Afgeleide functie

Prioriteit: 🔴 Hoog (basisbegrip)

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 2–4 keer per tijdvak, bijna altijd als stap in een grotere vraag (top, raaklijn, snelheid).

Wat moet je kunnen?

• $f^{\prime }(x)$ en $f^{\prime \prime }(x)$ opstellen en interpreteren als helling of snelheid.
• Met $f^{\prime }(x)=0$ toppen vinden en met $f^{\prime \prime }$ of een tekenoverzicht bepalen of het een maximum of minimum is.
• De afgeleide gebruiken voor een raaklijn of een snelheid $v(t)=x^{\prime }(t)$.

De kern

Betekenis	Notatie
helling van de grafiek in $x=a$	$f^{\prime }(a)$
snelheid als $h(t)$ een plaats is	$v(t)=h^{\prime }(t)$
richtingscoëfficiënt van de raaklijn	$m=f^{\prime }(a)$
kromming (buigpunt als $f^{\prime \prime }$ van teken wisselt)	$f^{\prime \prime }(x)$

• $f^{\prime }(x)>0$: stijgend; $f^{\prime }(x)<0$: dalend; $f^{\prime }(x)=0$ met tekenwissel: top.
• Bij een top: $f^{\prime \prime }(a)<0$ → maximum, $f^{\prime \prime }(a)>0$ → minimum.
• Regels: Standaardafgeleiden, Somregel en verschilregel, Productregel, Quotiëntregel, Kettingregel.

Zo wordt het gevraagd

• Toppen: “Bereken exact de coördinaten van de top” met $f^{\prime }(x)=0$ (elk tijdvak).
• Snelheid: $h_0^{\prime }(t)$ is de snelheid (2026-1 vraag 8); $v$ is de afgeleide van $Z_{\text{blokje}}$ (2025-1 vraag 12).
• Tweede afgeleide voor buigpunten (2025-1 vraag 1).
• In het correctievoorschrift levert de juiste afgeleide vaak een eigen scorepunt op.

Uitgewerkt voorbeeld

Toppen en hun soort (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 1)

$f(x)=x^4-30x^2$

1. $f^{\prime }(x)=4x^3-60x=4x(x^2-15)$
2. $f^{\prime }(x)=0$ geeft $x=0$ of $x=\pm \sqrt{15}$
3. $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-60$: $f^{\prime \prime }(0)=-60<0$ → maximum in $x=0$; $f^{\prime \prime }(\pm \sqrt{15})=120>0$ → minima.

Controle: de grafiek is een “W” (hoogste macht $x^4$ met positieve coëfficiënt): eerst min, dan max, dan min. ✓

Snelheid (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 8)

Een steen valt: $h(t)=20-4,9t^2$ (in m, $t$ in s). Hoe snel valt hij na 1,5 s?

1. $v(t)=h^{\prime }(t)=-9,8t$
2. $v(1,5)=-9,8\times 1,5=-14,7$ m/s
3. Hij valt met 14,7 m/s (het minteken betekent: naar beneden).

Valkuilen

• $f^{\prime }(x)=0$ oplossen en vergeten te controleren of het echt een top is.
• $f(a)$ en $f^{\prime }(a)$ door elkaar halen: de functiewaarde is de hoogte, de afgeleide de helling.
• Bij “exact” de nulpunten van $f^{\prime }$ met de GR bepalen.

Test jezelf

$f(x)=x^3-6x$. Wat is de helling in $x=2$?

$f^{\prime }(x)=3x^2-6$, dus $f^{\prime }(2)=12-6=$ 6.

$f^{\prime }(3)=0$ en $f^{\prime \prime }(3)=5$. Wat weet je over $x=3$?

Er ligt een minimum (helling 0, grafiek bol naar boven).

Wat betekent $f^{\prime }(a)<0$?

