Bewijzen en aantonen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 3–6 bewijsvragen per tijdvak (in 2025-1 zes vragen, samen 21 scorepunten).

Wat moet je kunnen?

• Het verschil tussen bewijzen, aantonen, algebraïsch aantonen en onderzoeken toepassen.
• Een bewijs opschrijven waarin elke niet-triviale stap zichtbaar is.
• Vanuit het gegeven naar de bewering werken (niet andersom beginnen met wat je wilt bewijzen, tenzij elke stap omkeerbaar is).

De kern

Werkwoord	Eisen
bewijs (dat)	redenering en/of exacte berekening; geen specifieke GR-opties
toon aan / laat zien dat	redenering, bepaling of berekening; GR mag, tenzij “algebraïsch”/“exact”
toon op algebraïsche wijze aan	geen GR-opties, benaderde tussenstappen mogen
onderzoek of	afsluiten met een conclusie (ja/nee)

• Voorbeelden controleren is geen bewijs. Een tegenvoorbeeld is wel genoeg om een algemene bewering te weerleggen.
• Bij “bewijs dat … juist is” hoeft er geen aparte eindconclusie; de bewering staat al in de vraag.
• Correctieregel 3.3: een andere, vakinhoudelijk juiste aanpak krijgt punten naar analogie van het model.

Zo wordt het gevraagd

• “Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten 125 is.” (2025-1 vraag 1).
• “Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.” (2025-1 vraag 8).
• “Toon op algebraïsche wijze aan dat AB = BC.” (2026-1 vraag 13).
• “Bewijs dat bovenstaande formule voor $L_p$ juist is.” (2026-1 vraag 16).
• “Onderzoek op exacte wijze of V en W gelijke oppervlakte hebben.” (2026-2 vraag 1).

Uitgewerkt voorbeeld

Bewijs over buigpunten (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 1)

$f(x)=x^4-6x^2+10$. Bewijs dat de $y$-coördinaat van beide buigpunten 5 is.

1. $f^{\prime }(x)=4x^3-12x$, $f^{\prime \prime }(x)=12x^2-12$
2. $f^{\prime \prime }(x)=0$ geeft $x^2=1$, dus $x=-1$ of $x=1$ (en $f^{\prime \prime }$ wisselt daar van teken)
3. $f(1)=1-6+10=5$ en $f(-1)=1-6+10=5$ ✓

Inverse bewijzen (examenstijl, vergelijk 2025-1 vraag 8)

$f(x)=e^{2x}-1$ en $g(x)=\frac{1}{2}\ln (x+1)$. Bewijs dat ze elkaars inverse zijn.

1. $f(g(x))=e^{2\cdot \frac{1}{2}\ln (x+1)}-1=e^{\ln (x+1)}-1=x+1-1=x$
2. $g(f(x))=\frac{1}{2}\ln (e^{2x}-1+1)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x$
3. Beide samenstellingen geven $x$, dus $f$ en $g$ zijn elkaars inverse. ✓

Valkuilen

• De bewering controleren met één waarde en dat “bewijs” noemen.
• Stappen overslaan (“dus volgt dat …”).
• Bij “onderzoek of” geen conclusie opschrijven.
• Bij “bewijs” de GR gebruiken voor een snijpunt of top.

Test jezelf

Je moet bewijzen dat een formule voor alle $a$ geldt. Je vult $a=2$ in en het klopt. Is dat genoeg?

Nee: je moet het algemeen (voor elke $a$) laten zien.

Bewering: "Voor alle $x$ geldt $x^2>x$." Hoe weerleg je dit?

