Sinusregel en cosinusregel

Prioriteit: 🟠 Midden

In 4 van de 8 onderzochte examenjaren, vooral als rekenstap in het correctievoorschrift van meetkundevragen. In 2024 tijdvak 1 kwam de cosinusregel in vier vragen voor.

Wat moet je kunnen?

• Kiezen tussen sinusregel en cosinusregel op basis van wat gegeven is.
• Een zijde of een hoek berekenen in een willekeurige driehoek.
• De regels gebruiken als tussenstap in een groter bewijs of een groter meetkundeprobleem.

De kern

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

Gegeven	Regel
twee hoeken en een zijde	sinusregel
twee zijden en een hoek tegenover een van die zijden	sinusregel
twee zijden en de ingesloten hoek	cosinusregel (derde zijde)
drie zijden	cosinusregel (hoek)

• Zijde $a$ ligt tegenover hoek $A$.
• Oppervlakte: $\frac{1}{2}bc\sin A$.
• Bij de sinusregel kan een hoek twee oplossingen hebben ($\alpha$ en $180°-\alpha$).

Zo wordt het gevraagd

• “In driehoek PQR geldt: b/sin(28°) = PR/sin(122°)” (2025-2 vraag 4).
• Cosinusregel in twee deeldriehoeken om $AC$ te berekenen, met $AB=4$, $BC=12$ en $AM=5$ (2021-3 vraag 1, 4p).
• Cosinusregel in driehoek $ZAV$ en $ZVM$ als kern van een bewijs (2024-1 vraag 16).

Uitgewerkt voorbeeld

Cosinusregel in twee stappen (examenstijl, vergelijk 2021-3 vraag 1)

Driehoek $ABC$ met $AB=4$, $BC=12$, $M$ het midden van $BC$ en $AM=5$. Bereken $AC$.

1. In driehoek $ABM$ ($BM=6$): $5^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{27}{48}=\frac{9}{16}$
2. In driehoek $ABC$: $A{C}^2=4^2+12^2-2\cdot 4\cdot 12\cdot \frac{9}{16}=160-54=106$
3. $AC=\sqrt{106}$ $\approx 10,3$

Valkuilen

• De verkeerde hoek in de cosinusregel zetten (het moet de hoek tussen $b$ en $c$ zijn).
• De rekenmachine in radialen laten staan bij hoeken in graden.
• Bij de sinusregel de stompe oplossing over het hoofd zien.

Test jezelf

Twee zijden zijn 8 en 5 met een ingesloten hoek van 60°. Bereken de derde zijde.

$\sqrt{64+25-80\cos 60°}=\sqrt{49}=7$.

In driehoek $ABC$ is $A=40°$, $B=60°$ en $a=10$. Bereken $b$.

$b=\frac{10\sin 60°}{\sin 40°}\approx 13,5$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2021 tijdvak 3, vraag 1: cosinusregel in twee driehoeken (4p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 4: sinusregel (5p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 11 en 16: cosinusregel in coördinatenmeetkunde (4p + 3p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 4 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2019, 2021, 2024, 2025 — 50%.

• 2025 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “In driehoek PQR geldt: b/sin(28°) = PR/sin(122°)”, sinusregel toegepast om PR (en daarmee b) te bepalen.
  • Komt 1× voor, kernstap van de vraag (binnen de 5 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — cosinusregel toegepast in driehoek OMP.
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — sin(∠OBR) en cos(∠OBR) gebruikt.
  • Vraag 16 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cosinusregel in driehoek ZAV en in driehoek ZVM, kernonderdeel van het bewijs.
  • Vraag 17 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel in driehoek ABZ.
  • Komt 4× voor, kernmethode in de meetkunde-/sterrenkunde-opgaven (13 scorepunten betrokken).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel toegepast in driehoek STE: 80² = 240² + 230,75…² − 2·240·230,75…·cos(∠EST).
  • Komt 1× voor, als alternatieve (meetkundige) route naast de algebraïsche route met cirkelvergelijkingen.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte van driehoek MBC berekend als ½·MB·MC·sin(∠BMC) = ½sin(45°) (oppervlakteformule met sinus, MB=MC=1 als straal).
  • Komt 1× voor, zwak/ondersteunend (alleen de oppervlakteformule met sinus wordt gebruikt, geen klassieke sinus- of cosinusregel-toepassing op een schuine driehoek).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling én correctievoorschrift — kernonderdeel, volledige openingsvraag. Driehoek ABC met AB=4, BC=12, M midden van BC, AM=5. Cosinusregel toegepast in twee deeldriehoeken (ABM+ABC, of AMB+AMC) om AC exact/algebraïsch te vinden. Frasering: “Bereken algebraïsch de lengte van AC. Geef je eindantwoord in één decimaal.”
  • Correctievoorschrift geeft ook een alternatieve, niet-goniometrische route (stelsel via loodrechte projectie/Pythagoras) — cosinusregel is de hoofdroute maar niet de enige geldige.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — cosinusregel |w_r|² = 3² + 5² − 2·3·5·cos(75°), met de hoek tussen de zijden van lengte 3 en 5 afgeleid uit de gegeven richtingen.
  • Komt 1× voor, als volwaardig alternatief voor de vectoriële (coördinaten-)methode.

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bewijzen in de vlakke meetkunde