Goniometrische vergelijkingen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 keer per tijdvak, meestal als tussenstap naar een exact antwoord (samen tot 14p in één opgave, 2026-1).

Wat moet je kunnen?

• $\sin x=c$, $\cos x=c$, $\tan x=c$ exact oplossen, met alle oplossingen in een interval.
• $\sin A=\sin B$ en $\cos A=\cos B$ oplossen.
• Een vergelijking herleiden met de grondformule of dubbele-hoekformules tot een kwadratische vergelijking in $\cos x$ of $\sin x$.

De kern

Vergelijking	Oplossingen
$\sin A=\sin B$	$A=B+k\cdot 2\pi$ of $A=\pi -B+k\cdot 2\pi$
$\cos A=\cos B$	$A=B+k\cdot 2\pi$ of $A=-B+k\cdot 2\pi$
$\tan A=\tan B$	$A=B+k\cdot \pi$

Exacte waarden: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$, $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$ (en voor cos andersom).

• Schrijf $\sin x=\frac{1}{2}$ als $\sin x=\sin \frac{\pi }{6}$ en pas de tabel toe.
• Een vergelijking met $\sin x$ en $\cos x$: deel door $\cos x$ ($\to \tan x$) of gebruik Grondformule van de goniometrie.
• Kwadratisch in $\cos x$: stel $p=\cos x$, los op, en laat oplossingen buiten $[-1,1]$ vallen.
• Zie ook Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies en Som- en verschilformules.

Zo wordt het gevraagd

• $\sin x=\frac{1}{2}$ geeft $x=\frac{1}{6}\pi$ en $x=\frac{5}{6}\pi$ (2026-2 vraag 3).
• $\sin t=\sin (3t+\frac{1}{2}\pi )$ oplossen, geeft zes tijdstippen (2026-2 vraag 8).
• $\cos 2t=\cos t$ oplossen (2025-1 vraag 3, 6p).
• $2\sin x=\cos x$ herleiden tot $\tan x=\frac{1}{2}$ (2026-1 vraag 13); $5p^2-8p-3=0$ met $p=\cos x$ (2026-1 vraag 15).

Uitgewerkt voorbeeld

$\cos A=\cos B$ (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 3)

Los exact op: $\cos 2t=\cos t$ voor $0\le t\le 2\pi$.

1. $2t=t+k\cdot 2\pi \Rightarrow t=k\cdot 2\pi$
2. $2t=-t+k\cdot 2\pi \Rightarrow 3t=k\cdot 2\pi \Rightarrow t=k\cdot \frac{2}{3}\pi$
3. In $[0,2\pi ]$: $t=0$, $\frac{2}{3}\pi$, $\frac{4}{3}\pi$, $2\pi$.

Controle: $t=\frac{2}{3}\pi$ geeft $\cos \frac{4}{3}\pi =-\frac{1}{2}=\cos \frac{2}{3}\pi$. ✓

Basisvergelijking

Los op: $\cos x=-\frac{1}{2}$ voor $0\le x\le 2\pi$.

1. $\cos \frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{2}$, dus $x=\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$ of $x=-\frac{2}{3}\pi +k\cdot 2\pi$
2. In $[0,2\pi ]$: $x=\frac{2}{3}\pi$ en $x=\frac{4}{3}\pi$.

Valkuilen

• Alleen de oplossing van de GR (${\sin }^{-1}$) geven en de tweede vergeten.
• $+k\cdot 2\pi$ vergeten, of bij $\tan$ $k\cdot 2\pi$ gebruiken in plaats van $k\cdot \pi$.
• Bij $\cos 2t=\cos t$ vergeten dat de $k\cdot 2\pi$ ook door 3 gedeeld moet worden.
• $\cos x=1,5$ niet laten vervallen.

Test jezelf

Los op: $\tan x=1$.

$x=\frac{1}{4}\pi +k\cdot \pi$.

Los op: $\sin x=\frac{1}{2}$ op $[0,2\pi ]$.

$x=\frac{1}{6}\pi$ of $x=\frac{5}{6}\pi$.

$2\sin x=\cos x$. Welke vergelijking krijg je na delen door $\cos x$?

$\tan x=\frac{1}{2}$, dus $x={\tan }^{-1}(\frac{1}{2})+k\cdot \pi$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 13–15: $\tan x=\frac{1}{2}$, kwadrateren, $\cos x=-0,6$ (3p + 6p + 5p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 3 en 8: $\sin x=\frac{1}{2}$, $\sin t=\sin (3t+\frac{1}{2}\pi )$ (4p + 4p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 3: $\cos 2t=\cos t$ (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 13 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, 2sin(x)=cos(x) herleid tot tan(x)=½, oplossingen periodiek met periode π.
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2cos(x)+2=sin(x) kwadrateren en herleiden tot 5cos²(x)−8cos(x)−3=0.
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 5p²−8p−3=0 oplossen (p=cos(x)), vervolgens cos(x)=−0,6 (cos(x)=1 valt af).
  • Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Gebroken gonio” (14 scorepunten samen).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 3 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(x) = ½ oplossen geeft x = ⅙π en x = ⅚π.
  • Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(t) = sin(3t + ½π) oplossen via t = 3t+½π+k·2π of t = π−(3t+½π)+k·2π, geeft zes tijdstippen.
  • Komt 2× voor, beide keren kernstap naar een exact eindantwoord (8 scorepunten betrokken).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(2t) = cos(t) oplossen via 2t = t + k·2π of 2t = −t + k·2π.
  • Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — 400sin(4t)=255 oplossen voor t.
  • Komt 2× voor, in beide gevallen als tussenstap naar een numeriek/exact eindantwoord (5 scorepunten in totaal betrokken).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — stelsel met sin(9q)/cos(9q) en sin(18q)/cos(18q) herleid en numeriek (GR) opgelost naar q.
  • Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 20,86…·(sin(0,23t₂) − sin(2,53)) = 18 oplossen naar t₂.
  • Komt 2× voor, beide keren als noodzakelijke tussenstap naar een numeriek eindantwoord (9 scorepunten betrokken).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 8cos(t) = 0 oplossen, wat leidt tot t = ½π of t = 1½π.
  • Komt 1× voor, tussenstap naar het exacte eindantwoord.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 8 (3p): kernonderdeel — sin(2t)=sin(2t+½π) exact oplossen via de algemene oplossing (2t=π−(2t+½π)+k·2π), geeft vier waarden van t.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f(x)=0 als sin(x)=−½√3, opgelost tot x=⁴⁄₃π+k·2π en x=⁵⁄₃π+k·2π (periodiciteit).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap om de integratiegrenzen van het kleine vlakdeel te bepalen (2 van de 5 scorepunten).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 3 (4p): kernonderdeel — 2sin(x−⅓π) = −1 exact oplossen op het gegeven interval, met de algemene oplossing x = ⅓π+16π+k·2π of x = ⅓π+56π+k·2π (met k geheel), resulterend in vier snijpunten met lijnstuk AB.
  • Vraag 4 (3p): kernonderdeel — 2cos(a−¾π)+2 = 2sin(a−⅓π) (of gelijkwaardig) numeriek oplossen met de GR; frasering: “Beschrijven hoe deze vergelijking opgelost kan worden.” Eindantwoord a = 0,39 of a = 4,59.
  • Komt 2× voor, samen 7 scorepunten, met duidelijk onderscheid tussen exact (v3) en numeriek/GR (v4).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2x) = 1 oplossen via 2x = ½π + k·2π (sin(x) = 0 voldoet niet).
  • Komt 1× voor, tussenstap naar de twee raakpunten (x = ¼π en x = −¾π).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — a·sin(2x)=1 oplossen resp. cos²(x)=sin²(x) oplossen (alternatieve methode).
  • Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(t) = −½ oplossen tot t = ⅔π en t = 4/3π.
  • Komt 2× voor, telkens als tussenstap naar een exact eindantwoord.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — 2cos²(x)−3cos(x)+1=0 oplossen via ontbinden, cos(x)=1 of cos(x)=½.
  • Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(a)·(4cos(a)−p)=0 oplossen, sin(a)=0 verwerpen.
  • Komt 2× voor, beide keren als kernstap naar een exact eindantwoord (8 scorepunten betrokken).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 2 (4p): kernonderdeel — sin(x) = sin(2x) oplossen via x = 2x + k·2π of x = π − 2x + k·2π (met k geheel), plus alternatieve methode via sin(x) = 0 of cos(x) = ½.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 15 (5p): kernonderdeel — vergelijking met tan(φ)/sin(φ)/cos(φ) oplossen voor φ (numeriek, GR).
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — hoek ∠BMA=90−2φ, ∠BMC=45−φ herleid uit goniometrische relaties.
  • Komt 2× voor, telkens als kernstap richting het eindantwoord.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 3 (6p): kernonderdeel — 6cos³(p) − 5cos(p) · cos(p) = 1 herleid tot 6cos⁴(p) − 5cos²(p) − 1 = 0, kwadratische vergelijking in q=cos²(p) oplossen, daarna cos(p) = ±1, ±1/√3 met telkens 2 oplossingen per vergelijking (totaal 8).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p), met een ongebruikelijke stap (aantal oplossingen tellen i.p.v. exacte waarde geven).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 10 (6p): kernonderdeel — cos(x)/(cos²(x)−1)=2 herleiden tot 2cos²(x)−cos(x)−2=0 en exact oplossen.
  • Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — teller en noemer van f_p gelijkstellen aan 0 (sin²(x)=1, cos(x)=0 e.d.).
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel van opgave “Gebroken goniometrische functie” (12 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2t) = sin(t) oplossen levert t = 0, ⅓π, π, 1⅔π, 2π.
  • Komt 1× voor, kernstap van vraag 2 (2 van de 4 scorepunten).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 8 (6p): kernonderdeel — 2cos(x)·(3+2sin(x))=0 oplossen; cos(x)=0 geeft x=½π+k·π.
  • Vraag 9 (4p): in correctievoorschrift (alternatieve methode) — vergelijking f(x)=f(x+2) numeriek opgelost.
  • Vraag 16 (5p): kernonderdeel — vergelijking (1−cos(t))²+(sin(t))²=2·((cos(t))²+(1−sin(t))²) numeriek opgelost voor 0<t<½π.
  • Komt 3× voor (15 scorepunten betrokken), telkens kernonderdeel of belangrijke tussenstap.
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 13 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2cos(t)sin(2t)=cos(t) oplossen, geeft cos(t)=0 of sin(2t)=½, met specifieke aftrekregels in de Opmerkingen bij verkeerd opgestelde vergelijking.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel (5p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Sinusmodel
• Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies
• Radialen
• Grondformule van de goniometrie
• Som- en verschilformules

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)