Met een tegenvoorbeeld: $x=\frac{1}{2}$ geeft $\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 1, 4, 6, 8 en 14: vijf bewijsvragen in één tijdvak (4p + 4p + 3p + 3p + 4p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 14 en 16: goniometrische vergelijking en integraalformule bewijzen (6p + 6p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 2 en 15: hoek van 90° en lengtes in een figuur bewijzen (4p + 4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 13 (3p): “Toon op algebraïsche wijze aan dat AB=BC.”
  • Vraag 14 (6p): “Bewijs dat dit juist is.” (5cos²(x)−8cos(x)−3=0)
  • Vraag 16 (6p): “Bewijs dat bovenstaande formule voor Lp juist is.”
  • Frasering: “Toon … aan”, “Bewijs dat … juist is”. Komt 3× terug (samen 15 scorepunten) — minder dominant dan in 2025 tijdvak 1 (6 vragen), maar nog steeds een terugkerend vraagtype, dit keer telkens in de vorm “bewijs dat een gegeven bewering/formule klopt” in plaats van “bewijs een eigen constatering”.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 1 (6p): “Onderzoek op exacte wijze of…” — onderzoeksvraag, geen scorepunten los voor het bewijstype maar wel de exacte-eis.
  • Vraag 2 (4p): “Bewijs dit.” (dat de hoek van de knik 90° is) — kernonderdeel, volledige vraag.
  • Vraag 15 (4p): “Bewijs dat inderdaad CE = DF = ½r₂.” — kernonderdeel, volledige vraag.
  • Komt 3× voor, telkens met de eis van exacte/algebraïsche stappen zonder specifieke GR-opties.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): “Bewijs dat de y-coördinaat van de buigpunten 125 is.”
  • Vraag 4 (4p): “Bewijs dit.” (x² = −y⁴+2y³+2y−1)
  • Vraag 6 (3p): “Bewijs dit.” (MS = √(9−6r))
  • Vraag 8 (3p): “Bewijs dat f en g elkaars inverse zijn.”
  • Vraag 11 (3p): “Laat … zien dat … amplitude 50 … evenwichtsstand 250.”
  • Vraag 14 (4p): “Bewijs dat de coördinaten van P’ juist zijn.”
  • Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”, “Laat zien dat…”. Zeer frequent dit tijdvak: 6 van de 18 vragen zijn bewijsvragen (samen 21 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid.
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): “Bewijs dit.” (AC=1 voor elke a)
  • Vraag 9 (3p): “Bewijs dit.” (Opp(ACD) = ½L²−¼L⁴)
  • Vraag 12 (6p): “Bewijs dit.” (coördinaten van M onafhankelijk van P)
  • Vraag 13 (7p): “Bewijs deze eigenschap.”
  • Vraag 14 (5p): “Bewijs dit.” (ytop-formule)
  • Vraag 17 (3p): “Bewijs dit.” (vergelijkingen van de scheve asymptoten)
  • Frasering: uitsluitend “Bewijs dit.” / “Bewijs deze eigenschap.” dit tijdvak (geen “aantonen”/“laat zien” gebruikt). Zeer dominant: 6 van de 18 vragen zijn bewijsvragen (samen 28 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f in A stijgt.”
  • Vraag 4 (3p): “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is … voor elke waarde van a.”
  • Vraag 13 (4p): “Bewijs dit.” (geen enkele waarde van a geeft een perforatie)
  • Vraag 16 (3p): “Bewijs dat dit verband juist is.”
  • Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 13 scorepunten), brede terugkerende examenvaardigheid.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 3 (2p): “Toon aan dat Y=40·L^0,7·(50−2,5L)
  • Vraag 5 (4p): “Bewijs dat bij α+β=1 geldt: als zowel L als K met dezelfde factor g groeit, dan groeit ook de productie Y met diezelfde factor g.”
  • Vraag 7 (4p): “Bewijs dat uit het feit dat de vector OP loodrecht staat op de snelheidsvector in punt P inderdaad volgt: sin(2t)=sin(2t+½π).”
  • Vraag 10 (4p): “Bewijs dat voor elke positieve waarde van a punt S op de grafiek van f ligt.”
  • Vraag 15 (5p): “Bewijs dat deze raaklijn voor elke waarde van a door de oorsprong gaat.”
  • Frasering: “Toon aan dat…”, “Bewijs dat…”. Zeer frequent: 5 van de 17 vragen zijn bewijsvragen (samen 19 scorepunten) — dominante examenvaardigheid, net als in 2025 tijdvak 1.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): “De oppervlakte van dit vlakdeel is onafhankelijk van de waarde van a. Bewijs dit.”
