Complexe e-machten en complexe wortels

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 10. “Schrijf in de vorm z = re^(iφ). Geef exacte antwoorden”, “Los exact op in ℂ”, “Bereken alle uitkomsten van de volgende wortels”, “Stel de directe formule op bij de rij” (diagnostische toets 10–13). H10 staat niet in de planner van dit jaar; op aanwijzing van de leerling meegenomen.

Wat moet je kunnen?

• Producten, quotiënten en machten van complexe getallen uitrekenen via de vorm $r{e}^{i\phi }$.
• Vergelijkingen $z^n=c$ en $(z-p{)}^n=c$ exact oplossen, en de oplossingen tekenen.
• Complexe wortels $\sqrt[n]{c}$ geven: alle $n$ uitkomsten.
• De directe formule opstellen van $u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$ als de karakteristieke vergelijking complexe oplossingen heeft.

De kern

Rekenregels. Voor complexe e-machten gelden dezelfde regels als voor reële: $r{e}^{i\alpha }\cdot s{e}^{i\beta }=rs{e}^{i(\alpha +\beta )}\frac{r{e}^{i\alpha }}{s{e}^{i\beta }}=\frac{r}{s}{e}^{i(\alpha -\beta )}(r{e}^{i\phi }{)}^n=r^n{e}^{in\phi }$ Moduli vermenigvuldig je, argumenten tel je op. Schrijf daarom eerst elke factor als $r{e}^{i\phi }$.

Vergelijking $z^n=c$ met $c=r{e}^{i\phi }\ne 0$: $z^n=r{e}^{i(\phi +k\cdot 2\pi )}\Rightarrow z=\sqrt[n]{r}{e}^{i\left(\frac{\phi }{n}+k\cdot \frac{2\pi }{n}\right)},k=0,1,\dots ,n-1$

De vergelijking $z^n=c$ met $n=2,3,4,\dots$ en $c\ne 0$ heeft $n$ oplossingen in $\mathbb{C}$. Deze oplossingen zijn de uitkomsten van de $n$-demachtswortel van $c$.

Ze liggen op een cirkel met middelpunt 0 en straal $\sqrt[n]{r}$; de argumenten verschillen steeds $\frac{2\pi }{n}$ (draaiingssymmetrie). $\sqrt[n]{c}$ is dus meerwaardig.

Differentievergelijkingen $u_n=a\cdot u_{n-1}+b\cdot u_{n-2}$: substitueer $u_n=g^n$, dan $g^2-ag-b=0$ met $D=a^2+4b$.

• $D>0$: $u_n=A\cdot g_1^n+B\cdot g_2^n$
• $D=0$: $u_n=(A+Bn)\cdot g^n$
• $D<0$: $u_n=(A\cos (\phi n)+B\sin (\phi n))\cdot |g_1{|}^n$, met $\phi$ een argument van $g_1$.

Bereken $A$ en $B$ met $u_0$ en $u_1$. Dit is hetzelfde schema als bij Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde.

Zo wordt het gevraagd

• “Schrijf de volgende getallen in de vorm z = re^(iφ). Geef exacte antwoorden.” (diagnostische toets 10, opgave 52).
• “Stel de directe formule op bij de rij uₙ = −2uₙ₋₁ − 2uₙ₋₂ met u₀ = 2√2 en u₁ = 1.” (diagnostische toets 11, opgave 57).
• “Los exact op in ℂ. Geef de oplossingen in de vorm z = a + bi.” (diagnostische toets 12, opgave 61).
• “Bereken alle uitkomsten van de volgende wortels.” (diagnostische toets 13, opgave 62–A63).

Uitgewerkt voorbeeld

Machten en quotiënten (vergelijk H10 diagnostische toets 10)

b $z=\frac{(1+i{)}^3}{(1-i{)}^4}$

1. $1+i=\sqrt{2}{e}^{\frac{1}{4}\pi i}$ en $1-i=\sqrt{2}{e}^{-\frac{1}{4}\pi i}$.
2. $z=\frac{(\sqrt{2}{)}^3{e}^{\frac{3}{4}\pi i}}{(\sqrt{2}{)}^4{e}^{-\pi i}}=\frac{2\sqrt{2}}{4}{e}^{\frac{7}{4}\pi i}=\frac{1}{2}\sqrt{2}{e}^{-\frac{1}{4}\pi i}$

f $z=\frac{(2+2i{)}^3}{1-i}$: $2+2i=2\sqrt{2}{e}^{\frac{1}{4}\pi i}$, dus $z=\frac{16\sqrt{2}{e}^{\frac{3}{4}\pi i}}{\sqrt{2}{e}^{-\frac{1}{4}\pi i}}=16e^{\pi i}$.

