Optimaliseren

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 vragen per tijdvak (3–7p): “Bereken exact de maximale oppervlakte”, ”… waarvoor de lengte minimaal is”.

Wat moet je kunnen?

• De te optimaliseren grootheid uitdrukken als functie van één variabele (met een nevenvoorwaarde).
• Het domein uit de context halen.
• Het extremum vinden met $f^{\prime }(x)=0$ (of met de GR als dat mag) en aantonen dat het een max of min is.

De kern

Stappenplan

1. Kies de variabele; schrijf de grootheid als $f(x)$ (gebruik gegeven verbanden om andere variabelen te elimineren).
2. Bepaal het domein (lengtes $>0$, binnen de figuur …).
3. Los $f^{\prime }(x)=0$ op.
4. Controleer: tekenwisseling van $f^{\prime }$, of $f^{\prime \prime }$, of vergelijk met de randen van het domein.
5. Beantwoord de vraag: soms wordt de waarde van $x$ gevraagd, soms het maximum zelf.

• Bij “exact” of “algebraïsch” mag de GR het maximum niet bepalen (zie Algebraïsch en exact).
• Zie ook Stijgen, dalen en extremen.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.” via de afgeleide van $\frac{1}{2}{L}^2-\frac{1}{4}{L}^4$ (2025-2 vraag 10).
• “Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is. Bereken exact deze waarde.” (2025-1 vraag 9).
• “Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten om de productie Y maximaal te krijgen.” (2024-2 vraag 4).
• “De baansnelheid van P is op één tijdstip minimaal. Bereken deze waarde van t.” (2026-1 vraag 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Maximale oppervlakte (examenstijl, vergelijk 2025-2 vraag 10)

$A(L)=\frac{1}{2}{L}^2-\frac{1}{4}{L}^4$ met $0<L<\sqrt{2}$. Bereken exact de maximale oppervlakte.

1. $A^{\prime }(L)=L-L^3=L(1-L^2)$
2. $A^{\prime }(L)=0$ geeft $L=1$ (binnen het domein; $L=0$ en $L=-1$ vallen af)
3. $A^{\prime }$ gaat in $L=1$ van $+$ naar $-$: maximum.
4. $A(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=$ $\frac{1}{4}$

Doos zonder deksel

Uit een vierkant karton van $12\times 12$ knip je in elke hoek een vierkantje van $x\times x$ en vouw je een open doos. Voor welke $x$ is de inhoud maximaal?

1. $V(x)=x(12-2x{)}^2$, domein $0<x<6$
2. $V^{\prime }(x)=(12-2x)(12-6x)=0\Rightarrow x=2$ of $x=6$ ($x=6$ valt af)
3. $V(2)=2\cdot 8^2=$ 128 (maximum; aan de randen is $V=0$).

Valkuilen

• Twee variabelen laten staan in plaats van er één te elimineren.
• Niet controleren of het een maximum of minimum is.
• Het maximum op de rand van het domein missen.
• Alleen $x$ geven terwijl de maximale waarde gevraagd is (of andersom).

Test jezelf

Je vindt $f^{\prime }(x)=0$ alleen in $x=3$, maar het domein is $[0,10]$. Wat moet je nog doen?

$f(3)$ vergelijken met de randwaarden $f(0)$ en $f(10)$.

Een rechthoek heeft omtrek 20. Welke afmetingen geven de grootste oppervlakte?

$A=x(10-x)$, $A^{\prime }=10-2x=0\Rightarrow x=5$: een vierkant van 5 bij 5.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 9: minimale lengte exact (5p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 10: maximale oppervlakte exact (5p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 14: minimale lengte van ST exact (6p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 10 en 16: kleinste vierkant, maximale oppervlakte rechthoek (7p + 5p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 4: maximale productie algebraïsch (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 10 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De baansnelheid van P is op één tijdstip t minimaal. Bereken deze waarde van t.”
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 5 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — V’(t) = 0 oplossen om het maximale temperatuurverschil te vinden.
  • Vraag 10 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, kleinst mogelijke vierkant zoeken tussen de toppen van f en g.
  • Vraag 16 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, maximale oppervlakte van rechthoek EFDC als functie van r₂.
  • Frasering: “is niet even groot… Bereken de lengte van het kleinst mogelijke”, “hangt af van r₂. Voor één waarde… is deze oppervlakte maximaal.” Komt 3× terug (18 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een waarde van a waarvoor de lengte van lijnstuk PQ minimaal is. Bereken exact deze waarde.” Afgeleide gelijkstellen aan 0 / raaklijn evenwijdig aan k.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken exact de maximale oppervlakte van driehoek ACD.” Afgeleide van L²−L⁴ gelijkstellen aan 0.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling — impliciet, minimaliseren van de verticale afstand tussen f en g.
  • Vraag 14 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.”
  • Komt 2× voor.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): in vraagstelling — “Bereken algebraïsch hoeveel voltijdbanen de investeerder moet inzetten om de productie Y maximaal te krijgen.” Kernonderdeel, volledige vraag (5p), klassiek optimaliseringsprobleem met nevenvoorwaarde (budgetvergelijking geeft K als functie van L).
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een plaatdikte d waarbij de benodigde kracht F minimaal is. Bereken exact deze waarde van d.” Contextprobleem (minimale buigkracht) vertaald naar een functievoorschrift en opgelost met de afgeleide.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “de lengte van lijnstuk PM is minimaal” bepalen om de straal MR van de cirkelvormige doorgang te berekenen (afstand van punt tot punt op de kromme minimaliseren, met nevenvoorwaarde PR = 0,30 m).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p), met twee alternatieve oplosroutes (minimaliseren van MP² direct, of via loodrechte raaklijn-voorwaarde f(p)/(p−5)·f’(p) = −1).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 7 (8p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een waarde van p waarvoor R maximaal is. Bereken exact de maximale waarde van R.” Afgeleide van R(p) gelijkstellen aan 0.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (8p, de zwaarste vraag van dit tijdvak).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 14 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is een positie van P waarvoor de x-coördinaat van S maximaal is. Bereken exact deze maximale waarde.” Afgeleide van xS(p) gelijkstellen aan 0.
  • Komt 1× voor, volledige (zwaarste) vraag van dit tijdvak (7p).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — f(x) = x(x−3)² − 2, punt A(7,0), P op de grafiek, lengte AP minimaliseren. Frasering: “Bereken deze minimale lengte.” Correctievoorschrift: AP = √((7−p)² + (f(p))²), minimum bepalen met de GR, antwoord 4,35.
  • Vraag 7 (5p): kernonderdeel — snelheid V waarbij het aantal geboorde gaten A per 24 uur maximaal is, via dA/dV = 0.
  • Komt 2× voor dit tijdvak (9 scorepunten samen), beide keren volledige vraag.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Bereken de minimale lengte van het lijnstuk”, minimum van g(x)−f(x) bepalen.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Stijgen, dalen en extremen
• Afgeleide functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)