Stijgen, dalen en extremen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 keer per tijdvak: top berekenen, minimale lengte of maximale oppervlakte, of bewijzen dat een grafiek stijgt.

Wat moet je kunnen?

• Met het teken van $f^{\prime }$ bepalen waar $f$ stijgt of daalt.
• Extremen berekenen ($f^{\prime }(x)=0$) en met een tekenschema of $f^{\prime \prime }$ aangeven of het max of min is.
• Bewijzen dat een grafiek in een punt of op een interval stijgt of daalt.

De kern

$f^{\prime }(x)$	$f$
$>0$	stijgend
$<0$	dalend
$=0$ met wissel $+\to -$	maximum
$=0$ met wissel $-\to +$	minimum
$=0$ zonder wissel	geen extreem (bijv. $x^3$ in 0)

• Alternatief: $f^{\prime \prime }(a)<0$ → max, $f^{\prime \prime }(a)>0$ → min.
• Toenemend stijgend: $f^{\prime }>0$ en $f^{\prime \prime }>0$; afnemend stijgend: $f^{\prime }>0$ en $f^{\prime \prime }<0$ (zie Buigpunten).
• Een extreem op een begrensd domein kan ook aan de rand liggen (zie Optimaliseren).

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.” (2024-1 vraag 1).
• Top van $g$ via $g^{\prime }(x)=0$ ($1+2\ln x=0$, 2026-2 vraag 10).
• “Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.” (2024-1 vraag 14).
• Maximale $x$- en $y$-coördinaat van een baan via $x^{\prime }(t)=0$ en $y^{\prime }(t)=0$ (2026-1 vraag 12).

Uitgewerkt voorbeeld

Toppen met een tekenschema

$f(x)=x^3-3x^2-9x+2$

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$
2. Nulpunten: $x=-1$ en $x=3$
3. Tekenschema $f^{\prime }$: $+$ voor $x<-1$, $-$ tussen $-1$ en $3$, $+$ na $3$
4. Max $f(-1)=7$, min $f(3)=-25$.

Stijgen in een punt bewijzen (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 1)

$f(x)=x^3-3x$. Bewijs dat de grafiek in $x=2$ stijgt.

1. $f^{\prime }(x)=3x^2-3$
2. $f^{\prime }(2)=12-3=9>0$, dus de grafiek stijgt in $x=2$. ✓

Valkuilen

• Een nulpunt van $f^{\prime }$ zonder controle “top” noemen.
• De $x$-coördinaat geven terwijl de maximale waarde gevraagd is.
• Bij “exact” de top met de GR bepalen.

Test jezelf

$f^{\prime }(x)=(x-2{)}^2$. Heeft $f$ een extreem in $x=2$?

Nee: $f^{\prime }$ wisselt niet van teken (is links en rechts positief).

$f^{\prime }(4)=0$ en $f^{\prime \prime }(4)=-3$. Wat ligt er in $x=4$?