Controle met sympy: $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$ en $-16$ ✓

Vergelijking $z^3=8i$ (vergelijk H10 Theorie C blz. 68)

1. $8i=8e^{\frac{1}{2}\pi i+k\cdot 2\pi i}$, dus $z=2e^{\frac{1}{6}\pi i+k\cdot \frac{2}{3}\pi i}$.
2. $k=0$: $z=2e^{\frac{1}{6}\pi i}=\sqrt{3}+i$
3. $k=1$: $z=2e^{\frac{5}{6}\pi i}=-\sqrt{3}+i$
4. $k=2$: $z=2e^{\frac{3}{2}\pi i}=-2i$

$k=3$ geeft weer $2e^{\frac{13}{6}\pi i}=2e^{\frac{1}{6}\pi i}$: er zijn precies drie oplossingen. Controle met sympy ✓

Directe formule met complexe $g$ (vergelijk H10 Voorbeeld blz. 67)

$u_n=2u_{n-1}-2u_{n-2}$ met $u_0=2$ en $u_1=5$.

1. $g^2-2g+2=0$ geeft $(g-1{)}^2=-1=i^2$, dus $g=1\pm i$.
2. $|1+i|=\sqrt{2}$ en $\arg (1+i)=\frac{1}{4}\pi$: $u_n=(A\cos (\frac{1}{4}\pi n)+B\sin (\frac{1}{4}\pi n))\cdot (\sqrt{2}{)}^n$.
3. $u_0=2$ geeft $A=2$. $u_1=5$ geeft $(A\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}+B\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}=A+B=5$, dus $B=3$.
4. $u_n=(2\cos (\frac{1}{4}\pi n)+3\sin (\frac{1}{4}\pi n))\cdot (\sqrt{2}{)}^n$

Controle: de formule geeft dezelfde $u_0,\dots ,u_7$ als de recursie ✓

Valkuilen

• Bij $z^n=c$ de term $k\cdot 2\pi$ vergeten, waardoor je maar één oplossing vindt.
• Te veel oplossingen geven: vanaf $k=n$ herhalen ze zich.
• Bij $\sqrt[n]{c}$ de wortel uit het argument trekken in plaats van het argument door $n$ te delen.
• Bij een quotiënt de argumenten optellen in plaats van aftrekken.
• Bij de differentievergelijking $|g{|}^n$ vergeten, of $\phi$ in graden nemen.

Test jezelf

Schrijf $z=(1-i{)}^{-6}$ in de vorm $r{e}^{i\phi }$.

$1-i=\sqrt{2}{e}^{-\frac{1}{4}\pi i}$, dus $z=(\sqrt{2}{)}^{-6}{e}^{\frac{6}{4}\pi i}=\frac{1}{8}{e}^{1\frac{1}{2}\pi i}=\frac{1}{8}{e}^{-\frac{1}{2}\pi i}$ ($=-\frac{1}{8}i$).

Los exact op in $\mathbb{C}$: $z^2=-16i$.

$-16i=16e^{-\frac{1}{2}\pi i+k\cdot 2\pi i}$, dus $z=4e^{-\frac{1}{4}\pi i+k\pi i}$: $z=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}\vee z=-2\sqrt{2}+2i\sqrt{2}$.

Bereken alle uitkomsten van $\sqrt[4]{-16}$.

$z^4=16e^{\pi i+k\cdot 2\pi i}$ geeft $z=2e^{\frac{1}{4}\pi i+k\cdot \frac{1}{2}\pi i}$: $2e^{\frac{1}{4}\pi i}$, $2e^{\frac{3}{4}\pi i}$, $2e^{-\frac{3}{4}\pi i}$ en $2e^{-\frac{1}{4}\pi i}$ (ofwel $\pm \sqrt{2}\pm i\sqrt{2}$).

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H10 opgave 52–53 · uitwerking: rekenen met $r{e}^{i\phi }$
• H10 opgave A54–A55 · uitwerking: modulus en argument van producten
• H10 opgave 57–A59 · uitwerking: directe formule van een rij
• H10 opgave 61–62 · uitwerking: vergelijkingen en wortels
• H10 opgave A63–A64 · uitwerking: exacte wortels, $(z-3{)}^2=\dots$
• H10 diagnostische toets 10–13 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §10.4 Theorie A: Berekeningen met complexe e-machten (blz. 64), met Voorbeeld (blz. 65)
• §10.4 Theorie B: Differentievergelijkingen en complexe getallen (blz. 66–67), Werkschema en Voorbeeld
• §10.4 Theorie C: Complexe wortels (blz. 68–69)
• §10.4 Voorbeeld: $(z-2i{)}^2=-i$ en $z^4=-16$ (blz. 70)
• Terugblik §10.4 (blz. 71)
• Diagnostische toets 10–13 (blz. 77)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Poolcoördinaten en de formule van Euler

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde