Contante waarde en eindwaarde van een reeks gelijke bedragen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 5 van de 6 onderzochte examenjaren, vaak als de zwaarste vraag van het examen (3–4p): studieschuld, schenking, loon, restschuld van een hypotheek.

Wat moet je kunnen?

• De somformule van een meetkundige reeks toepassen op een reeks gelijke bedragen.
• De juiste eerste term $a$ en reden $r$ kiezen voor contante waarde en voor eindwaarde.
• Het resultaat vergelijken met een eenmalig bedrag of een drempel.

De kern

$S_n=a\times \frac{r^n-1}{r-1}$

	Eindwaarde (EW)	Contante waarde (CW)
$r$	$1+i$	$\frac{1}{1+i}$
$a$	waarde van de laatste termijn op het eindmoment	waarde van de eerste termijn op het beginmoment
$n$	aantal termijnen	aantal termijnen

• Stap voor stap: teken een tijdlijn, zet elke termijn erop en bepaal wat de eerste term is.
• Staat de eerste betaling nu, dan is $a$ gewoon het bedrag; staat die over één periode, dan $a=\frac{\text{bedrag}}{1+i}$.
• Voor één bedrag: zie Samengestelde interest — contante waarde en eindwaarde.

Zo wordt het gevraagd

• Contante waarde van wekelijkse loonbetalingen plus een transitievergoeding vergelijken met een drempel (2026-2 vraag 10, 4p).
• De restschuld van een hypothecaire lening berekenen als contante waarde van de toekomstige annuïteiten (2026-1 vraag 28).
• Contante waarde van 10 jaarlijkse schenkingen vergelijken met één schenking (2022-1 vraag 20, 3p).
• “Bereken per leerling de eindwaarde” van maandelijkse spaarstortingen (2021-3 vraag 17).

Uitgewerkt voorbeeld

Contante waarde van schenkingen (examenstijl, vergelijk 2022-1 vraag 20)

Iemand krijgt 10 jaar lang €5.000 per jaar, de eerste keer nu. Interest 3% per jaar. $a=5.000$, $r=\frac{1}{1,03}$, $n=10$ $CW=5.000\times \frac{(1/1,03{)}^{10}-1}{1/1,03-1}=$ €43.930,54 Dat is minder dan $10\times 5.000=50.000$, omdat latere bedragen nu minder waard zijn.

Eindwaarde van maandelijkse stortingen

12 keer €100 aan het begin van elke maand, 0,2% interest per maand. Eindwaarde na 12 maanden? De laatste storting staat nog één maand: $a=100\times 1,002$, $r=1,002$, $n=12$. $EW=100,20\times \frac{1,002^{12}-1}{0,002}=$ €1.215,71

Valkuilen

• De verkeerde eerste term: kijk of de eerste betaling nu of pas na één periode plaatsvindt.
• Een jaarrente gebruiken bij maandelijkse termijnen.
• Het aantal termijnen verkeerd tellen (van januari tot en met december is 12, niet 11).
• Tussentijds afronden.

Test jezelf

Wat is de reden $r$ bij het contant maken tegen 0,5% per maand?

$r=\frac{1}{1,005}$.

Waarom is de restschuld van een annuïteitenhypotheek gelijk aan de contante waarde van de resterende annuïteiten?

De bank wil dat de nog te betalen annuïteiten, teruggerekend naar nu, precies de schuld terugbetalen.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 10: contante waarde van loon (4p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 28: restschuld van een hypotheek
• 2024 tijdvak 2, vraag 26 en 28: volstaat de maandelijkse betaling om de schuld af te lossen?
• 2022 tijdvak 3, vraag 22: contante waarde van een gewenst maandinkomen

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 6 onderzochte examenjaren (2021-2026) — 83,3%.

• 2026 tijdvak 2: vraag 10
• 2026 tijdvak 1: vraag 28
• 2025 tijdvak 2: vraag 2
• 2025 tijdvak 1: vraag 19
• 2024 tijdvak 2: vraag 26, 28
• 2022 tijdvak 3: vraag 22
• 2022 tijdvak 2: vraag 24
• 2022 tijdvak 1: vraag 20
• 2021 tijdvak 3: vraag 17, 18
• 2021 tijdvak 2: vraag 6
• 2021 tijdvak 1: vraag 2

---

Ondersteunende onderwerpen

• Samengestelde interest — contante waarde en eindwaarde

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Hypotheekvormen — lineaire hypotheek en annuïteitenhypotheek