Primitieve functie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, 1–3 keer per tijdvak als stap in een integraalvraag, soms als bewijsvraag (“bewijs dat F een primitieve is”).

Wat moet je kunnen?

• Een primitieve bepalen van machts-, exponentiële, logaritmische en goniometrische functies, ook bij $f(ax+b)$.
• Bewijzen dat een gegeven $F$ een primitieve is van $f$ (door $F^{\prime }$ uit te rekenen).
• De primitieve gebruiken voor een Bepaalde integraal.

De kern

$f(x)$	$F(x)$
$x^n$ ($n\ne -1$)	$\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}$
$\frac{1}{x}$	$\ln |x|$
$e^x$	$e^x$
$g^x$	$\frac{g^x}{\ln g}$
$\sin x$	$-\cos x$
$\cos x$	$\sin x$

• Lineaire substitutie: primitieve van $f(ax+b)$ is $\frac{1}{a}F(ax+b)$. Voorbeelden: $e^{-2x}\to -\frac{1}{2}{e}^{-2x}$, $\cos (0,23t)\to \frac{1}{0,23}\sin (0,23t)$, $\frac{1}{2x+1}\to \frac{1}{2}\ln |2x+1|$.
• Schrijf wortels en breuken eerst als macht ($\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$).
• Elke primitieve kan $+C$ hebben; voor een bepaalde integraal maakt $C$ niet uit.

Zo wordt het gevraagd

• Nooit los als “primitiveer”, maar als stap: primitieve van $1-\frac{1}{x+1}$ is $x-\ln (x+1)$ (2026-1 vraag 7); van $\frac{9}{x}$ is $9\ln x$ (2026-2 vraag 13).
• “Bewijs dat y = … inderdaad een juiste primitieve is van y = te^{at} voor elke waarde van a” (2024-1 vraag 4).
• Primitieve van $4,8\cos (0,23t)$ in een context (2025-2 vraag 6).

Uitgewerkt voorbeeld

Primitieve van een som

$f(x)=x^3-12x+16$ $F(x)=\frac{1}{4}{x}^4-6x^2+16x$

Controle: $F^{\prime }(x)=x^3-12x+16=f(x)$. ✓

Primitieve bewijzen (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 4)

Bewijs dat $F(t)=\left(\frac{t}{a}-\frac{1}{a^2}\right)e^{at}$ een primitieve is van $f(t)=t{e}^{at}$ ($a\ne 0$).

1. Productregel: $F^{\prime }(t)=\frac{1}{a}{e}^{at}+\left(\frac{t}{a}-\frac{1}{a^2}\right)\cdot a{e}^{at}$
2. $=\frac{1}{a}{e}^{at}+t{e}^{at}-\frac{1}{a}{e}^{at}=t{e}^{at}$ ✓

Valkuilen

• Bij $e^{ax}$ of $\cos (ax)$ vermenigvuldigen met $a$ in plaats van delen.
• $\sin x\to \cos x$ schrijven (het is $-\cos x$).
• $\frac{1}{x}$ primitiveren met de machtsregel ($x^0/0$).

Test jezelf

Primitiveer $\sqrt{x}$.

$\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}$.

Primitiveer $\frac{1}{2x+1}$.

$\frac{1}{2}\ln |2x+1|$.

Primitiveer $e^{-2x}$.

