Bewijzen in de getaltheorie

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 7. Korte bewijzen, vaak gecombineerd met Bewijs uit het ongerijmde (opgave 65–73, gemengde opgave 30, 32).

Wat moet je kunnen?

• Getallen algemeen noteren: $e=2n$, $o=2n+1$, $d=3n$, $r=\frac{a}{b}$ met $b\ne 0$.
• De uitkomst terugschrijven naar de gevraagde vorm.
• Gevalsonderscheiding gebruiken: niet-drievouden zijn $3q+1$ of $3q+2$.

De kern

Voorbeeld: het kwadraat van een oneven getal is oneven. $o^2=(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1=2q+1$

• Gebruik verschillende letters voor verschillende getallen ($a=2p+1$, $b=2q+1$), anders bewijs je het alleen voor twee gelijke getallen.
• Schrijf de conclusie op: “dus $a\cdot b$ is van de vorm $2n+1$ met $n\in \mathbb{N}$, dus oneven.”

Valkuilen

• Twee getallen met dezelfde letter schrijven ($2n+1$ en $2n+1$).
• Eindigen bij $4n^2+4n+1$ zonder het naar $2q+1$ te herschrijven.

Test jezelf

Bewijs dat het product van twee oneven getallen oneven is.

$(2p+1)(2q+1)=4pq+2p+2q+1=2(2pq+p+q)+1$, van de vorm $2n+1$, dus oneven.

Laat zien dat $p^2-1$ een drievoud is als $p=3q+1$.

$(3q+1{)}^2-1=9q^2+6q=3(3q^2+2q)$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H7 opgave 66 · uitwerking: even en oneven
• H7 opgave 67 · uitwerking: gevalsonderscheiding met drievouden
• Gemengde opgave 32 · uitwerking: deelbaar door 3 en door 12

Bronnen

• §7.4 opgave 65 en Theorie C: Bewijzen in de getaltheorie (blz. 129)
• §7.4 Voorbeelden (blz. 130)
• Terugblik: Bewijzen in de getaltheorie (blz. 133)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Bewijs uit het ongerijmde

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)