× voor, volledige vraag (5p).

Stijgen, dalen en extremen

Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — Opp(ACD) is maximaal als 2L−4L³=0, kernidee van een extreme waarde bepalen via de afgeleide.
Komt 1× voor, ondersteunend aan Optimaliseren.

Vectorvoorstelling van een lijn

Vraag 11 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vectorvoorstelling van de middelloodlijn van AB opgesteld met steunvector en richtingsvector.
Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de vergelijking van de lijn.

Absolute-waardefunctie

Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x) = |a−x²|·x + 3x voor x≥0; de |a−x²|-term veroorzaakt de knik met x-coördinaat √a.
Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, dezelfde functie fa gebruikt om het aantal snijpunten met lijn l te analyseren.
Frasering: “De grafiek van fa heeft een knik met x-coördinaat √a.” Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Drie keer over de lijn” (10 scorepunten samen).

Karakteristieke eigenschappen van functies

Vraag 14 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, begrippen “knik” en “top” gebruikt om de grafiek van fa te beschrijven (naast de gebruikelijke “buigpunt”/“extreme waarde”-vocabulaire).
Komt 1× voor, ondersteunend vocabulaire voor de hele opgave “Drie keer over de lijn”.

Radialen

Vraag 13 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — x-coördinaten van de snijpunten Sₙ geschreven als x=k·π (k geheel), radialen als hoekmaat binnen een bewijs met sin/cos.
Komt 1× voor, ondersteunende notatiestap in een bewijs.

Omwentelingslichaam

Vraag 16 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “V wordt om de x-as gewenteld. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat.”
Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (3p).

Asymptoten en limietgedrag

Vraag 17 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De grafiek van f heeft twee scheve asymptoten met richtingscoëfficiënt −1… Bewijs dit.” Via limietberekening lim(x→∞) van 10eˣ/(eˣ−1) om de scheve asymptoten te bepalen.
Komt 1× voor, volledige vraag (3p).

Vergelijking van een cirkel

Vraag 18 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, cirkel met middelpunt M die beide scheve asymptoten en de x-as raakt; straal en middelpunt bepalen uit de raakvoorwaarden.
Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

Raaklijn aan een cirkel

Vraag 18 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — straal van de cirkel bepaald als de helft van de afstand tussen de twee (evenwijdige) scheve asymptoten (afstand middelpunt tot raaklijn = straal).
Komt 1× voor, kernstap van de vraag.

Notatiefouten bij Wiskunde B

Algemeen: vakspecifieke regel 3 (notatiefouten tellen mee, max 1 scorepunt aftrek per herhaalde notatiefout binnen een opgave) geldt voor het hele examen, expliciet genoemd in de vakspecifieke regels van dit tijdvak.
Geen aparte vraag geraakt, maar generiek van toepassing op de hele beoordeling.

Examenvault 2027

Verkenner

Wiskunde B 2025-tijdvak2-digest