Grondformule van de goniometrie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 6 van de 8 onderzochte examenjaren, zelden in de vraagstelling maar vaak als kernstap in het correctievoorschrift van een bewijs of herleiding.

Wat moet je kunnen?

• ${\sin }^{2}x$ vervangen door $1-{\cos }^{2}x$ (of andersom) om een vergelijking tot één functietype te herleiden.
• $\sin x$ berekenen als $\cos x$ bekend is (en andersom), met beide tekens.
• De grondformule herkennen in een bewijs (bijvoorbeeld ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t$ in een lengte).

De kern

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$

Herschrijving	Gebruik
${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$	vergelijking alleen in $\cos x$ krijgen
${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$	vergelijking alleen in $\sin x$ krijgen
$\sin x=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}x}$	$\sin x$ uit $\cos x$

• Daarna vaak een substitutie: $p=\cos x$ geeft een kwadratische vergelijking (zie Goniometrische vergelijkingen).
• Bij een lengte $\sqrt{(r\cos t{)}^2+(r\sin t{)}^2}$ geeft de grondformule $r$.
• Zie ook Som- en verschilformules.

Zo wordt het gevraagd

• $\cos x=-0,6$ geeft via de grondformule $\sin x=0,8$ of $\sin x=-0,8$ (2026-1 vraag 15).
• $f^{\prime }(x)=0$ herleiden tot een vergelijking in alleen $\cos x$ (2026-1 vraag 14).
• $4\cos t+2{\cos }^{2}t+2{\sin }^{2}t=0$ herleiden tot $\cos t=-\frac{1}{2}$ (2022-2 vraag 11).
• De noemer $p-{\sin }^{2}x$ herschrijven met ${\cos }^{2}x$ (2019-1 vraag 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Herleiden tot cos x

Los op: $2{\sin }^{2}x+\cos x-1=0$ op $[0,2\pi ]$.

1. ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $2-2{\cos }^{2}x+\cos x-1=0\Rightarrow 2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$
2. Stel $p=\cos x$: $2p^2-p-1=0\Rightarrow (2p+1)(p-1)=0$
3. $\cos x=1$ of $\cos x=-\frac{1}{2}$
4. $x=0$, $x=\frac{2}{3}\pi$, $x=\frac{4}{3}\pi$, $x=2\pi$

sin uit cos (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 15)

$\cos x=-0,6$. ${\sin }^{2}x=1-0,36=0,64$, dus $\sin x=0,8$ of $\sin x=-0,8$. Welke van de twee het is, volgt uit het kwadrant waarin $x$ ligt.

Valkuilen

• Bij $\sin x=\pm \sqrt{\dots }$ het minteken vergeten.
• ${\sin }^{2}x$ lezen als $\sin (x^2)$.
• $\sin x+\cos x=1$ denken (zonder kwadraten klopt het niet).

Test jezelf

Vereenvoudig $\frac{1-{\cos }^{2}x}{\sin x}$.

$\frac{{\sin }^{2}x}{\sin x}=\sin x$ (voor $\sin x\ne 0$).

$\cos x=-0,6$ en $x$ ligt in het tweede kwadrant. Bereken $\tan x$.

$\sin x=0,8$ (positief in het tweede kwadrant), dus $\tan x=\frac{0,8}{-0,6}=-\frac{4}{3}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 14 en 15: herleiden tot $\cos x$ en sin uit cos (6p + 5p)
• 2022 tijdvak 2, vraag 11: herleiden tot $\cos t=-\frac{1}{2}$ (5p)
• 2019 tijdvak 1, vraag 10: noemer herschrijven (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 6 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2025, 2026 — 75%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin²(x)+cos²(x)=1 gebruikt om f’(x)=0 te herleiden tot een vergelijking in alleen cos(x); ook bij het kwadrateren van 2cos(x)+2=−sin(x) wordt sin²(x)=1−cos²(x) gebruikt.
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos(x)=−0,6 geeft via sin²(x)+cos²(x)=1 dat sin(x)=0,8 of sin(x)=−0,8.
  • Komt 2× terug, kernstap van het bewijs/de berekening (meerdere scorepunten hangen hiervan af).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van sin²(t)+cos²(t)=1 (of 1−cos²(t) substitutie) om x² te herleiden naar een uitdrukking in y=cos(t).
  • Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (meerdere van de 4 scorepunten hangen hiervan af).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 11 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — 4cos(t)+2cos²(t)+2sin²(t)=0 herleid met behulp van sin²(t)+cos²(t)=1 tot cos(t)=−½ (of via sin²(t)+cos²(t)=1 in het alternatief met richtingscoëfficiënten).
  • Komt 1× voor, kernstap van de herleiding (meerdere van de 5 scorepunten hangen hiervan af).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 2 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — cos²(t)=1−sin²(t) (of omgekeerd) gebruikt om aan te tonen dat het punt op de raaklijn ligt.
  • Komt 1× voor, kernstap van het bewijs (het merendeel van de 3 scorepunten hangt hiervan af).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — herleiding gebruikt 4sin²(x)cos(x) = 4cos(x)(1−cos²(x)), dus sin²(x)=1−cos²(x) als tussenstap in het bewijs van f’(x).
  • Komt 1× voor, tussenstap in een groter bewijs (1 van de 6 scorepunten).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 10 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin²(x)+cos²(x)=1 gebruikt om de noemer p−sin²(x) te herschrijven in cos²(x).
  • Vraag 11 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — zelfde herleiding, sin²(x)=1 ⇒ cos²(x)=0 e.d.
  • Komt 2× voor, telkens kernstap van de herleiding (meerdere scorepunten hangen hiervan af).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 16 (5p): impliciet zichtbaar in correctievoorschrift — AC²=(1−cos(t))²+(sin(t))² wordt (via sin²(t)+cos²(t)=1) herschreven tot de gelijkwaardige, eenvoudigere vorm 2−2cos(t).
  • Komt 1× voor, ondersteunende (niet expliciet uitgeschreven) rekenstap bij de herleiding van de vergelijking.

---

Ondersteunende onderwerpen

• (geen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Goniometrische vergelijkingen