Linker- en rechterlimiet en perforatie

Prioriteit: 🟠 Midden

In 5 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als volledige vraag “bereken exact de coördinaten van de perforatie” (3–5p).

Wat moet je kunnen?

• Een perforatie herkennen en de coördinaten exact berekenen.
• Onderzoeken voor welke parameterwaarde er een perforatie is (of bewijzen dat er geen is).
• Linker- en rechterlimiet los bepalen, bijvoorbeeld bij een knik.

De kern

Situatie in $x=a$	Gevolg
noemer 0, teller niet 0	verticale asymptoot
teller én noemer 0	mogelijk perforatie: deel de factor weg en bereken de limiet
linkerlimiet $\ne$ rechterlimiet	geen (tweezijdige) limiet

Stappenplan perforatie:

1. Zoek waar de noemer 0 is.
2. Controleer of de teller daar ook 0 is (bij een parameter: eis dit en los op).
3. Ontbind en deel de gemeenschappelijke factor weg.
4. Vul $x=a$ in de vereenvoudigde vorm in: dat is de $y$-coördinaat.

• Zie ook Asymptoten en limietgedrag.

Zo wordt het gevraagd

• “Voor één waarde van p heeft de grafiek van f_p een perforatie. Bereken exact de coördinaten.” met $f_p(x)=\frac{x^2+p}{x+1}$ (2026-1 vraag 6).
• Twee perforaties van $f(x)=\frac{2\sin x-1}{4{\sin }^{2}x-1}$ (2026-2 vraag 3).
• Bewijzen dat er geen $a$ is met een perforatie (2024-1 vraag 13).
• Linker- en rechterlimiet van de helling in $t=0$ (2023-1 vraag 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Perforatie met parameter (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 6)

$f_p(x)=\frac{x^2+p}{x+1}$

1. Noemer 0 bij $x=-1$; teller ook 0 als $1+p=0$, dus $p=-1$
2. $f_{-1}(x)=\frac{x^2-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1$ (voor $x\ne -1$)
3. $y=-1-1=-2$: perforatie $(-1,-2)$

Valkuilen

• De $y$-coördinaat invullen in de oorspronkelijke formule (die geeft $\frac{0}{0}$).
• Een verticale asymptoot aannemen zonder te checken of de teller ook 0 is.
• Vergeten te vermelden dat de vereenvoudiging alleen geldt voor $x\ne a$.

Test jezelf

Bereken de perforatie van $f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$.

$f(x)=x+2$ voor $x\ne 2$: perforatie $(2,4)$.

Heeft $g(x)=\frac{x+3}{x-1}$ een perforatie?

Nee: in $x=1$ is de teller 4, dus een verticale asymptoot.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 6: perforatie met parameter (5p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 3: twee goniometrische perforaties (4p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 9: perforatie via een limiet (3p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 13: bewijzen dat er geen perforatie is (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2023, 2024, 2026 — 62,5%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. f_p(x)=(x²+p)/(x+1), “Voor één waarde van p heeft de grafiek van f_p een perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” Correctievoorschrift werkt expliciet met een limietberekening (lim_{x→1} f_{-1}(x)).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p) — letterlijke match met de onderwerpnaam.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. f(x) = (2sin(x)−1)/(4sin²(x)−1), teller én noemer 0 geven de twee perforaties.
  • Frasering: “heeft de grafiek van f twee perforaties.” Komt 1× voor (4p), teller/noemer ontbinden en de gemeenschappelijke factor wegstrepen om de limietwaarde (y-coördinaat) te vinden.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Frasering: “Er bestaat geen waarde van a waarvoor de grafiek van fa een perforatie heeft. Bewijs dit.” Aangevuld met een correctie op het correctievoorschrift zelf (aanvulling 2024-1, over de haakjes in de laatste deelscore).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p), zeer expliciet dit tijdvak.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 10 (4p): kernonderdeel, volledige vraag — “Als t vanaf links of vanaf rechts tot 0 nadert, nadert de waarde van L in beide situaties ook tot 0. De helling van de grafiek van L nadert echter niet in beide situaties tot dezelfde waarde. Bereken exact tot welke waarde de helling … nadert als t vanaf links tot 0 nadert.” Expliciete linkerlimiet lim(t→0⁻)(dL/dt).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p) — sterk, direct voorbeeld van eenzijdige limiet.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 9 (3p): kernonderdeel — “De grafiek van h heeft één perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” Oplossing via limₓ→₀ h(x) = limₓ→₀ (eˣ−1)/(3(1−e⁻ˣ)) = 1/3, na herleiden tot een breuk zonder de perforatie-factor.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p), rechtstreekse toepassing van het limietbegrip op een perforatie.
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 11 (6p): kernonderdeel — “Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van f_p perforaties heeft.” Correctievoorschrift werkt expliciet met lim_{x→½π} f1(x) om te bepalen of er een perforatie (ophefbare discontinuïteit) dan wel een asymptoot is.
  • Frasering: “Onderzoek of er waarden van p zijn waarvoor de grafiek van f_p perforaties heeft.” Komt 1× voor, volledige vraag (6p) — dit tijdvak een expliciete, zware toepassing van dit onderwerp.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — de helling van raaklijn l wordt gevonden via lim_{x↑2} f’(x) = −3 (linkerlimiet van de afgeleide, omdat f alleen voor x<2 met dat voorschrift geldt). Opmerking in het correctievoorschrift: notatie f’(2) = −3 in plaats van de limietnotatie wordt niet afgekeurd.
  • Komt 1× voor, essentiële (en expliciet zo benoemde) stap bij een functie met een knikpunt.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “De grafiek van h heeft rechts van de y-as één perforatie. Bereken exact de coördinaten van deze perforatie.” (h(x)=ln(√x)/ln(x), perforatie bij x=1 doordat ln(x) in de noemer nul wordt terwijl de breuk voor x≠1 herleid tot ½.)
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. f(x) = (−2+2√(x+1))/x en h(x) = 2/(1+√(x+1)) zijn beide gedefinieerd via een perforatie in x=0; bewijs dat ze voor x≠0 aan elkaar gelijk zijn.
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “de grafieken van f en g staan in hun perforatie P loodrecht op elkaar”. Punt P(0, 1) is expliciet de perforatie van f en g (zowel in de opgavetekst als het correctievoorschrift).
  • Opgave “Loodrecht in de perforatie” is volledig om de perforatie-context gebouwd (titel zelf verwijst ernaar). Komt 2× terug, beide keren kernonderdeel (8 scorepunten samen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Asymptoten en limietgedrag

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)