Oppervlakte met integralen

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 vragen per tijdvak: “Bereken exact de oppervlakte van V” (3–6p), vaak met meerdere grafieken of een lijn.

Wat moet je kunnen?

• De grenzen (snijpunten) en welke grafiek boven ligt bepalen.
• Een oppervlakte opstellen als integraal van boven − onder, of als som en verschil van integralen en driehoeken.
• Rekening houden met stukken onder de $x$-as.

De kern

$O={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx(f\text{ boven }g\text{ op }[a,b])$

Situatie	Aanpak
grafiek boven $x$-as	${\int }_a^{b}f(x)dx$
grafiek onder $x$-as	$-{\int }_a^{b}f(x)dx$
wisselt van teken	splits bij het nulpunt
tussen twee grafieken	$\int (\text{boven}-\text{onder})dx$ tussen de snijpunten
begrensd door een lijn	soms handiger: integraal plus of min een driehoek

• Rekenen: zie Bepaalde integraal en Primitieve functie.
• Schets altijd eerst het vlakdeel.

Zo wordt het gevraagd

• “V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van $f_0$, de $x$-as en de lijn $x=5$. Bereken exact de oppervlakte van V.” (2026-1 vraag 7).
• Vergelijken van twee oppervlakten, een driehoek en een integraal (2026-2 vraag 1, 6p).
• Vlakdeel begrensd door $f$, $g$, assen en een lijn, meerdere integralen combineren (2025-1 vraag 10, 6p).
• “De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. Bereken exact de oppervlakte.” (2023-2 vraag 8).

Uitgewerkt voorbeeld

Tussen twee grafieken

Bereken exact de oppervlakte ingesloten door $y=x$ en $y=x^2$.

1. Snijpunten: $x=x^2\Rightarrow x=0$ of $x=1$.
2. Op $[0,1]$ ligt $y=x$ boven $y=x^2$.
3. $O={\int }_0^1(x-x^2)dx={\left[\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=$ $\frac{1}{6}$

Stuk onder de $x$-as

Bereken de oppervlakte tussen $f(x)=x^2-4$, de $x$-as en de lijnen $x=0$ en $x=3$.

1. Nulpunt op $[0,3]$: $x=2$. Op $[0,2]$ ligt de grafiek onder de $x$-as.
2. ${\int }_0^2(4-x^2)dx=\frac{16}{3}$ en ${\int }_2^3(x^2-4)dx=\frac{7}{3}$
3. $O=\frac{16}{3}+\frac{7}{3}=$ $\frac{23}{3}$

Controle: ${\int }_0^3(x^2-4)dx=-3$ is niet de oppervlakte. ✓

Valkuilen

• De integraal over een stuk onder de $x$-as gewoon meetellen.
• Boven en onder verwisselen (negatieve uitkomst).
• De snijpunten met de GR bepalen bij “exact”.

Test jezelf

${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0$. Is de oppervlakte tussen $y=x^3$ en de $x$-as op $[-1,1]$ dan 0?

Nee: $2\cdot {\int }_0^1{x}^{3}dx=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$.

Welke formule gebruik je voor de oppervlakte tussen $f$ (boven) en $g$ op $[a,b]$?

${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 7: oppervlakte exact (3p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 1: twee oppervlakten vergelijken (6p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 10: vlakdeel uit meerdere integralen (6p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 8: vlakdeel tussen twee e-machtfuncties (4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 7 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de grafiek van f0, de x-as en de lijn met vergelijking x=5. Bereken exact de oppervlakte van V.”
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 1 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, vergelijken van oppervlakte V (driehoek) en oppervlakte W (met integraal) van gebieden ingesloten door k, l en de grafiek van f.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 10 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken de oppervlakte van V”, vlakdeel begrensd door f, g, assen en lijn k, meerdere integralen combineren. Eindantwoord in twee decimalen.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “Het vlakdeel V wordt ingesloten door de grafiek van f, lijn k en de y-as… Bereken exact de oppervlakte van V.” Kernonderdeel, volledige vraag (5p).
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — vlakdeel V ingesloten door grafiek van f, lijn k en x=a, x=2a.
  • Vraag 12 (5p): in vraagstelling — “Bereken exact de oppervlakte van een klein vlakdeel.”
  • Vraag 19 (4p): in vraagstelling — vlakdeel ingesloten door grafiek van f, x-as, y-as en lijn k.
  • Komt 3× voor, telkens kernonderdeel (14 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — “De grafieken van deze functies sluiten een vlakdeel in. Bereken exact de oppervlakte van dit vlakdeel.” Vlakdeel tussen twee e-machtfuncties, via bepaalde integraal van het verschil.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — “Bereken de oppervlakte van V.” Snijpunt van de grafieken eerst numeriek bepalen (x ≈ 0,567), dan integreren.
  • Vraag 10 (4p): kernonderdeel — “Bereken exact de oppervlakte van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f en de x-as.”
  • Frasering: “Bereken (exact) de oppervlakte van …”. Komt 2× voor (9 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 9 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Er is één waarde van q waarbij de oppervlaktes van deze twee delen even groot zijn. Bereken exact deze waarde van q.”
  • Vraag 10 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken de oppervlakte van dit gebied”, ingesloten door f, de inverse g en de lijn x=4.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Begrensde gebieden” (12 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — “V is het gebied begrensd door de grafiek van f, de x-as en de lijnen … W is het gebied begrensd door …”, oppervlaktes V en W gelijkstellen.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): kernonderdeel — oppervlakte van V berekend als ∫(−x²+2x+¾) dx over het interval tussen de snijpunten.
  • Vraag 3 (5p): in vraagstelling — “Bereken de oppervlakte van V met behulp van primitiveren.” Oppervlakte tussen f en h via ∫(f−h) dx.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (13 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 7 (5p): “Bereken exact de oppervlakte van V” — kernonderdeel, vlakdeel tussen lijn k en grafiek van f_p.
  • Vraag 12 (6p): “Bereken exact de verhouding tussen de oppervlakte van dit vlakdeel en de oppervlakte van driehoek PRS” — kernonderdeel.
  • Komt 2× voor, dominant thema van beide opgaven (11 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 5 (4p): kernonderdeel — “V is het gebied dat wordt ingesloten door de grafieken van f en g. Bereken exact de oppervlakte van V”, verschil van twee bepaalde integralen over grenzen −π/12 en 1½π… (grenzen uit de gegeven snijpunten).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “V is het vlakdeel dat wordt ingesloten door lijn l en de grafiek van f1. Bereken exact de oppervlakte van V.”
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, oppervlakte A(p) van het grijze gebied tussen f, de x-as en de lijnen x=p en x=π−p.
  • Vraag 9 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, oppervlakte van deelgebied W gelijkstellen aan de helft van A(p) om p te bepalen.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Oppervlakte onder een sinusgrafiek” (8 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Bereken exact de oppervlakte van het grijze vlakdeel” tussen lijn l en de grafiek van f₁.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 11 (8p): kernonderdeel — oppervlakte van V via integraal, vergeleken met driehoeksoppervlakte OAP.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (8p, zwaarste vraag van dit tijdvak).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Bepaalde integraal

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)