Som- en verschilformules

Prioriteit: 🟠 Midden

In 5 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal als herschrijfstap in het correctievoorschrift. De formules staan op de formulekaart, dus de punten zitten in het herkennen.

Wat moet je kunnen?

• Een uitdrukking met $2x$ en $x$ herschrijven tot één hoek met de verdubbelingsformules.
• De juiste vorm van $\cos 2t$ kiezen (alleen $\cos$, alleen $\sin$, of beide).
• Een goniometrische identiteit bewijzen met de som- en verschilformules.

De kern

Formule (op de formulekaart)
$\sin (t\pm u)$	$\sin t\cos u\pm \cos t\sin u$
$\cos (t\pm u)$	$\cos t\cos u\mp \sin t\sin u$
$\sin 2t$	$2\sin t\cos t$
$\cos 2t$	${\cos }^{2}t-{\sin }^{2}t=2{\cos }^{2}t-1=1-2{\sin }^{2}t$

• Kies bij $\cos 2t$ de vorm die past bij de rest van de vergelijking: staat er verder alleen $\cos t$, neem $2{\cos }^{2}t-1$.
• Combineer met de Grondformule van de goniometrie.
• Zie Goniometrische vergelijkingen voor het oplossen daarna.

Zo wordt het gevraagd

• $\cos (2a)=2{\cos }^{2}a-1$ gebruiken om te bewijzen dat de toppen op een grafiek liggen (2022-3 vraag 15, 4p).
• $a\cos x\sin x$ herschrijven tot $\frac{1}{2}a\sin 2x$ (2022-2 vraag 5).
• $2\sin x-\sin 2x=\sin 2x$ herleiden met $\sin 2x=2\sin x\cos x$ (2021-1 vraag 2).
• Een identiteit bewijzen met $\sin (t+u)$ en $\sin (t-u)$ (2021-3 vraag 4).

Uitgewerkt voorbeeld

Verdubbelingsformule in een vergelijking (examenstijl, vergelijk 2021-1 vraag 2)

Los op: $\sin 2x=\sin x$ op $[0,2\pi ]$.

1. $2\sin x\cos x=\sin x\Rightarrow \sin x(2\cos x-1)=0$
2. $\sin x=0$: $x=0$, $x=\pi$, $x=2\pi$
3. $\cos x=\frac{1}{2}$: $x=\frac{1}{3}\pi$, $x=\frac{5}{3}\pi$

Niet door $\sin x$ delen: dan verlies je drie oplossingen.

Controleren

De vindplaats bij 2021 tijdvak 3 vraag 4 noemt de identiteit $\frac{1}{2}(\sin 3x+\sin x)=\sin x\cos 2x$. Met de somformules ($t=2x$, $u=x$) volgt echter $\frac{1}{2}(\sin 3x+\sin x)=\sin 2x\cos x$. Controleer de precieze formulering in het examen.

Valkuilen

• Het teken bij $\cos (t+u)$ verkeerd nemen (daar staat een min).
• $\sin 2x=2\sin x$ schrijven.
• Een vorm van $\cos 2t$ kiezen die sin én cos door elkaar laat staan.

Test jezelf

Schrijf $\cos 2x+\cos x$ als uitdrukking in alleen $\cos x$.

$2{\cos }^{2}x+\cos x-1$.

Bereken $\sin \left(\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{6}\pi \right)$ exact.

$\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\frac{1}{4}\sqrt{2}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2022 tijdvak 3, vraag 15: toppen bewijzen met $\cos 2a$ (4p)
• 2022 tijdvak 2, vraag 5: herschrijven tot $\sin 2x$ (5p)
• 2021 tijdvak 3, vraag 4: identiteit bewijzen (3p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2021, 2022, 2024, 2025 — 62,5%.

• 2025 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): impliciet zichtbaar via formulekaart (cos(2t) op basis van som-/verdubbelingsformules) en gebruikt in de herleiding van x’(t) naar cos(2t)=cos(t).
  • Komt 1× terug, ondersteunend (de formule zelf staat op de bijgeleverde formulekaart, dus geen scorepunten voor de formule an sich, wel voor het correct toepassen).
• 2024 tijdvak I
  • Op de bijgeleverde formulekaart (afgedrukt bovenaan het examen) staan de som-, verschil- en verdubbelingsformules voor sin/cos; deze onderliggen impliciet de herleidingen bij vraag 9 en 17, maar worden in het beoordelingsmodel niet als zelfstandige toepassing gescoord.
  • Zwak/indirect, geen losse scorepunten specifiek voor de formule zelf dit tijdvak.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): impliciet zichtbaar — de herleiding van “sin(t)cos(t)+cos(t+¼π)(−sin(t+¼π))=0” naar “sin(2t)=sin(2t+½π)” gebruikt de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) (van de formulekaart, die ook in dit tijdvak is bijgevoegd).
  • Komt 1× terug, ondersteunend (geen losse scorepunten, wel noodzakelijk voor de herleiding).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — gebruik van de verdubbelingsformule sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (van de bijgeleverde formulekaart) om a·cos(x)·sin(x)… te herschrijven tot a·sin(2x)=1.
  • Komt 1× voor, essentiële herschrijfstap (niet apart bescoord, wel noodzakelijk voor het vervolg).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 15 (4p): kernonderdeel — cos(2a)=2cos²(a)−1 (verdubbelingsformule, van de bijgeleverde formulekaart) gebruikt om te bewijzen dat de hoogste punten op de grafiek van g(x)=cos(2x) liggen.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p), formule zelf staat op de formulekaart.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 2 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — 2sin(x) − sin(2x) = sin(2x) herleid met sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (verdubbelingsformule, staat op de formulekaart bovenaan het examen).
  • Komt 1× terug, ondersteunend (formule zelf op formulekaart, scorepunten voor correcte toepassing).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 2 (6p): impliciet — cos(2x) wordt herleid via de verdubbelingsformule (op de formulekaart) naar 2cos²(x)−1, nodig voor het bewijs van f’(x).
  • Vraag 4 (3p): kernonderdeel — “Bewijs dat ½(sin(3x)+sin(x)) = sin(x)cos(2x)”, expliciet via de vorm sin(t+u), sin(t−u) van de formulekaart (t=2x, u=x).
  • Frasering: “Dit kan bijvoorbeeld worden bewezen door de vorm sin(t+u) ± sin(t−u) voor een geschikte keuze van t en u te herleiden.” Komt 2× voor (9 scorepunten samen), beide keren als kernbewijstechniek met de formulekaart.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 8 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — 2sin(2x) herschreven als 4sin(x)cos(x) via de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) van de formulekaart.
  • Komt 1× voor, ondersteunende rekenstap binnen een grotere vraag (geen losse scorepunten voor de formule zelf, wel nodig voor de verdere ontbinding).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 12 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — sin(2(π−a)) = sin(2π−2a) = −sin(2a), gebruikmakend van de verdubbelingsformule sin(2t)=2sin(t)cos(t) van de formulekaart (vooraan het examen afgedrukt).
  • Komt 1× terug, ondersteunend (de formule zelf staat op de bijgeleverde formulekaart).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Sinusmodel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Goniometrische vergelijkingen
• Grondformule van de goniometrie