Bepaalde integraal

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, meestal 2 vragen per tijdvak als kern van een oppervlakte- of inhoudsvraag (samen 8–10p).

Wat moet je kunnen?

• Een bepaalde integraal exact berekenen met een primitieve.
• De integraal opstellen in een context (oppervlakte, inhoud, hoeveelheid uit een snelheid).
• Een integraal met de GR benaderen als dat mag, en de uitkomst interpreteren.

De kern

${\int }_a^{b}f(x)dx=[F(x){]}_a^b=F(b)-F(a)$

$f(x)$	primitieve $F(x)$
$x^n$ ($n\ne -1$)	$\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x|$
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}{e}^{ax}$
$\sin (ax)$	$-\frac{1}{a}\cos (ax)$
$\cos (ax)$	$\frac{1}{a}\sin (ax)$

• Bij $f(ax+b)$: deel de primitieve door $a$ (zie Primitieve functie).
• In context: een integraal van een snelheid geeft een hoeveelheid (bijv. energie uit vermogen).
• Een negatieve uitkomst is geen oppervlakte (zie Oppervlakte met integralen).

Zo wordt het gevraagd

• Kern van een oppervlaktevraag: “Bereken exact de oppervlakte van V.” (2026-1 vraag 7).
• Kern van een inhoudsvraag: $\pi {\int }_1^9\frac{9}{x}dx$ (2026-2 vraag 13), zie Omwentelingslichaam.
• In context: ${\int }_0^{3}50e^{-\frac{1}{2}t}dt$ (2024-1 vraag 3); energie als integraal van vermogen (2025-2 vraag 6).

Uitgewerkt voorbeeld

Exponentiële integrand (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 3)

${\int }_0^{3}50e^{-\frac{1}{2}t}dt$

1. Primitieve: $F(t)=50\cdot \frac{1}{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{1}{2}t}=-100e^{-\frac{1}{2}t}$
2. $F(3)-F(0)=-100e^{-1,5}-(-100)=100-100e^{-1,5}$
3. Exact: $100-100e^{-\frac{3}{2}}$; benaderd 77,69.

Controle: de integrand is positief, dus de uitkomst ook, en kleiner dan $3\times 50=150$. ✓

Met een breuk (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 7)

${\int }_1^5\left(1-\frac{1}{x+1}\right)dx$

1. Primitieve: $x-\ln (x+1)$
2. $(5-\ln 6)-(1-\ln 2)=4-\ln 6+\ln 2=4-\ln 3$
3. Exact: $4-\ln 3$ ($\approx 2,90$).

Valkuilen

• Bij $e^{ax}$ of $\sin (ax)$ vergeten te delen door $a$.
• Onder- en bovengrens verwisselen.
• Een integraal die deels negatief is als oppervlakte opvatten.
• Bij “exact” de GR laten integreren.

Test jezelf

${\int }_0^{\pi }\sin xdx$

$[-\cos x{]}_0^{\pi }=1-(-1)=$ 2

${\int }_0^2(3x^2+1)dx$

$[x^3+x{]}_0^2=8+2=$ 10

${\int }_0^2(x^2-4)dx=-\frac{16}{3}$. Is de oppervlakte tussen grafiek en $x$-as dan $-\frac{16}{3}$?

