Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies

Prioriteit: 🟠 Midden

In 4 van de 8 onderzochte examenjaren, als herleidingsstap in het correctievoorschrift, vaak om een vergelijking met sin en cos om te zetten naar één soort.

Wat moet je kunnen?

• De herleidingsformules gebruiken om een uitdrukking te vereenvoudigen.
• $\cos$ omschrijven naar $\sin$ (of andersom) om $\sin A=\sin B$ te krijgen.
• Symmetrie van een grafiek gebruiken in een bewijs.

De kern

Formule	Betekenis
$\sin (-x)=-\sin x$	sinus is puntsymmetrisch in $O$
$\cos (-x)=\cos x$	cosinus is symmetrisch in de $y$-as
$\sin (\pi -x)=\sin x$
$\cos (\pi -x)=-\cos x$
$\sin (x+\pi )=-\sin x$, $\cos (x+\pi )=-\cos x$
$\cos x=\sin \left(x+\frac{1}{2}\pi \right)$	cosinus is de sinus $\frac{1}{2}\pi$ naar links
$\tan (x+\pi )=\tan x$	periode van $\tan$ is $\pi$

• Daarna: $\sin A=\sin B\Rightarrow A=B+k\cdot 2\pi$ of $A=\pi -B+k\cdot 2\pi$ (zie Goniometrische vergelijkingen).

Zo wordt het gevraagd

• $\cos (3t)$ herschrijven als $\sin (3t+\frac{1}{2}\pi )$ om $\sin t=\cos 3t$ op te lossen (2026-2 vraag 8).
• $\cos (t+\pi )=-\cos t$ in een herleiding van $x_P=x_Q$ (2024-1 vraag 9).
• $\cos (\pi -a)=-\cos a$ in een bewijs (2018-2 vraag 12).

Uitgewerkt voorbeeld

Van cos naar sin (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 8)

Los op: $\sin t=\cos 3t$.

1. $\cos 3t=\sin \left(3t+\frac{1}{2}\pi \right)$, dus $\sin t=\sin \left(3t+\frac{1}{2}\pi \right)$
2. $t=3t+\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi \Rightarrow t=-\frac{1}{4}\pi -k\cdot \pi$
3. of $t=\pi -3t-\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi \Rightarrow 4t=\frac{1}{2}\pi +k\cdot 2\pi \Rightarrow t=\frac{1}{8}\pi +k\cdot \frac{1}{2}\pi$

Valkuilen

• $\cos (\pi -x)=\cos x$ denken (het teken klapt om).
• Bij $\sin A=\sin B$ alleen $A=B$ opschrijven.
• De verschuiving de verkeerde kant op nemen: $\cos x=\sin (x+\frac{1}{2}\pi )$, niet $\sin (x-\frac{1}{2}\pi )$.

Test jezelf

Vereenvoudig $\sin (\pi -x)+\sin (-x)$.

$\sin x-\sin x=0$.

Schrijf $-\cos x$ als een cosinus met een verschoven hoek.

$-\cos x=\cos (x+\pi )$ (of $\cos (\pi -x)$).

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 8: $\sin t=\cos 3t$ (4p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 9: herleiden met $\cos (t+\pi )$ (5p)
• 2019 tijdvak 2, vraag 8: herleiding in een bewijs (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 4 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2024, 2026 — 50%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 13 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — “de oplossingen zijn periodiek met periode π” wordt gebruikt om aan te tonen dat AB=BC, gebaseerd op de periodiciteit van tan(x).
  • Komt 1× voor, zwak/indirect (periodiciteit wordt toegepast maar niet expliciet met de herleidingsformules van de conceptnotitie).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(3t) herschreven als sin(3t + ½π) om de vergelijking sin(t)=cos(3t) om te zetten naar een standaard sinus-sinus vergelijking.
  • Komt 1× voor, essentiële tussenstap (het openbreken van de vergelijking hangt hiervan af).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(t+π) = −cos(t) en cos(4(t+π)) = cos(4t), periodiciteit/symmetrie gebruikt om de vergelijking xP = xQ te herleiden.
  • Vraag 17 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(180°−θ) = −cos(θ) toegepast om het stelsel te herleiden tot één vergelijking in d.
  • Komt 2× voor, beide keren als noodzakelijke herleidingsstap.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — −cos(π−p) = cos(p) (herleidingsformule) gebruikt om A(p) te herleiden tot 4cos(p); alternatieve methode gebruikt expliciet “vanwege de symmetrie van f” om de integraal te halveren.
  • Komt 1× voor, kernstap van het bewijs bij vraag 8 (meerdere van de 4 scorepunten hangen hiervan af).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 9 (4p): in vraagstelling — “De grafiek van f is symmetrisch ten opzichte van de verticale lijn door P”, gebruikt (in de alternatieve methode) om de vergelijking f(x)=f(x+2) op te stellen.
  • Komt 1× voor, ondersteunend concept binnen een grotere vraag.
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(π−a)=−cos(a) gebruikt om aan te tonen dat de x-coördinaten van Pa en P(π−a) gelijk zijn.
  • Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (meerdere van de 3 scorepunten hangen hiervan af).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Sinusmodel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Goniometrische vergelijkingen
• Goniometrische ongelijkheden