Goniometrische ongelijkheden

Prioriteit: 🟢 Laag

In 1 van de 8 onderzochte examenjaren (2022 tijdvak 2), als redenering over wanneer een vergelijking oplossingen heeft.

Wat moet je kunnen?

• Een ongelijkheid als $\sin x>c$ of $\cos (2x)\le c$ oplossen op een gegeven interval.
• Beredeneren dat $\sin (\dots )=c$ alleen oplossingen heeft als $-1\le c\le 1$.

De kern

1. Los de gelijkheid op (zie Goniometrische vergelijkingen).
2. Zoek met de periode alle grenzen in het interval.
3. Lees uit een schets van de grafiek en de lijn $y=c$ af waar de ongelijkheid geldt.

Voorbeeld	Oplossing op $[0,2\pi ]$
$\sin x>\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}\pi <x<\frac{5}{6}\pi$
$\cos x\le 0$	$\frac{1}{2}\pi \le x\le \frac{3}{2}\pi$

• $\sin x=\frac{1}{a}$ heeft alleen oplossingen als $-1\le \frac{1}{a}\le 1$, dus als $a\le -1$ of $a\ge 1$.

Valkuilen

• Alleen de grenzen geven en niet de intervallen.
• Grenzen buiten het gegeven interval laten staan of er binnen het interval vergeten.
• $<$ en $\le$ door elkaar halen bij de grenzen.

Test jezelf

Los op: $\cos 2x\le 0$ op $[0,\pi ]$.

$\cos 2x=0$ geeft $x=\frac{1}{4}\pi$ en $x=\frac{3}{4}\pi$; de oplossing is $\frac{1}{4}\pi \le x\le \frac{3}{4}\pi$.

Voor welke $p$ heeft $\cos x=p-2$ oplossingen?

$-1\le p-2\le 1$, dus $1\le p\le 3$.

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 1 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2022 — 12,5%.

• 2022 tijdvak II
  • Vraag 5 (5p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, “Deze vergelijking heeft alleen oplossingen als −1 ≤ 1/a ≤ 1”, redenering over voor welke a-waarden er géén oplossing (dus geen gemeenschappelijke punten) is, resulterend in −1 < a < 1.
  • Komt 1× voor, kern van de redenering in vraag 5 (5p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Goniometrische vergelijkingen
• Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)