Stelsel van lineaire vergelijkingen

Prioriteit: 🟠 Midden

In 5 van de 8 onderzochte examenjaren, bijna altijd als rekenstap: het snijpunt van twee lijnen (vaak in vectorvoorstelling) of twee parameters uit twee gegevens.

Wat moet je kunnen?

• Een stelsel oplossen met substitutie of eliminatie.
• Twee vectorvoorstellingen gelijkstellen en het stelsel in $s$ en $t$ oplossen.
• Uit twee gegevens twee parameters bepalen.

De kern

Methode	Aanpak
substitutie	schrijf één vergelijking als $y=\dots$ (of $s=\dots$) en vul in
eliminatie	tel veelvouden van de vergelijkingen op, zodat één onbekende wegvalt

Soort stelsel	Lijnen	Oplossingen
eenduidig	snijden	1
strijdig	evenwijdig, niet samenvallend	0
afhankelijk	vallen samen	oneindig veel

• Controleer je oplossing in beide vergelijkingen.
• Zie Snijpunten van lijnen en cirkels en Vectorvoorstelling van een lijn.

Zo wordt het gevraagd

• “Het stelsel 2 − s = 1 + 3t, 2 + 3s = 9 − t moet worden opgelost” om snijpunt $D$ te vinden (2023-2 vraag 6).
• “Beschrijven hoe dit stelsel … opgelost kan worden”, met $29-5s=3t$ en $4-\frac{1}{2}s=24-4t$ (2022-3 vraag 9).
• Stelsel in $a$ en $b$ met logaritmen (2021-1 vraag 7).

Uitgewerkt voorbeeld

Snijpunt van twee vectorvoorstellingen (examenstijl, vergelijk 2023-2 vraag 6)

Los op: $2-s=1+3t$ en $2+3s=9-t$.

1. Uit de eerste: $s=1-3t$
2. Invullen: $2+3(1-3t)=9-t\Rightarrow 5-9t=9-t\Rightarrow t=-\frac{1}{2}$
3. $s=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Controle: $2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$ en $1+3\cdot -\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$. ✓

Valkuilen

• Dezelfde parameter gebruiken voor twee verschillende lijnen.
• Alleen $t$ berekenen en vergeten het snijpunt zelf te geven.
• Bij eliminatie een teken verkeerd overnemen.

Test jezelf

Los op: $2a+3b=12$ en $a-b=1$.

$a=b+1$: $2b+2+3b=12\Rightarrow b=2$, $a=3$.

Hoeveel oplossingen heeft $x+2y=4$, $2x+4y=5$?

Geen (strijdig): de linkerkanten zijn evenredig, de rechterkanten niet.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2023 tijdvak 2, vraag 6: snijpunt via vectorvoorstellingen (7p)
• 2022 tijdvak 3, vraag 9: stelsel in $s$ en $t$ (5p)
• 2021 tijdvak 1, vraag 7: stelsel in $a$ en $b$ (6p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 5 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2021, 2022, 2023, 2024 — 62,5%.

• 2024 tijdvak I
  • Vraag 11 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Uit het stelsel van deze twee vergelijkingen volgt 4 = 2x+1+6¼ (of een andere juiste lineaire vergelijking)” (cirkelvergelijking gecombineerd met afstandsvergelijking OP=2½).
  • Komt 1× voor, zwak/indirect (expliciet “stelsel” genoemd in het correctievoorschrift, maar het is een combinatie van een cirkel- en een afstandsvergelijking, geen klassiek lineair 2×2-stelsel).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 10 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — het snijpunt van k (y=ax) en m (richtingscoëfficiënt −a door P) bepalen via een stelsel.
  • Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — het stelsel a−3b=25 (of b=−2a) gecombineerd met a²+b²=125 oplossen.
  • Komt 2× terug, beide keren als noodzakelijke rekenstap binnen een groter bewijs/berekening.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 6 (7p): zichtbaar in correctievoorschrift — “Het stelsel 2−s = 1+3t, 2+3s = 9−t moet worden opgelost” om het snijpunt D van twee lijnen (via vectorvoorstellingen) te vinden.
  • Frasering: “Het stelsel … moet worden opgelost.”
  • Komt 1× voor, essentiële tussenstap (meerdere van de 7 scorepunten hangen hiervan af).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 16 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — stelsel van twee vergelijkingen (in a en t) oplossen na invullen van D(−1, 0) in de vectorvoorstelling van de middelloodlijn.
  • Komt 1× voor, als onderdeel van een alternatieve oplosroute.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 9 (5p): kernonderdeel — “In S geldt 29−5s=3t en 4−½s=24−4t. Beschrijven hoe dit stelsel … opgelost kan worden.” Twee vergelijkingen, twee onbekenden (s,t).
  • Komt 1× voor, volledige kernstap van de vraag (van de 5 scorepunten hangen minstens 2 hiervan af).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 7 (6p): kernonderdeel — stelsel {a − 7,5b = log(4,5), a − 6b = log(285,5)} oplossen voor a en b.
  • Komt 1× duidelijk voor (lineair stelsel); vraag 5 gebruikt ook de term “stelsel” in het correctievoorschrift maar is niet-lineair (6 = d/t, 3,5 = d/(t+17)), dus losstaand vermeld onder Aardbevingen.
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 4 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — stelsel 7p−7q=7, 2p−2q=−3 exact oplossen (uit p·OF+q·OG = (7,−3)).
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van het antwoord (2 van de 4 scorepunten).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 9 (4p): kernonderdeel — “1700 = a + b·1,24…”, “2100 = a + b·2,25…” (numerieke ln-waarden ingevuld), stelsel van twee lineaire vergelijkingen in a en b oplossen (met GR).
  • Komt 1× voor, essentiële tussenstap van de vraag (2 van de 4 scorepunten specifiek hiervoor: “Beschrijven hoe dit stelsel kan worden opgelost”).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 8 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (derde alternatieve methode) — “Beschrijven hoe dit stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden opgelost kan worden” (a²+(4−b)²=r², (−4−a)²+(−4−b)²=r², (2−a)²+(3−b)²=r²).
  • Komt 1× voor, als alternatieve oplosroute naast de Thales-methode.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een lijn

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Snijpunten van lijnen en cirkels