Derdegraadsvergelijkingen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 16. “Los op in ℂ” (factorstelling, met een oplossing van de GR) en “Los algebraïsch op in ℂ” (met $z=u+v$ of Cardano) (diagnostische toets 11–12).

Wat moet je kunnen?

• Met de GR één reële oplossing vinden, met de factorstelling en een staartdeling ontbinden, en de complexe oplossingen berekenen.
• $z^3+pz=q$ algebraïsch oplossen met $z=u+v$ en $p=-3uv$.
• $z^3+a{z}^2+bz+c=0$ herleiden met $z=y-\frac{1}{3}a$ en de formule van Cardano gebruiken.

De kern

Factorstelling: als $x=k$ een oplossing is van $x^3+a{x}^2+bx+c=0$, dan is $x^3+a{x}^2+bx+c=(x-k)(x^2+\dots )$.

De tweedegraads factor vind je met een staartdeling door $x-k$. Die los je op met kwadraatafsplitsen; bij een negatieve discriminant geeft dat twee complexe oplossingen.

Werkschema: het algebraïsch oplossen van $z^3+pz=q$

1. Stel $z=u+v$ en $p=-3uv$ en herleid hiermee de vergelijking tot $u^3+v^3=q$.
2. Gebruik $p=-3uv$, dus $v=-\frac{p}{3u}$, om de vergelijking te herleiden tot $u^6-q{u}^3-\frac{1}{27}{p}^3=0$.
3. Bereken $u^3$ (abc-formule) en $v^3=q-u^3$, en bereken hiermee $z=\sqrt[3]{u^3}+\sqrt[3]{v^3}$.

Daarna vind je de andere twee oplossingen met de factorstelling.

Formule van Cardano. Een reële oplossing van $z^3+pz=q$ is $z=\sqrt[3]{\frac{1}{2}q+\sqrt{(\frac{1}{2}q{)}^2+(\frac{1}{3}p{)}^3}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}q-\sqrt{(\frac{1}{2}q{)}^2+(\frac{1}{3}p{)}^3}}$ $(\frac{1}{2}q{)}^2+(\frac{1}{3}p{)}^3$ heet de discriminant. Is die negatief, dan kom je in de berekening complexe getallen tegen, ook al is de oplossing reëel.

Algemeen. $z^3+a{z}^2+bz+c=0$ gaat met $z=y-\frac{1}{3}a$ over in $y^3+py=q$ met $p=b-\frac{1}{3}{a}^2$ en $q=-\frac{2}{27}{a}^3+\frac{1}{3}ab-c$.

Zo wordt het gevraagd

• “Los op in ℂ: z³ + z² − 7z − 15 = 0” en “(z + 1)(z − i)(z + i) = 15” (diagnostische toets 11, opgave 45).
• “Los algebraïsch op in ℂ: z³ + 6z − 88 = 0; z³ − 3z² = 16; z³ + 4z² + 6z + 4 = 0” (diagnostische toets 12, opgave 49, A52).
• “Toon aan dat …”-stappen van de afleiding (opgave O46, O47, 51).

Uitgewerkt voorbeeld

Factorstelling (vergelijk H16 diagnostische toets 11a)

Los op in $\mathbb{C}$: $z^3+z^2-7z-15=0$.

1. De GR (zero of ROOT) geeft $z=3$.
2. Staartdeling door $z-3$: $z^3+z^2-7z-15=(z-3)(z^2+4z+5)$.
3. $z^2+4z+5=0$ geeft $(z+2{)}^2=-1=i^2$, dus $z=-2+i\vee z=-2-i$.
4. Oplossingen: $z=3\vee z=-2+i\vee z=-2-i$.

Algebraïsch met $z=u+v$ (vergelijk H16 diagnostische toets 12a)

Los algebraïsch op in $\mathbb{C}$: $z^3+6z-88=0$, dus $z^3+6z=88$.

1. $z=u+v$ en $6=-3uv$ geven $u^3+v^3=88$ en $v=-\frac{2}{u}$.
2. $u^3-\frac{8}{u^3}=88$ geeft $u^6-88u^3-8=0$. $D=7776$, $\sqrt{D}=36\sqrt{6}$.
3. $u^3=\frac{88+36\sqrt{6}}{2}=44+18\sqrt{6}$ en $v^3=88-u^3=44-18\sqrt{6}$.
4. $z=\sqrt[3]{44+18\sqrt{6}}+\sqrt[3]{44-18\sqrt{6}}=4$.
5. Staartdeling: $z^3+6z-88=(z-4)(z^2+4z+22)$ en $(z+2{)}^2=-18=18i^2$, dus $z=-2\pm 3i\sqrt{2}$.
6. Oplossingen: $z=4\vee z=-2+3i\sqrt{2}\vee z=-2-3i\sqrt{2}$.

Controle met sympy: wortels $4$ en $-2\pm 3\sqrt{2}i$ ✓. Let op: $44-18\sqrt{6}<0$, dus neem de reële derdemachtswortel.

Valkuilen

• Bij de staartdeling een ontbrekende term ($0z^2$) niet opschrijven, waardoor kolommen verschuiven.
• $v^3$ opnieuw met de abc-formule berekenen in plaats van $v^3=q-u^3$.
• Het teken van $p$ verkeerd: bij $z^3-3z=18$ is $p=-3$.
• Bij Cardano met de GR de derdemachtswortel van een negatief getal fout invoeren.
• Na de reële oplossing stoppen: “los op in ℂ” vraagt alle drie de oplossingen.

Test jezelf

Los op in $\mathbb{C}$: $z^3+4z^2+6z+4=0$ (de GR geeft $z=-2$).

Staartdeling: $(z+2)(z^2+2z+2)$. $(z+1{)}^2=-1$ geeft $z=-1\pm i$. Dus $z=-2\vee z=-1+i\vee z=-1-i$.

Los algebraïsch op: $z^3-3z=18$.

$p=-3$: $-3=-3uv$ geeft $v=\frac{1}{u}$, en $u^6-18u^3+1=0$. $u^3=9+4\sqrt{5}$, $v^3=9-4\sqrt{5}$, dus $z=\sqrt[3]{9+4\sqrt{5}}+\sqrt[3]{9-4\sqrt{5}}=3$. Met $z^2+3z+6=0$ ook $z=-1\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}i\sqrt{15}$.

Welke substitutie maakt van $z^3-3z^2-16=0$ een vergelijking zonder kwadraatterm?

$a=-3$, dus $z=y+1$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H16 opgave O44 · uitwerking: factorstelling ontdekken
• H16 opgave 45 · uitwerking: oplossen in ℂ met de factorstelling
• H16 opgave O47 · uitwerking: $z=u+v$ stap voor stap
• H16 opgave R48–49 · uitwerking: algebraïsch oplossen
• H16 opgave 51–A52 · uitwerking: formule van Cardano
• H16 diagnostische toets 11–12 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §16.4 Theorie A: De factorstelling (blz. 180), met Voorbeeld (blz. 181)
• §16.4 Theorie B: De vergelijking z³ + pz = q, met Werkschema (blz. 182) en Voorbeeld (blz. 183)
• §16.4 Theorie C: De vergelijking z³ + az² + bz + c = 0 en de formule van Cardano (blz. 185–186)
• Terugblik §16.4 (blz. 187)
• Diagnostische toets 11–12 (blz. 201)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Rekenen met complexe getallen
• Complexe e-machten en complexe wortels

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)