Omwentelingslichaam

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 6 van de 8 onderzochte examenjaren, bijna altijd als volledige vraag “bereken (exact) de inhoud” (3–6p), soms om de $y$-as of om een lijn $y=c$.

Wat moet je kunnen?

• De inhoud berekenen bij wentelen om de $x$-as, inclusief de juiste grenzen.
• Wentelen om de $y$-as: de functie omschrijven naar $x$ als functie van $y$.
• Wentelen om een horizontale lijn $y=c$ en om een gebied tussen twee grafieken.

De kern

Wentelen om	Inhoud
$x$-as	$V=\pi {\int }_a^b(f(x){)}^{2}dx$
$y$-as	$V=\pi {\int }_c^d(x(y){)}^{2}dy$ (grenzen zijn $y$-waarden)
lijn $y=c$	$V=\pi {\int }_a^b(f(x)-c{)}^{2}dx$
tussen $f$ en $g$ ($f\ge g\ge 0$), om de $x$-as	$V=\pi {\int }_a^b\left(\right(f(x){)}^2-(g(x){)}^2)dx$

• Tussen twee grafieken: verschil van de kwadraten, niet het kwadraat van het verschil.
• Om de $y$-as heb je vaak de Inverse functie nodig.
• Grenzen: snijpunten met de as of tussen de grafieken (zie Oppervlakte met integralen).

Zo wordt het gevraagd

• “Als V wordt gewenteld om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam. Bereken algebraïsch de inhoud.” (2026-2 vraag 13).
• “Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam … Bereken exact de inhoud.” (2025-1 vraag 5).
• Vlakdeel $W$ gewenteld om de lijn $y=3$ (2023-1 vraag 3).
• Een formule voor de inhoud $L_p$ bewijzen (2026-1 vraag 16, 6p).

Uitgewerkt voorbeeld

Om de x-as

$f(x)=\sqrt{x}$ op $[0,4]$, gewenteld om de $x$-as. $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi [\frac{1}{2}{x}^2{]}_0^4=$ $8\pi$

Om een lijn y = c (examenstijl, vergelijk 2023-1 vraag 3)

Het vlakdeel tussen $y=x^2$ en de lijn $y=3$ wordt gewenteld om de lijn $y=3$.

1. Grenzen: $x^2=3\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}$
2. Straal: $3-x^2$
3. $V=\pi {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(3-x^2{)}^{2}dx=\pi {\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}(9-6x^2+x^4)dx$
4. $=\pi [9x-2x^3+\frac{1}{5}{x}^5{]}_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}=$ $\frac{48\sqrt{3}}{5}\pi$ $\approx 52,2$

Valkuilen

• De factor $\pi$ of het kwadraat vergeten.
• Tussen twee grafieken $(f-g{)}^2$ integreren in plaats van $f^2-g^2$.
• Bij wentelen om de $y$-as de $x$-grenzen laten staan.

Test jezelf

Het vlakdeel onder $y=x^2$ op $[0,2]$ wordt tussen de grafiek, de $y$-as en $y=4$ gewenteld om de $y$-as. Bereken de inhoud.

$x=\sqrt{y}$: $V=\pi {\int }_0^{4}ydy=8\pi$.

Wat is de inhoud bij wentelen van $y=2$ op $[0,5]$ om de $x$-as, en welk lichaam is dat?

$\pi \cdot 4\cdot 5=20\pi$: een cilinder met straal 2 en hoogte 5.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2025 tijdvak 1, vraag 5: om de $y$-as, exact (4p)
• 2023 tijdvak 2, vraag 14: om de lijn $y=-3$, exact (5p)
• 2026 tijdvak 2, vraag 13: om de $x$-as, algebraïsch (4p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 16: formule voor de inhoud bewijzen (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 6 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2023, 2025, 2026 — 75%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Het grijze gebied wordt gewenteld om de x-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam… Bewijs dat bovenstaande formule voor Lp juist is.” Volledige vraag (6p).
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. Vlakdeel V gewenteld om de x-as, inhoud π∫f(x)²dx.
  • Frasering: “Als V wordt gewenteld om de x-as ontstaat een omwentelingslichaam. Bereken algebraïsch de inhoud.” Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 5 (4p): in vraagstelling — “Door dit vlakdeel te wentelen om de y-as ontstaat een omwentelingslichaam… Bereken exact de inhoud.” Kernonderdeel, volledige vraag (4p).
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 16 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “V wordt om de x-as gewenteld. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam dat ontstaat.”
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (3p).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — “Deze lijn en de grafiek van f sluiten een vlakdeel W in dat wordt gewenteld om de lijn met vergelijking y = 3. Bereken de inhoud van het omwentelingslichaam.” Kernonderdeel, volledige vraag.
  • Komt 1× voor dit tijdvak (wenteling om een horizontale lijn y=3, niet om de x-as of y-as zelf).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 14 (5p): in vraagstelling — “Gebied V wordt gewenteld om lijn l. Bereken exact de inhoud van het omwentelingslichaam dat zo ontstaat.” Wenteling om een horizontale lijn y=−3 (niet om de x-as), functie eerst verschoven met +3.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 15 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Vlakdeel V wordt gewenteld om de y-as. Zo ontstaat een omwentelingslichaam. Bereken de inhoud van dit omwentelingslichaam.” Gebruikt f_inv(x) als integrand omdat om de y-as gewenteld wordt.
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (3p).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 15 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, volledige vraag. “Het omwentelingslichaam is een zogenaamde afgeknotte paraboloïde … Voor de inhoud V geldt de formule V=h·A. Bewijs dit.” Combineert inhoudsberekening via integraal met een algebraïsch/meetkundig bewijs van de gegeven formule.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (7p), zwaarste vraag van het tijdvak samen met vraag 14.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 17 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “wanneer de cirkel wordt gewenteld om de y-as, ontstaat een bol”; gebieden V en W gewenteld om de y-as, inhouden gelijkstellen om r te bepalen (r = 8/3).
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, “Het deel van de ijsbol onder het wateroppervlak is op te vatten als een omwentelingslichaam dat ontstaat bij wenteling van een deel van de cirkel (…) om de y-as.”
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (5p).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Bepaalde integraal

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)