Snijpunten van lijnen en cirkels

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 7 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als eerste vraag van een meetkundeopgave of als noodzakelijke tussenstap (4–6p).

Wat moet je kunnen?

• Het snijpunt van twee lijnen berekenen (stelsel oplossen).
• De snijpunten van een lijn en een cirkel berekenen via substitutie.
• De snijpunten van twee cirkels berekenen door de vergelijkingen van elkaar af te trekken.
• Met de discriminant het aantal snijpunten onderzoeken.

De kern

Situatie	Aanpak
lijn en lijn	stelsel oplossen (zie Stelsel van lineaire vergelijkingen)
lijn en cirkel	lijn schrijven als $y=\dots$ en invullen in de cirkelvergelijking
cirkel en cirkel	vergelijkingen aftrekken: de kwadraten vallen weg, je houdt een lijn over; die snij je met één cirkel

Discriminant $D$	Aantal snijpunten lijn/cirkel
$D>0$	2
$D=0$	1 (de lijn raakt)
$D<0$	0

• Staat er “rechts van de $y$-as” of “in het eerste kwadrant”, dan laat je een oplossing vallen.
• Zie ook Vergelijking van een cirkel en Raaklijn aan een cirkel.

Zo wordt het gevraagd

• “Cirkel c snijdt lijn k rechts van de y-as in het punt S. Bereken exact de coördinaten van S.” (2026-1 vraag 1).
• Twee cirkels $x^2+y^2=240^2$ en $(x-192{)}^2+(y-128{)}^2=80^2$ aftrekken tot een lijn (2021-1 vraag 6).
• Een lijn door $O$ snijdt de cirkel in $P$ (2024-1 vraag 11).
• Snijpunt van twee lijnen ligt op een grafiek (2024-2 vraag 10).

Uitgewerkt voorbeeld

Lijn en cirkel (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 1)

Cirkel $x^2+y^2=625$, lijn $3x-4y=0$. Bereken het snijpunt rechts van de $y$-as.

1. Lijn: $y=\frac{3}{4}x$
2. Invullen: $x^2+\frac{9}{16}{x}^2=625\Rightarrow \frac{25}{16}{x}^2=625\Rightarrow x^2=400$
3. $x=20$ ($x=-20$ ligt links van de $y$-as en voldoet niet)
4. $y=\frac{3}{4}\cdot 20=15$: $S(20,15)$

Twee cirkels (examenstijl, vergelijk 2021-1 vraag 6)

$x^2+y^2=25$ en $(x-6{)}^2+y^2=13$.

1. Aftrekken: $x^2-(x-6{)}^2=25-13\Rightarrow 12x-36=12\Rightarrow x=4$
2. Invullen in de eerste cirkel: $16+y^2=25\Rightarrow y=\pm 3$
3. Snijpunten: $(4,3)$ en $(4,-3)$

Valkuilen

• Twee cirkels direct gelijkstellen zonder af te trekken, waardoor het rekenwerk vastloopt.
• Een oplossing niet laten vallen terwijl de vraag “rechts van de $y$-as” zegt.
• Bij $x^2=400$ alleen $x=20$ noemen zonder te zeggen waarom $-20$ afvalt.

Test jezelf

Voor welke $c$ raakt de lijn $y=x+c$ de cirkel $x^2+y^2=2$?

$x^2+(x+c{)}^2=2\Rightarrow 2x^2+2cx+c^2-2=0$. $D=4c^2-8(c^2-2)=0\Rightarrow c^2=4$, dus $c=2$ of $c=-2$.

Hoeveel snijpunten hebben $y=10$ en $x^2+y^2=64$?

$x^2=64-100<0$: geen.

Wat houd je over als je twee cirkelvergelijkingen van de vorm $x^2+y^2+\dots$ van elkaar aftrekt?

Een lijn (de kwadratische termen vallen weg), waarop beide snijpunten liggen.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 1: lijn en cirkel exact (4p)
• 2021 tijdvak 1, vraag 6: twee cirkels snijden (6p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 11: lijn door $O$ snijdt cirkel (4p)
• 2022 tijdvak 3, vraag 9: snijpunt van twee lijnen (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 7 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2026 — 87,5%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 1 (4p): kernonderdeel — de x-coördinaat van snijpunt S volgt uit substitutie van y=¾x in x²+y²=625, wat leidt tot 25/16x²=625. Frasering: “Cirkel c snijdt lijn k rechts van de y-as in het punt S. Bereken exact de coördinaten van S.”
  • Komt 1× voor dit tijdvak, volledige vraag (4p).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 11 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel. Frasering: “De lijn k gaat door de oorsprong O en snijdt cirkel c in punt P.”
  • Komt 1× voor, volledige vraag (4p).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 10 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, S is het snijpunt van lijnen k en m; bewijs dat dit snijpunt op de grafiek van f ligt.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel van de vraag.
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 15 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — snijpunt D van lijn AC en lijn PF bepaald door de twee lijnvergelijkingen te combineren.
  • Vraag 16 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — cirkel c gesneden met lijn AC geeft de vergelijking waaruit punt D volgt.
  • Komt 2× voor, in beide gevallen een noodzakelijke tussenstap (11 scorepunten betrokken).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 4 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — S als snijpunt van twee lijnen (AF en HD) bepaald.
  • Vraag 9 (5p): kernonderdeel — S als snijpunt van k en l, via stelsel of via vectorvoorstelling+vergelijking.
  • Vraag 17 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — lijn AM snijden met de cirkel (x−r)²+y²=r² om B te bepalen.
  • Komt 3× terug, telkens als (alternatieve) rekenroute naar een snijpunt.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 6 (6p): kernonderdeel — twee cirkelvergelijkingen x²+y²=240² en (x−192)²+(y−128)²=80² van elkaar aftrekken levert een lijn (y = 1,5x − 408), die vervolgens in één van de cirkelvergelijkingen wordt gesubstitueerd om de snijpunten te vinden.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p) — klassieke techniek cirkel-cirkelstelsel herleiden tot lijn-cirkelstelsel.
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 1 (5p): kernonderdeel — “Lijn k snijdt cirkel c in twee punten. Bereken exact de coördinaten van deze snijpunten.” Substitutie van de vectorvoorstelling in de cirkelvergelijking, herleiden tot 5t²−30t+25=0.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (5p).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 6 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — punten A en B zijn de snijpunten van cirkel c met de x-as, gevonden door y=0 in de cirkelvergelijking te substitueren: (x−14)²+64=100, dus (x−14)²=36.
  • Komt 1× voor, ondersteunende stap (bijzonder geval: snijpunt van een cirkel met een as in plaats van een willekeurige lijn).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 9 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — lijn PD gesubstitueerd in de cirkelvergelijking, geeft 125t²−65t=0.
  • Vraag 15 (5p): in correctievoorschrift — lijn y=4−x gesubstitueerd in de cirkelvergelijking, geeft x²−5x+4=0.
  • Komt 2× voor, beide keren als rekenstap om een specifiek punt te vinden.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Vergelijking van een lijn
• Vergelijking van een cirkel
• Stelsel van lineaire vergelijkingen

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)