Rekenen met complexe getallen

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 10. Basis voor heel H10 en H16. “Los op in ℂ” en “Schrijf in de vorm z = a + bi” (diagnostische toets 1–2). Wordt belangrijker zodra SE-2 voorbij is. H10 staat niet in de planner van dit jaar; op aanwijzing van de leerling meegenomen.

Wat moet je kunnen?

• Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en machten van $i$ uitrekenen.
• Een breuk in de vorm $a+bi$ schrijven met de geconjugeerde.
• Lineaire en kwadratische vergelijkingen oplossen in $\mathbb{C}$ (kwadraatafsplitsen).
• Eigenschappen van $\overline{z}$, $\text{Re}(z)$ en $\text{Im}(z)$ aantonen.

De kern

Voor het imaginaire getal $i$ geldt $i^2=-1$. Een getal van de vorm $a+bi$ met $a$ en $b$ reële getallen heet een complex getal.

$a=\text{Re}(z)$ is het reële deel en $b=\text{Im}(z)$ het imaginaire deel. De verzamelingen: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$.

Rekenen. Werk haakjes uit zoals gewoon en vervang $i^2$ door $-1$: $(2+4i)(1+i)=2+2i+4i+4i^2=-2+6i$ Machten: $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, $i^5=i$, …

Geconjugeerde. De geconjugeerde van $z=a+bi$ is $\overline{z}=a-bi$, en $z\cdot \overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2(\text{ree¨el})$

Breuk herleiden. $\frac{p+qi}{r+si}$: vermenigvuldig teller en noemer met $r-si$. De noemer wordt dan reëel.

Kwadratische vergelijking. Door kwadraatafsplitsen krijg je $(x+p{)}^2=-c$ met $c>0$. Schrijf $-c=c\cdot i^2$: $(x+2{)}^2=-4=4i^2\Rightarrow x+2=2i\vee x+2=-2i$

Zo wordt het gevraagd

• “Los op in ℂ.” (diagnostische toets 1, opgave 5–A6): lineair, $(2x+1{)}^2+9=0$, $x^2-4x+10=0$.
• “Schrijf in de vorm z = a + bi.” (diagnostische toets 2, opgave 8–A10, A15): producten, breuken, $\overline{(2-3i{)}^2}$.
• “Toon aan dat $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$.” (opgave 13–14).

Uitgewerkt voorbeeld

Kwadratische vergelijking (vergelijk H10 diagnostische toets 1c)

Los op in $\mathbb{C}$: $x^2-4x+10=0$.

1. Kwadraatafsplitsen: $(x-2{)}^2-4+10=0$, dus $(x-2{)}^2=-6$.
2. $-6=6i^2$, dus $x-2=i\sqrt{6}\vee x-2=-i\sqrt{6}$.
3. $x=2+i\sqrt{6}\vee x=2-i\sqrt{6}$.

Breuk en geconjugeerde (vergelijk H10 diagnostische toets 2c en 2f)

c $z=\frac{3-i}{4+i}=\frac{3-i}{4+i}\cdot \frac{4-i}{4-i}=\frac{12-3i-4i+i^2}{16-i^2}=\frac{11-7i}{17}=\frac{11}{17}-\frac{7}{17}i$

f $z=\overline{\left(\frac{2-i}{2+3i}\right)}$. Eerst $\frac{2-i}{2+3i}\cdot \frac{2-3i}{2-3i}=\frac{4-6i-2i+3i^2}{4+9}=\frac{1-8i}{13}$. Geconjugeerde: $z=\frac{1}{13}+\frac{8}{13}i$.

Controle met sympy ✓

Valkuilen

• $i^2$ laten staan in plaats van $-1$ invullen.
• Bij een breuk alleen de noemer met de geconjugeerde vermenigvuldigen.
• $(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2$ schrijven. Het is $a^2+b^2$, want $-b^2{i}^2=+b^2$.
• Bij $(x+p{)}^2=-c$ maar één oplossing geven: er zijn er altijd twee, $\pm i\sqrt{c}$.
• $\text{Im}(3-5i)=-5i$ zeggen. Het imaginaire deel is het reële getal $-5$.

Test jezelf

Schrijf in de vorm $a+bi$: $(1+i)(6-i)+(3-i)(3+2i)$.

$(6-i+6i-i^2)+(9+6i-3i-2i^2)=(7+5i)+(11+3i)=18+8i$.

Schrijf $\frac{2+3i}{i}$ in de vorm $a+bi$.

Vermenigvuldig met $\frac{i}{i}$: $\frac{2i+3i^2}{i^2}=\frac{-3+2i}{-1}=3-2i$.

Los op in $\mathbb{C}$: $4x^2+16x+17=0$.

$4(x+2{)}^2-16+17=0$, dus $(2x+4{)}^2=-1=i^2$. $2x+4=\pm i$, dus $x=-2\pm \frac{1}{2}i$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H10 opgave 5–A6 · uitwerking: vergelijkingen oplossen in ℂ
• H10 opgave 8–9 · uitwerking: vorm $a+bi$, breuken
• H10 opgave A10 · uitwerking: pittiger herleiden
• H10 opgave 13–A15 · uitwerking: geconjugeerde, Re en Im
• H10 diagnostische toets 1–2 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §10.1 Theorie A: Getallenverzamelingen (blz. 42)
• §10.1 Theorie B: De verzameling van de complexe getallen (blz. 43–44), met Voorbeeld
• §10.1 Theorie C: Herleiden met complexe getallen (blz. 45), Voorbeeld en Informatief (blz. 46)
• §10.1 Theorie D: Geconjugeerde complexe getallen (blz. 47)
• Terugblik §10.1 (blz. 48)
• Diagnostische toets 1–2 (blz. 76)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Algebraïsch en exact (kwadraatafsplitsen)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Het complexe vlak
• Poolcoördinaten en de formule van Euler
• Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde