Bewijs uit het ongerijmde

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-1 · weging 33⅓% · hoofdstuk 7. Vaste vierstappenopbouw; de toets vraagt vaak expliciet “Formuleer de negatie” (opgave 67, 68, 69, diagnostische toets 10–11).

Wat moet je kunnen?

• De negatie correct formuleren.
• Het werkschema in vier stappen volgen.
• Een tegenspraak vinden met factoriseren, even/oneven of gemeenschappelijke delers.

De kern

Werkschema: bewijs uit het ongerijmde

1. Formuleer wat je wilt bewijzen (stelling).
2. Veronderstel dat wat je wilt bewijzen niet juist is (de negatie).
3. Toon aan dat de negatie leidt tot een tegenspraak.
4. Concludeer uit de tegenspraak dat wat je wilt bewijzen juist is.

Stelling	Negatie
er bestaan geen $x,y$ met …	er bestaan wel $x,y$ met …
$\sqrt{2}$ is irrationaal	$\sqrt{2}$ is rationaal: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ met $a$ en $b$ zonder gemeenschappelijke delers
er is geen grootste priemgetal	er is een grootste priemgetal $P$
als $A$, dan $B$	$A$ en niet $B$

Veelgebruikte tegenspraken

• Factoriseren: $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$; beide factoren zijn delers van het getal rechts.
• Even/oneven: een som van drie oneven getallen is oneven, dus niet 0.
• Vereenvoudigen: als $a$ en $b$ beide even zijn, was $\frac{a}{b}$ niet vereenvoudigd.

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat er geen positieve gehele getallen x en y bestaan waarvoor geldt 4x² − y² = 5.” (diagnostische toets 10).
• “Bewijs dat de som van een rationaal getal a/b en een irrationaal getal p irrationaal is.” (diagnostische toets 11).
• “Toon met een bewijs uit het ongerijmde aan dat √10 een irrationaal getal is.” (A72).

Uitgewerkt voorbeeld

Geen gehele oplossingen (vergelijk H7 diagnostische toets 10)

Bewijs dat er geen positieve gehele getallen $x$ en $y$ bestaan met $4x^2-y^2=5$.

1. Stelling: er bestaan geen positieve gehele $x,y$ met $4x^2-y^2=5$.
2. Negatie: er bestaan wel positieve gehele $x,y$ met $4x^2-y^2=5$.
3. $(2x-y)(2x+y)=5$. Beide factoren zijn gehele delers van 5 en $2x+y>2x-y$, dus $2x+y=5$ en $2x-y=1$. Optellen: $4x=6$, $x=1\frac{1}{2}$. Tegenspraak met ”$x$ geheel”.
4. Dus er bestaan geen positieve gehele $x,y$ met $4x^2-y^2=5$. ✓ (met Python gecontroleerd: geen oplossingen)

√2 is irrationaal (Voorbeeld blz. 130)

1. Stelling: $\sqrt{2}$ is irrationaal. 2. Negatie: $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ met $a,b\in \mathbb{Z}$ zonder gemeenschappelijke delers.
2. $a^2=2b^2$, dus $a^2$ is even en $a$ ook: $a=2n$. Dan $4n^2=2b^2$, $b^2=2n^2$, dus $b$ is ook even. Tegenspraak: $a$ en $b$ hebben de deler 2.
3. Dus $\sqrt{2}$ is irrationaal.

Valkuilen

• De negatie verkeerd formuleren: de negatie van “geen enkele” is “minstens één”, niet “allemaal”.
• Stap 1 en 4 weglaten; in de uitwerkingen staan ze er steeds.
• Bij factoriseren vergeten te beargumenteren waarom alleen die factorparen kunnen.

Test jezelf

Geef de negatie van "er bestaan geen natuurlijke getallen $x$ en $y$ met $x^2-y^2=10$".

Er bestaan wel natuurlijke getallen $x$ en $y$ met $x^2-y^2=10$.

Waarom kan $x+y$ in $(x+y)(x-y)=10$ geen 1 of 2 zijn?

Dan zou $x+y<x-y$, want $x-y$ is dan 10 of 5. Dat kan niet voor natuurlijke $y$. Dus $x+y=5$ of $10$, en beide geven geen gehele oplossing.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H7 opgave 54 · uitwerking: oneindig veel priemgetallen
• H7 opgave 68 · uitwerking: $x^2-y^2=10$ in stappen
• H7 opgave 69 · uitwerking: $x^3+x+1=0$ heeft geen rationale oplossingen
• H7 opgave A72 · uitwerking: $\sqrt{10}$ is irrationaal
• H7 diagnostische toets 11 · uitwerking: rationaal plus irrationaal

Bronnen

• §7.4 opgave 51 en Theorie A: Bewijs uit het ongerijmde (blz. 123)
• §7.4 Voorbeeld en Informatief: hoofdstelling van de rekenkunde (blz. 124)
• §7.4 Voorbeeld: √2 is irrationaal (blz. 130)
• Terugblik: Bewijs uit het ongerijmde (blz. 133)
• Diagnostische toets 10–11 (blz. 135)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Definities, vermoedens en stellingen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Ladenprincipe
• Bewijzen in de getaltheorie