  • Vraag 7 (3p): “Bewijs dat dit inderdaad de bewegingsvergelijkingen van Q zijn.”
  • Vraag 9 (3p): “Er geldt: L = … Bewijs dit.”
  • Vraag 13 (6p): “De raaklijnen … snijden elkaar loodrecht in het snijpunt. Bewijs dit.”
  • Vraag 15 (5p): “De lijn door E en F is de bissectrice van hoek PED. Bewijs dit voor het geval p = 2.”
  • Vraag 18 (3p): “Een primitieve van f is F(x) = x − ln(eˣ+1). Bewijs dit.”
  • Vraag 19 (4p): “De oppervlakte van dit vlakdeel is voor elke waarde van a kleiner dan ln(2). Bewijs dit.”
  • Frasering: uitsluitend “Bewijs dit” / “Bewijs dat…” dit tijdvak (geen “aantonen”/“laat zien”). Zeer frequent: 7 van de 19 vragen zijn bewijsvragen (samen 29 scorepunten) — de dominante examenvaardigheid dit tijdvak.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): “Bewijs dat dit juist is door de vergelijking f(x) = g(x) exact op te lossen.” Volledige vraag is een bewijsvraag (4p).
  • Komt 1× voor dit tijdvak, minder dominant dan in andere tijdvakken maar wel volledig kernonderdeel.
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): “Bewijs dit.” (fp, gp elkaars inverse)
  • Vraag 6 (5p): “Bewijs dit.” (OR-formule)
  • Vraag 7 (3p): “Bewijs dit met behulp van de formule voor OR.”
  • Vraag 8 (8p): “Bewijs dat de grafieken van f en g elkaar in twee punten raken.”
  • Vraag 9 (4p): “Bewijs dat er geen andere gemeenschappelijke punten van de grafiek van f met de x-as zijn.”
  • Vraag 12 (3p): “Bewijs dit.” (formule 2 van het bewegingsmodel)
  • Vraag 14 (4p): “Bewijs dat alle banen van de lavabommen raken aan de gestippelde kromme.”
  • Vraag 15 (8p): “Bewijs dat P het midden is van lijnstuk QR.”
  • Vraag 17 (4p): “Bewijs dat de y-coördinaat van dat punt P gelijk is aan 1.”
  • Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Zeer dominant dit tijdvak: 9 van de 17 vragen zijn bewijsvragen (samen 42 van de 76 scorepunten) — meer dan de helft van het examen bestaat uit bewijzen.
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 1 (4p): “Bewijs dit.” (f’(x) = 48x² − 24x, gegeven f(x)=2(2x−1)³+3(2x−1)²)
  • Vraag 7 (4p): “Bewijs dat dit verband juist is.” (algebraïsch bewijs van formule 3 uit formules 1/2)
  • Vraag 12 (5p): “Bewijs dit.” (x-coördinaat van snijpunt A met de x-as is onafhankelijk van t)
  • Frasering: “Bewijs dit.” / “Bewijs dat…”. Komt 3× voor dit tijdvak (samen 13 scorepunten), telkens volledige bewijsvraag.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): “Bewijs dit.” (F is primitieve van f)
  • Vraag 4 (3p): “Bewijs dit.” (AS = (6/5, 3/5))
  • Vraag 5 (3p): “Onderzoek of de vectoren BS en HD loodrecht op elkaar staan.”
  • Vraag 6 (6p): “Onderzoek of de modeltube 80 cm³ shampoo kan bevatten.”
  • Vraag 8 (4p): “Bewijs dit.” (a = 1¾)
  • Vraag 14 (4p): “Bewijs dit.” (cos(a) = ¼p in het hoogste punt)
  • Vraag 15 (4p): “Bewijs dit.” (hoogste punten liggen op grafiek van g)
  • Vraag 16 (6p): “Bewijs dit.” (a + r = ½)
  • Frasering: “Bewijs dit.”, “Onderzoek of…”. Zeer dominant dit tijdvak: 8 van de 17 vragen zijn bewijs-/onderzoeksvragen (samen 33 scorepunten) — de breedste, meest terugkerende examenvaardigheid.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 4 (4p): “Bewijs dat voor x = ⅓π de grafieken van k en f elkaar inderdaad raken.”
  • Vraag 8 (6p): “Bewijs dat voor elke waarde van p de hoek tussen de vectoren … gelijk is aan …”
  • Vraag 11 (3p): “Bewijs dat de grafiek van f1 boven deze scheve asymptoot ligt.”
  • Vraag 12 (5p): “Bewijs dat er een lijn is waarop al deze toppen liggen.”
  • Frasering: “Bewijs dat…”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 18 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid, iets minder frequent dan in 2025-tv1 (6×) maar nog steeds substantieel.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1-3 (3p elk): “Bewijs dit.” (drie keer, bij helling, raaklijnvergelijking, en lengte AB constant).
  • Vraag 6 (4p): “Bewijs dat M het midden is van lijnstuk AB.”
  • Vraag 8 (4p): “Bewijs dat deze formule voor T correct is.”
  • Vraag 9 (4p): “Bewijs met behulp van differentiëren dat…”
  • Vraag 11 (6p): “Bewijs dit.”
  • Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Zeer dominant: 7 van de 16 vragen zijn bewijsvragen (samen 27 scorepunten) — grootste vraagcategorie dit tijdvak.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): “Bewijs dat inderdaad geldt: f’(x) = 6cos³(x) − 5cos(x).”
  • Vraag 4 (3p): “Bewijs dat ½(sin(3x)+sin(x)) = sin(x)cos(2x).”
  • Vraag 7 (5p): “Bewijs dit.” (formule voor dC/dT)
  • Vraag 8 (5p): “Bewijs met behulp van formule 2 dat de grafiek van C inderdaad stijgend is…”
  • Vraag 12 (3p): “Bewijs dit.” (richtingscoëfficiënt van l is steeds 2)
  • Vraag 14 (3p): “Bewijs dat inderdaad geldt: f_inv(x) = 2 + ∛(x+1).”
  • Frasering: “Bewijs dat…”, “Bewijs dit.”, “Bewijs met behulp van…”. Zeer frequent dit tijdvak: 6 van de 16 vragen zijn bewijsvragen (samen 25 scorepunten) — breed terugkerende examenvaardigheid, elk met een eigen soort onderliggend argument (differentiëren, goniometrie, stijgend-bewijs, meetkunde).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): “Toon dit aan met behulp van de afgeleide van f.”
  • Vraag 3 (5p): “Bewijs dit.” (lijn k raakt f_p voor elke p≥1)
  • Vraag 4 (3p): “Bewijs dat inderdaad voor p≥1 geldt: het randpunt van de grafiek van f_p ligt op de grafiek van f_{p−1}.”
  • Vraag 15 (7p): “Bewijs dit.” (V = h·A)
  • Frasering: “Bewijs dit.”, “Toon dit aan…”. Komt 4× voor dit tijdvak (samen 20 scorepunten) — brede, terugkerende examenvaardigheid, net als in andere tijdvakken.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): “Bewijs dat deze formule voor A(p) juist is.” (A(p) = 4cos(p))
  • Vraag 10 (7p): “Bewijs dat B het midden is van lijnstuk AC.” Zwaarste bewijsvraag dit tijdvak (7 punten).
  • Vraag 14 (3p): “Bewijs dat deze formule voor CD/CE juist is.”
  • Frasering: “Bewijs dat … juist is.” Komt 3× voor (samen 14 scorepunten), telkens een gegeven formule/bewering algebraïsch verifiëren (niet een meetkundig bewijs met stellingen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 2 (4p): “Bewijs dit.” ((x+y)²=4y)
  • Vraag 12 (3p): “Bewijs dat inderdaad geldt f_inv(x)=e
  • Vraag 17 (4p): “Bewijs dit.” (vectorformule voor OF, met gebruik van de figuur op de uitwerkbijlage)
  • Frasering: “Bewijs dit.”, “Bewijs dat…”. Komt 3× voor dit tijdvak (11 scorepunten samen) — herkenbare, terugkerende examenvaardigheid, breder dan alleen de differentiaal- en meetkunde-bewijzen (zie ook Bewijzen met differentiëren).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): “Bewijs dat voor x ≠ 0 geldt: f(x) = h(x).” Algebraïsche herleiding (gelijknamig maken/rationaliseren).
  • Vraag 2 (5p): “Bewijs dat de grafieken van f en g in hun perforatie P loodrecht op elkaar staan.”
  • Vraag 6 (4p): “Bewijs dat voor elke toegestane waarde van x geldt: (f_a(x)+f_(1/a)(x))/2 = f_1(x).”
  • Vraag 7 (7p): “Bewijs dat voor elke positieve waarde van a de verhouding xS/xT constant is.”
  • Vraag 11 (8p): “Bewijs dat de oppervlakte van driehoek OAP anderhalf keer zo groot is als de oppervlakte van V.”
  • Vraag 12 (3p): “Bewijs dat die lijn inderdaad verticaal is.”
  • Vraag 14 (5p): “Bewijs dat voor t = ¾π geldt: [relatie tussen OPt en snelheidsvector v].”
  • Vraag 15 (5p): “Bewijs dat F inderdaad het midden is van CS.”
  • Vraag 16 (3p): “Bewijs dit.”
  • Frasering: vrijwel altijd “Bewijs dat…” of kort “Bewijs dit.”; zeer dominant dit tijdvak — 9× voorkomend, samen 43 scorepunten (meer dan de helft van het examen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bewijzen met differentiëren
• Bewijzen in de vlakke meetkunde