Parametervoorstelling

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als basis van een hele opgave met “bewegingsvergelijkingen” (2–3 vragen, 10–15p samen).

Wat moet je kunnen?

• Een parametervoorstelling van een lijn of cirkel opstellen en herkennen.
• De parameter elimineren om een vergelijking in $x$ en $y$ te krijgen, en bewijzen dat punten op een kromme aan een vergelijking voldoen.
• Snijpunten met assen, lijnen of zichzelf berekenen door op $t$ op te lossen.

De kern

Figuur	Parametervoorstelling
lijn door $(a,b)$ met richting $(p,q)$	$x=a+tp$, $y=b+tq$
cirkel met middelpunt $(p,q)$, straal $r$	$x=p+r\cos t$, $y=q+r\sin t$
kromme	$x=x(t)$, $y=y(t)$

• Elimineren: los $t$ op uit één vergelijking en vul in, of gebruik ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ (zie Grondformule van de goniometrie).
• Snijpunt met de $x$-as: $y(t)=0$ oplossen, dan $x(t)$ invullen.
• Zelfsnijpunt: twee verschillende $t$-waarden met hetzelfde punt.
• Met $t$ als tijd: snelheid en raaklijn, zie Kinematica met vectoren.

Zo wordt het gevraagd

• Bewegingsvergelijkingen $x(t)=t^2(2-t)$, $y(t)=2t(2-t)$ (2026-1 vraag 10–12).
• “Bewijs dat voor punten van K geldt: $x^2=-y^4+2y^3+2y-1$” (2025-1 vraag 4).
• Zelfsnijpunt van $x(t)=\sin t-\cos 3t$, $y(t)=\cos t+\sin 3t$ (2026-2 vraag 8–9).
• Twee bewegende punten over lijnen (2025-2 vraag 1 en 3).

Uitgewerkt voorbeeld

Cirkel herkennen

$x=2+3\cos t$, $y=-1+3\sin t$. Geef een vergelijking van de kromme.

1. $\cos t=\frac{x-2}{3}$, $\sin t=\frac{y+1}{3}$
2. ${\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$ geeft $(x-2{)}^2+(y+1{)}^2=9$
3. Een cirkel met middelpunt $(2,-1)$ en straal 3.

Lijn en snijpunt met de $x$-as

$x=1+2t$, $y=3-t$.

1. Uit $y$: $t=3-y$; invullen: $x=1+2(3-y)\Rightarrow y=-\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}$
2. Snijpunt $x$-as: $y=0\Rightarrow t=3\Rightarrow x=7$, dus $(7,0)$.

Controle: $-\frac{1}{2}\cdot 7+3\frac{1}{2}=0$. ✓

Valkuilen

• Bij een cirkel $r$ en $r^2$ verwisselen.
• Bij het elimineren vergeten dat $t$ binnen een interval ligt (een deel van de kromme).
• Bij een zelfsnijpunt dezelfde $t$ twee keer gebruiken.

Test jezelf

Geef een parametervoorstelling van de cirkel met middelpunt $O$ en straal 5.

$x=5\cos t$, $y=5\sin t$.

Een lijn gaat door $(0,1)$ met richting $(1,2)$. Geef een parametervoorstelling.