Een maximum.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 10: top via $g^{\prime }(x)=0$ (7p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 1 en 14: stijgen in een punt, minimale lengte exact (3p + 6p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 12: maximale coördinaten van een baan (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 10 (3p): kernonderdeel — baansnelheid minimaliseren (extreme waarde van |v(t)|).
  • Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t)=0 en y’(t)=0 oplossen om de maximale x- resp. y-coördinaat (punten A en B) te vinden.
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x)=0 om de top T (extreme waarde) van de gebroken goniometrische functie te vinden.
  • Komt 3× terug, telkens als kernidee onder een grotere vraag (15 scorepunten betrokken).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 10 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — top van g bepaald via g’(x) = 0 (1+2ln(x) = 0).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap om punt B te vinden.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — minimum van PQ bepalen via afgeleide = 0, kernidee van stijgen/dalen naar een extreme waarde.
  • Komt 1× voor, ondersteunend aan Optimaliseren.
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — Opp(ACD) is maximaal als 2L−4L³=0, kernidee van een extreme waarde bepalen via de afgeleide.
  • Komt 1× voor, ondersteunend aan Optimaliseren.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): kernidee stijgend gedrag via teken van de afgeleide.
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling — impliciet, minimale lengte van het verticale lijnstuk tussen f en g (extreme waarde).
  • Vraag 14 (6p): in vraagstelling — “Deze lengte heeft een minimum. Bereken exact voor welke positieve waarde van a de lengte van lijnstuk ST minimaal is.”
  • Komt 3× voor.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — dY/dL=0 oplossen voor het maximum.
  • Vraag 11 (3p): in vraagstelling — “Bewijs dat de grafiek van f voor elke waarde van x>5 daalt.” Kernonderdeel, teken van de afgeleide.
  • Komt 2× voor (8 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “De functie f heeft een minimum”, f’(x)=0 oplossen om het minimum te vinden.
  • Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dF/dd = 0 geeft het minimum van F.
  • Komt 2× voor, beide keren ondersteunend aan een grotere berekening.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Beschrijven hoe de extreme waarden van h(x) = f(x)+3−g(x) berekend kunnen worden”, (het minimum) 1,948… en (het maximum) 13,948… via de GR.
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 0 oplossen om de x-coördinaat van top T te vinden.
  • Vraag 16 (6p): impliciet — de minimale lengte van lijnstuk PM wordt bepaald (extreemwaardeprobleem).
  • Komt 3× voor, telkens ondersteunend aan een grotere berekening (15 scorepunten samen betrokken).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — “f heeft een minimum als sin(x) maximaal is” / “f heeft een maximum als sin(x) minimaal is”, extreme waarden bepalen via de afgeleide om het bereik te vinden.
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, “beredeneer daarmee of het laagste punt links of rechts van n = 4 ligt” op basis van het teken van de afgeleide.
  • Komt 2× voor, beide keren om via het teken/de waarde van de afgeleide een uitspraak over een extreme waarde te doen.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift/vraagstelling — dR/dp=0 oplossen om het maximum van R te vinden.
  • Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(a)=0 als voorwaarde voor het hoogste punt (extreme waarde).
  • Komt 2× voor, beide keren als kernstap naar een extreme waarde (12 scorepunten betrokken).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 12 (5p): kernonderdeel — f_p’(x) = 0 oplossen levert de x-coördinaat van de top (extreme waarde) als functie van p.
  • Komt 1× voor, kernstap van de opgave (5p).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — teken van A’(x) (of A”(x)) gebruikt om te bewijzen dat de verticale afstand steeds toeneemt.
  • Vraag 14 (7p): kernonderdeel — x-coördinaat van S is maximaal wanneer de afgeleide van xS(p) nul is.
  • Komt 2× voor (11 scorepunten samen betrokken).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 8 (5p): kernonderdeel — “Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is voor elke waarde van a en b.” Teken van de afgeleide gebruiken om monotoniciteit te bewijzen.
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — horizontale raaklijn bij P (op f) en verticale raaklijn bij Q (op f_inv) zijn beide extreme-punt-voorwaarden (f’(x)=0 resp. f_inv’(x) niet gedefinieerd/oneindig).
  • Komt 2× voor (11 scorepunten samen), eenmaal als volledig generiek bewijs, eenmaal als concrete toepassing.
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “toppen” van f zijn extremen, gevonden door f’(x)=0 op te lossen en te vergelijken met x-coördinaat van A.
  • Komt 1× voor, kern van de vraag (samen met Bewijzen met differentiëren).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “uit de grafiek blijkt dat er een snelheid is waarbij het aantal geboorde gaten per 24 uur maximaal is”, extreme waarde bepalen via dA/dV = 0.
  • Komt 1× voor, kernidee van de vraag naast de rekentechniek (Quotiëntregel).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “heeft de grafiek van f_a precies één top”, top gevonden via f_a’(x)=0.
  • Vraag 8 (6p): in vraagstelling — “De grafiek van f heeft oneindig veel toppen”, alle toppen via f’(x)=0.
  • Vraag 9 (4p): impliciet — top P uit vraag 8 gebruikt als uitgangspunt.
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — “Bereken de minimale lengte van het lijnstuk”, minimum via afgeleide/GR.
  • Komt 4× terug, telkens onderliggend begrip bij “top”/“minimum”-vragen (18 scorepunten betrokken).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 7 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — de top T van f_a wordt gevonden via f_a’(x)=0 (−ln(ax)=0 ⟹ ax=1), het klassieke stijgen/dalen-naar-extreme-waarde-idee.
  • Komt 1× voor, als kernstap binnen het bewijs (niet apart bepunt, wel noodzakelijk).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Afgeleide functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Optimaliseren
• Buigpunten