Zwaartepunt

Prioriteit: 🟠 Midden

In 5 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als volledige vraag met puntmassa’s van verschillend gewicht (4–5p).

Wat moet je kunnen?

• Het zwaartepunt van puntmassa’s berekenen als gewogen gemiddelde van plaatsvectoren.
• Een onbekende massa of positie berekenen uit een gegeven zwaartepunt.
• Het zwaartepunt van een driehoek bepalen.

De kern

$\vec{z}=\frac{m_1{\vec{p}}_1+m_2{\vec{p}}_2+\cdots +m_n{\vec{p}}_n}{m_1+m_2+\cdots +m_n}$

• Reken per coördinaat: $x_Z$ is het gewogen gemiddelde van de $x$-coördinaten.
• Driehoek $ABC$: $\vec{z}=\frac{1}{3}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$, het snijpunt van de zwaartelijnen.
• Zie ook Vector.

Zo wordt het gevraagd

• Zwaartepunt van drie puntmassa’s met gewichten 2, 2 en 1 (2026-2 vraag 7, 4p).
• Zwaartepunt van vier puntmassa’s met gewichten 2, 1, $a$ en 1 (2022-1 vraag 17).
• “Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s”, massa’s 3, 1 en 2 (2018-1 vraag 6).
• Zwaartepunt van blokje en veer samen, massa’s 1000 g en 600 g (2025-1 vraag 13).

Uitgewerkt voorbeeld

Drie gewogen punten (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 7)

Massa 2 in $A(0,0)$, massa 2 in $B(5,0)$, massa 1 in $C(0,5)$.

1. Totale massa: $2+2+1=5$
2. $x_Z=\frac{2\cdot 0+2\cdot 5+1\cdot 0}{5}=2$
3. $y_Z=\frac{2\cdot 0+2\cdot 0+1\cdot 5}{5}=1$
4. $Z(2,1)$

Valkuilen

• Delen door het aantal punten in plaats van door de totale massa.
• De massa’s vergeten en het gewone gemiddelde nemen.
• $x$ en $y$ door elkaar halen bij het wegen.

Test jezelf

Geef het zwaartepunt van de driehoek met hoekpunten $(0,0)$, $(6,0)$ en $(0,3)$.

$\left(\frac{0+6+0}{3},\frac{0+0+3}{3}\right)=(2,1)$.

Massa 3 in $(0,0)$ en massa $m$ in $(4,0)$. Voor welke $m$ ligt het zwaartepunt in $(1,0)$?

$\frac{4m}{3+m}=1\Rightarrow m=1$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 7: drie gewogen puntmassa’s (4p)
• 2022 tijdvak 1, vraag 17: vier puntmassa’s met parameter (4p)
• 2018 tijdvak 1, vraag 6: zwaartepunt exact (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2022, 2024, 2025, 2026 — 62,5%.

• 2026 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Zwaartepunt Z van drie puntmassa’s (gewicht 2, 2, 1) als gewogen gemiddelde van de plaatsvectoren.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p), inclusief de wegingsfactoren 2/5, 2/5, 1/5.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 11 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, letterlijk over het zwaartepunt (Z) van blokje en veer.
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — zwaartepunt-hoogte van het blokje als uitgangspunt voor de snelheid.
  • Vraag 13 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, zwaartepunt van blokje én veer samen (gewogen gemiddelde met massa’s 1000 g en 600 g).
  • Komt 3× terug, dit is het centrale natuurkundig/wiskundig begrip van de hele opgave “Op en neer” (9 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 18 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Frasering: “De kleine cirkel in figuur 2 is de baan van de zon om het zwaartepunt. Bereken de straal van deze baan in km.” Zwaartepuntformule OP toegepast op het stelsel zon-Jupiter.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, zwaartepunt Z van vier puntmassa’s (in A, B, C, D) met gewichten 2, 1, a, 1.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p), centraal begrip van opgave “Vlieger”.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledig eerste deel van de vraag. “Bereken exact de coördinaten van het zwaartepunt van deze drie puntmassa’s”, met drie verschillende massa’s (3, 1 en 2) in A, B en M.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, maar zwaar (5 scorepunten, expliciet als gewogen gemiddelde van plaatsvectoren in het correctievoorschrift).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vector

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)