$x=t$, $y=1+2t$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 10–12: bewegingsvergelijkingen met een constante $a$ (3p + 4p + 6p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 3–5: kromme K, bewijs van de vergelijking, omwentelingslichaam (6p + 4p + 4p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 8–9: zelfsnijpunt van een baan (4p + 5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 10 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t)=t²(2−t), y(t)=2t(2−t), 0≤t≤2.
  • Vraag 11 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, punt Q doorloopt dezelfde baan als P, 1 seconde vertraagd.
  • Vraag 12 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, nieuwe bewegingsvergelijkingen x(t)=t²(2−t), y(t)=at(2−t) met constante a.
  • Frasering: “Het punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen …”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Lus” (13 scorepunten samen).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, punt P beweegt volgens x(t)=sin(t)−cos(3t), y(t)=cos(t)+sin(3t).
  • Vraag 9 (5p): in vraagstelling — zelfde bewegingsvergelijkingen, gebruikt voor het zelfsnijpunt.
  • Frasering: “Punt P beweegt volgens de bewegingsvergelijkingen.” Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Draaierig” (9 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — kromme K gegeven door bewegingsvergelijkingen x(t)=sin(t)(cos(t)+1), y(t)=cos(t), 0≤t≤2π. Kernonderdeel.
  • Vraag 4 (4p): in vraagstelling en correctievoorschrift — bewijs x² = −y⁴+2y³+2y−1 voor punten van K, met behulp van de parametervoorstelling.
  • Vraag 5 (4p): in vraagstelling — omwentelingslichaam van het door K ingesloten vlakdeel.
  • Frasering: “De kromme K wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Druppel” (14 scorepunten totaal).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel. Beweging van punt P gegeven door bewegingsvergelijkingen xP(t)=8t², yP(t)=4−4t² (t≥0); punt Q door xQ(t)=1+3t, yQ(t)=4t. Frasering: “beweegt het punt P volgens de bewegingsvergelijkingen”. Exacte y-coördinaat van P bepalen onder een voorwaarde.
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, coördinaten van P bepalen bij een gegeven helling van lijnstuk PQ, met dezelfde bewegingsvergelijkingen.
  • Komt 2× voor (v1, v3), basis van de hele opgave “Beweging over twee lijnen” (7 scorepunten).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 9 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen xP(t) = 4cos(t)−cos(4t), yP(t) = 4sin(t)−sin(4t).
  • Vraag 10 (6p): in vraagstelling en correctievoorschrift — kernonderdeel, raaklijn via dx/dt en dy/dt.
  • Frasering: “Het punt P beweegt over een baan gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen.” Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Klavertje drie” (11 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 6 (3p): in vraagstelling — kromme gegeven door x(t)=sin(t), y(t)=cos(t+¼π), 0≤t≤2π. Kernonderdeel.
  • Vraag 7 (4p) / vraag 8 (3p): in vraagstelling en correctievoorschrift — zelfde parametervoorstelling gebruikt voor de afgeleiden en de oplossing van de vergelijking.
  • Frasering: “De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen.” Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Loodrecht op de snelheidsvector” (10 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 7 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, xP(t)=2t, yP(t)=2t² als parametervoorstelling van de baan van P.
  • Vraag 8, 9, 10: zelfde parametervoorstelling (van P en de afgeleide baan van Q) gebruikt als basis voor snelheid, lengte PQ en hellinggedrag.
  • Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Gedraaide parabool” (13 scorepunten samen) — hier toegepast op een bewegend punt in plaats van een lijn of cirkel.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t) = v·cos(α)·t, y(t) = v·sin(α)·t−4,9t²+2,55 als baan van de basketbal.
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling — zelfde soort parametervoorstelling, nu met concrete waarden voor α en v.
  • Frasering: “Voor de baan van de bal geldt: …” Komt 2× voor, dominant thema van de opgave “Basketbal” (10 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 5 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten P, Q, R bewegen via vectorvoorstellingen OP = OA + t·AC, OQ = OC + t·CB, OR = OP + t·PQ voor 0 ≤ t ≤ 1.
  • Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bewijs dit” voor OR = (1−t)²·OA + t²·OB + 2t(1−t)·OC.
  • Vraag 7 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t) = −4t² + 6t, y(t) = 6t² − 8t + 4 herleid tot dezelfde Bézierkromme.
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, parameter t elimineren uit x(t), y(t) van de lavabom om formule (2) te bewijzen.
  • Frasering: “bewegingsvergelijkingen”, “Bézierkromme”. Komt 4× terug, dominant thema van “Letter op het computerbeeldscherm” en (deels) “Vulkaan” (14 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, de cirkelbanen cP en cQ zijn gegeven als parametervoorstelling in t.
  • Vraag 13 (6p): in vraagstelling/correctievoorschrift — coördinaten van M als functie van t: M(1+3/2cos(t), 3/2sin(t)).
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Cirkels en lijnen”.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t)=t², y(t)=t als bewegingsvergelijkingen van de parabool.
  • Vraag 17 (6p): in vraagstelling — zelfde parametrisering gebruikt om A en B te bepalen.
  • Frasering: “Gegeven zijn de bewegingsvergelijkingen”. Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Loodrecht door de parabool” (12 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 10 (4p): in vraagstelling — x(t) = t², y(t) = t² − 2t als parametervoorstelling van de baan van P, met de lijn x = a die deze baan snijdt in R en S.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de opgave.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 1-3 (3p elk, 9p totaal): in vraagstelling — kernonderdeel van opgave “Kromme K”, gegeven door bewegingsvergelijkingen x(t)=cos³(t), y(t)=sin³(t), 0≤t≤½π.
  • Frasering: “De kromme K is gegeven door de bewegingsvergelijkingen”. Dominant thema van de hele eerste opgave (9 scorepunten).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, x(t)=t²−2t, y(t)=4t voor P1 en x(t)=4t, y(t)=2t² voor P2, tijdstip met gelijke snelheid berekenen.
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — richtingscoëfficiënt van de lijn door P1 en P2 (afhankelijk van t) bewijzen constant te zijn.
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — snijpunt van lijn l (door P1, P2) met de x-as bepalen.
  • Frasering: “beweegt het punt P… volgens de bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Twee bewegende punten” (12 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 13 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “De baan van een punt P is gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen: x=18+5t, y=30−3t.” Lijn m als parametervoorstelling.
  • Vraag 14 (8p): idem, zelfde parametervoorstelling gebruikt om coördinaten van P (en driehoek ABP) te onderzoeken.
  • Komt 2× terug, basis van de hele opgave “Driehoek met bewegend hoekpunt” (13 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t) = cos(2t) − sin(2t), y(t) = sin(2t) − sin(t), 0 ≤ t ≤ 2π. “Op een van die tijdstippen bevindt P zich links van de y-as. … Bereken exact de x-coördinaat van P op dit tijdstip.”
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — zelfde kromme, snelheidsvectoren op t=0 en t=π vergeleken.
  • Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Bewegend punt” (10 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. Bewegingsvergelijkingen x(t)=1−t², y(t)=(1+t)² gegeven, baan van P getekend in de figuur. Frasering: “De beweging van een punt P wordt gegeven door de volgende bewegingsvergelijkingen”.
  • Vraag 2 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel. Bewijs (x+y)²=4y voor elke waarde van t, direct met de parametervoorstelling uit vraag 1 (x+y=2(1+t), dus (x+y)²=4(1+t)²=4y).
  • Komt 2× voor dit tijdvak, beide keren kernonderdeel van opgave “Bewegend punt” (8 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, bewegingsvergelijkingen x(t)=cos(t)sin(2t), y(t)=cos(t), 0≤t≤2π.
  • Vraag 13 (5p): idem, zelfde kromme, punt Pt op de baan.
  • Vraag 14 (5p): idem, snelheidsvector afgeleid uit dezelfde parametervoorstelling.
  • Frasering: “Een punt beweegt (…) volgens de bewegingsvergelijkingen”. Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Een baan” (13 scorepunten samen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een lijn
• Vergelijking van een cirkel
• Vector

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Kinematica met vectoren
• Vectorvoorstelling van een lijn