Nee: de oppervlakte is $\frac{16}{3}$; de grafiek ligt onder de $x$-as.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 1, vraag 3: ${\int }_0^{3}50e^{-\frac{1}{2}t}dt$ (3p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 7 en 16: oppervlakte exact, integraal voor een omwentelingslichaam (3p + 6p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 6: energie als integraal van vermogen, oplaadtijd bepalen (5p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 10: oppervlakte uit meerdere integralen (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 7 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte berekend als ∫₋… eigenlijk ∫ van 1 tot 5 van (1−1/(x+1))dx.
  • Vraag 16 (6p): kernonderdeel — L_p = π∫₀ᵖ(e⁻ˣ−e⁻²ˣ)² dx, opzetten en uitwerken van de bepaalde integraal voor het omwentelingslichaam.
  • Komt 2× voor, in vraag 16 het zwaarste onderdeel van de vraag (6p).
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 1 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte W berekend als ∫(−x³+1½x)dx over [0, ½√2].
  • Vraag 13 (4p): kernonderdeel — inhoud omwentelingslichaam als π∫₁⁹(9/x)dx.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (10 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 5 (4p): kernonderdeel — I = π∫x² dy = π∫(−y⁴+2y³+2y−1) dy over [−1,1].
  • Vraag 10 (6p): kernonderdeel — oppervlakte V opgebouwd uit meerdere bepaalde integralen van f, g en lijn k.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (10 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 6 (5p): kernonderdeel — E = ∫ PB dt tussen t₁=11 en t₂, opgelost met primitiveren om de oplaadtijd te bepalen.
  • Vraag 16 (3p): kernonderdeel — inhoud van het omwentelingslichaam berekend als verschil van bepaalde integralen van lijn k en de grafiek van f.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (8 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 3 (3p): kernonderdeel — ∫₀³ 50e^(−½t) dt.
  • Vraag 5 (4p): kernonderdeel — (1/100)∫₀²⁰ t·f(t) dt.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — ∫(−12x+88−(72−x³))dx moet berekend worden voor de oppervlakte van V.
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — ∫(2x+1/x−2x)dx = ∫(1/x)dx tussen a en 2a moet berekend worden.
  • Vraag 3 (4p): kernonderdeel — integraal voor de inhoud van het omwentelingslichaam om y=3.
  • Vraag 12 (5p): kernonderdeel — integraal van (sin(x)+⅔√3) over het interval van een klein vlakdeel.
  • Vraag 19 (4p): kernonderdeel — ∫₀ᵃ f(x)dx berekend via F(a)−F(0).
  • Komt 4× terug, telkens noodzakelijke rekenstap (18 scorepunten in totaal betrokken).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): kernonderdeel — oppervlakte = ∫₀^ln(3) (4−3e⁻ˣ−eˣ) dx (na herschrijven van g(x)−f(x)).
  • Vraag 14 (5p): kernonderdeel — inhoud omwentelingslichaam via π∫(x³−3x²)… vorm (na verschuiven van f met lijn l: y=−3).
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (9 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — oppervlakte V berekend als verschil/som van integralen van f_{-1} en g_{-1} (of ∫(g_{-1}(x) − x)dx).
  • Vraag 10 (4p): kernonderdeel — oppervlakte onder f berekend met een bepaalde integraal van 0 tot 1.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (9 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 9 (7p): kernonderdeel — integraal van f(x)=4/√(x+1) berekend om de oppervlakte onder de grafiek te bepalen.
  • Vraag 10 (5p): kernonderdeel — oppervlakte tussen f, g en de lijn x=4 opgebouwd uit bepaalde integralen.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (12 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 2 (5p): kernonderdeel — oppervlaktes V en W via F(9)−F(7) resp. F(p)−F(9) (hoofdstelling van de integraalrekening).
  • Vraag 6 (6p): kernonderdeel — I = ∫₀¹⁰ A(h) dh, inhoud van de modeltube.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): kernonderdeel — grenzen invullen in de primitieve levert de exacte oppervlakte 1⅙.
  • Komt 1× voor dit tijdvak.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 7 (5p): kernonderdeel — oppervlakte V via ∫₀⁴ (¼x⁴−x³+px − px) dx.
  • Vraag 12 (6p): kernonderdeel — oppervlakte via ∫₀⁴ (2√x−√(2x)) dx.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (11 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 5 (4p): kernonderdeel — oppervlakte als ∫(2+sin(x) − ½(sin(3x)+sin(x))) dx over het gegeven interval.
  • Vraag 15 (3p): kernonderdeel — inhoud omwentelingslichaam als π∫₀⁹ (f_inv(x))² dx = π∫₀⁹ (2+∛(x+1))² dx.
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel (7 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): kernonderdeel — oppervlakte van V via een bepaalde integraal van het verschil van twee functies.
  • Vraag 9 (7p): kernonderdeel — ∫ van p tot 2p van g(x) dx = 0, gekoppeld aan f als primitieve (f(2p)−f(p)).
  • Vraag 15 (7p): kernonderdeel — V = π∫ van a tot b van (√x)² dx.
  • Komt 3× voor, elke keer kernonderdeel (19 scorepunten samen). Let op: aanvulling op het correctievoorschrift (2019-1) verruimt bij v5 en v9 de scoring van bepaalde deelantwoorden (0, 1 of 2 punten toegestaan i.p.v. alles-of-niets).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): kernonderdeel — A(p) = ∫ van p tot π−p van 2sin(x) dx, bewijs dat dit gelijk is aan 4cos(p).
  • Vraag 9 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte-vergelijking met een bepaalde integraal als alternatieve oplosroute.
  • Vraag 17 (5p): kernonderdeel — inhoud van het omwentelingslichaam van de parabool via ∫ πy dy van 0 tot r.
  • Komt 3× voor (14 scorepunten samen), telkens kernonderdeel.
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte opgesteld als ∫₋₁⁰ (x/e − xe^x) dx (of een equivalente vorm met driehoeksoppervlakte).
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de rekenstap (meerdere van de 5 scorepunten).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 4 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — volume als π∫(2,25−y²)dy tussen −1,5 en een variabele grens a.
  • Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — oppervlakte V als ∫(px−x²)dx over [0,p].
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel van een groter bewijs/berekening (13 scorepunten samen betrokken).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Primitieve functie
• Algebraïsch en exact

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Oppervlakte met integralen
• Omwentelingslichaam