De grafiek is in $x=a$ dalend.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 1: $f^{\prime }$ en $f^{\prime \prime }$ voor buigpunten (4p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 10: top van $g$ met $g^{\prime }(x)$ (7p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 14: $x$-coördinaat van de top van $f_a$ (5p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 8: afgeleide als snelheid (2p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 12: snelheid als afgeleide van de plaats (3p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 8 (2p): zichtbaar in correctievoorschrift — h0’(t) is de snelheid.
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) van een gebroken goniometrische functie wordt opgesteld om de top te vinden.
  • Komt 2× terug als generiek onderliggend begrip.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 5 (6p): V’(t) gebruikt om het maximale temperatuurverschil te bepalen.
  • Vraag 9 (5p): x’(t), y’(t) gebruikt voor de richting van de raaklijn aan de baan.
  • Vraag 10 (7p): g’(x) gebruikt om de top van g te bepalen.
  • Vraag 12 (4p): f’(x) gebruikt om het raakpunt te bepalen.
  • Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel-notities.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) en f”(x) berekenen.
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dPQ/da resp. f’(x)/g’(x).
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — v is expliciet “de afgeleide van Z_blokje”.
  • Vraag 18 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — hq’(x), f’(x) voor de raakvoorwaarde.
  • Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel-notities).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt berekend als basis voor de snelheidsvector.
  • Vraag 10 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d(L²−L⁴)/dL berekend om het maximum te vinden.
  • Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — fa’(x) = a−3x²+3 om de x-coördinaat van de top te bepalen.
  • Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Bewijzen met differentiëren-notities).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekenen.
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — dy/dt berekenen ter verificatie van de primitieve.
  • Vraag 6 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) resp. g’(x).
  • Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt.
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleide van ST(a).
  • Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere notities Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) via de quotiëntregel.
  • Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t), y’(t) als afgeleiden van de parametervergelijkingen.
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) via productregel/kettingregel.
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) en f”(x) berekenen.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — f’(p) gebruikt in de loodrechte-raaklijnvoorwaarde.
  • Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel/Quotiëntregel-notities).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 3, 8, 11, 14, 15: overal waar f’(x) of g’(x) wordt opgesteld als onderliggend begrip, zie Standaardafgeleiden/Kettingregel/Quotiëntregel voor de specifieke regels die erbij gebruikt worden.
  • Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f”(x) opnieuw afleiden van f’(x)=48x²−24x om het buigpunt te vinden.
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — “Bepaal met behulp van de afgeleide van T de helling van de grafiek voor n = 4”. dT/dn expliciet berekend.
  • Komt 2× voor als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — F’(x) berekenen als generieke stap in de alternatieve bewijsroute.
  • Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — afgeleiden van beide grafiekdelen in A bepalen.
  • Vraag 14 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x) opstellen en gelijkstellen aan 0.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) bepalen uit de parametervoorstelling.
  • Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): f’(x) bepalen om rcl (richtingscoëfficiënt raaklijn in oorsprong) te vinden.
  • Vraag 4 (4p): f’(x) en k’(x) bepalen om raakvoorwaarde te bewijzen.
  • Vraag 12 (5p): f_p’(x) bepalen om de x-coördinaat van de top te vinden.
  • Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 6, 9, 11, 14: telkens f’ of A’ als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere Kettingregel/Standaardafgeleiden-notities.
  • Komt 4× terug dit tijdvak.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekenen als startpunt van het bewijs.
  • Vraag 7 (5p): kernonderdeel — dC/dT expliciet afleiden en bewijzen (formule 2).
  • Vraag 8 (5p): zichtbaar — teken van dC/dT bepalen om stijgend gedrag te bewijzen.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) = 3x²−12x+12 en f_inv’(x) berekend voor de raakvoorwaarden.
  • Komt 4× terug als generiek onderliggend begrip (naast de specifiekere Kettingregel/Quotiëntregel/Productregel/Standaardafgeleiden-notities).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 3 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — x’(t), y’(t) als afgeleiden van de bewegingsvergelijkingen.
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f’(x) berekend op het linkerdeel van de grafiek, lim_{x↑2} f’(x) = −3.
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — dA/dV opgesteld en gelijkgesteld aan 0.
  • Komt 3× terug als generiek onderliggend begrip naast de specifiekere regel-notities (Productregel/Quotiëntregel/Standaardafgeleiden).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): in correctievoorschrift — dx/dt en dy/dt berekend uit x(t) en y(t).
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — f_a’ al gegeven, gebruikt om de top te vinden (f_a’(x)=0).
  • Vraag 4 (3p): in correctievoorschrift/aanvulling — afgeleide van Fa berekend om te bewijzen dat Fa’ = f_a.
  • Vraag 8 (6p): in correctievoorschrift — f’(x)=6cos(x)+2sin(2x) berekend om toppen te vinden.
  • Vraag 13 (4p): impliciet in correctievoorschrift — minimum van g(x)−f(x) via de afgeleide (GR).
  • Komt 5× terug als generiek onderliggend begrip, naast de specifiekere Standaardafgeleiden/Kettingregel/Productregel-notities.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Karakteristieke eigenschappen van functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Raaklijn
• Hellinggrafiek
• Stijgen, dalen en extremen
• Buigpunten
• Standaardafgeleiden