$-\frac{1}{2}{e}^{-2x}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2024 tijdvak 1, vraag 4 en 5: primitieve bewijzen, primitieve van $t{e}^{-\frac{1}{2}t}$ gebruiken (3p + 4p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 16: primitieve van $e^{-2x}-e^{-4x}$ (6p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 5: primitieve van een polynoom in $y$ (4p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 6: primitieve van $4,8\cos (0,23t)$ (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 7 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 1−1/(x+1) is x−ln(x+1).
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van e⁻²ˣ−e⁻⁴ˣ is −½e⁻²ˣ−¼e⁻⁴ˣ, primitieve van −2e⁻³ˣ is ⅔e⁻³ˣ.
  • Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 1 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van −x³+1½x is −¼x⁴+¾x².
  • Vraag 13 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 9/x is 9ln(x).
  • Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap.
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van −y⁴+2y³+2y−1 wordt opgesteld: −⅕y⁵+½y⁴+y²+y.
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten specifiek voor de primitieve).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 4,8cos(0,23t) is (4,8/0,23)·sin(0,23t).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap.
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 3 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 50e^(−½t) is −100e
  • Vraag 4 (3p): in vraagstelling — gegeven primitieve y = (t/a − 1/a²)eᵃᵗ van y = teᵃᵗ, waarvan het bewijs gevraagd wordt.
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van y = te^(−½t) is (−2t−4)e
  • Komt 3× voor.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van x³−12x+16 is ¼x⁴−6x²+16x.
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 5 scorepunten specifiek hiervoor).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 1/x is ln(x) (x>0).
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van sin(x)+⅔√3 is −cos(x)+⅔√3·x.
  • Vraag 18 (3p): kernonderdeel — F(x) = x − ln(eˣ+1) is de gegeven primitieve, hele vraag draait om de controle F’=f.
  • Vraag 19 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(a)−F(0) = ln(2) berekend met de primitieve uit vraag 18.
  • Komt 4× terug, in vraag 18 volledig kernonderdeel, elders als noodzakelijke tussenstap (16 scorepunten betrokken).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 4−3e⁻ˣ−eˣ is 4x+3e⁻ˣ−eˣ.
  • Vraag 14 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van x³−3x² is ¼x⁴−x³.
  • Komt 2× voor, telkens noodzakelijke tussenstap (2 scorepunten specifiek voor de primitieve).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van x² − 2x√x + x wordt opgesteld (⅓x³ − ⅘x^(5/2) + ½x²).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van f(x)=4/√(x+1) is 8√(x+1) (let op: pdftotext toont dit als “8 x + 1”, de wortel is weggevallen bij extractie).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap binnen vraag 9.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): kernonderdeel van de vraagstelling en correctievoorschrift — f(x) = 1/(x−5) + 1/(x−6), bewijs dat F(x) = ln(x²−11x+30) een primitieve is (via ln(a)+ln(b)=ln(ab), of via F’(x) uitrekenen). Frasering: “De functie F gegeven door … is dan een primitieve van f. Bewijs dit.”
  • Let op: via een aanvulling op het correctievoorschrift zijn hier altijd 3 scorepunten toegekend, ongeacht het antwoord — de noodzakelijke voorwaarde x > 6 ontbrak in de opgave (wiskundig niet juist gesteld). Test dit tijdvak dus zelf niet daadwerkelijk het concept voor scoring, maar de opzet (F herkennen als primitieve, kettingregel/somregel logaritmen) is representatief voor het vraagtype.
  • Komt 1× voor, volledige eerste vraag (3p, met bovengenoemd voorbehoud).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 1 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve van −x²+2x+¾ opgesteld: −⅓x³+x²+¾x.
  • Vraag 3 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van f−h is 2cos(x) − cos(2x) − x.
  • Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap naar een oppervlakte (2 van de 13 betrokken scorepunten specifiek voor de primitieve).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve −1/20 x⁵+¼x⁴ opgesteld.
  • Vraag 12 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieve 4/3 x√x−2/3 x²√x opgesteld.
  • Komt 2× voor, noodzakelijke tussenstap bij beide integraalvragen.
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven worden opgesteld: van ½sin(3x) is −⅙cos(3x), van 2+sin(x)−½sin(x) is 2x−cos(x)−½cos(x) (of gelijkwaardige splitsing).
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap (1 van de 4 scorepunten specifiek voor de primitieve).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van de verschilfunctie wordt expliciet opgesteld.
  • Vraag 9 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — f wordt gebruikt als primitieve van g (fundamentaalstelling).
  • Vraag 15 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van x is ½x².
  • Komt 3× voor, telkens noodzakelijke tussenstap onder Bepaalde integraal.
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van 2sin(x) is −2cos(x), gebruikt om A(p) te bewijzen.
  • Vraag 17 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — een primitieve van πy is ½πy².
  • Komt 2× voor, beide keren noodzakelijke tussenstap in een bewijs/berekening (niet los gescoord, wel onmisbaar).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 4 (3p): in vraagstelling — Fa gegeven als (vermoedelijke) primitieve van f_a, “Bewijs dat Fa inderdaad een primitieve van f_a is.”
  • Vraag 5 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven opgesteld: van (1/e)x is (1/2e)x², van xe^x is xe^x−e
  • Komt 2× voor, beide keren kernonderdeel of noodzakelijke tussenstap (8 scorepunten betrokken).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 11 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — expliciete primitieven ½px²−⅓x³ en ⅓x³ opgesteld voor de integralen.
  • Komt 1× voor, noodzakelijke tussenstap binnen het bewijs.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Standaardafgeleiden

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Bepaalde integraal