Exponentiële verdeling

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 12. “Bereken exact de kans dat een accu meer dan vier jaar meegaat”, ”… dat Tim twee fietsen binnen een halfuur repareert” (diagnostische toets 11–12). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• $\lambda$ bepalen uit de gemiddelde wachttijd $\mu$: $\lambda =\frac{1}{\mu }$.
• Kansen exact berekenen met $F(t)=1-e^{-\lambda t}$, en een tijd $x$ terugrekenen met ln.
• Een wachttijdvraag omzetten naar een poissonvraag, ook bij een som van wachttijden.

De kern

	Formule
kansdichtheid	$f_{\lambda }(t)=\lambda e^{-\lambda t}$ voor $t\ge 0$, 0 daarvoor
verdelingsfunctie	$F_{\lambda }(t)=1-e^{-\lambda t}$ voor $t\ge 0$
verwachting	$E(T)=\frac{1}{\lambda }$ (gemiddelde wachttijd $\mu$)
poisson	$P(X=k)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$, op $[0,t]$ met $\lambda t$

• $\lambda$ = gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid. 90 klanten per uur = 1,5 per minuut.
• Koppeling: $P(T\le t)=P(X\ge 1)=1-e^{-\lambda t}$, met $X$ het aantal gebeurtenissen op $[0,t]$.
• Som van $n$ wachttijden (gammaverdeling). G&R schrijft $T+T$ voor twee onafhankelijke wachttijden achter elkaar, niet voor $2T$. Voor $n$ wachttijden: $P(T+\cdots +T\le x)=P(X\ge n)$ met $X$ poisson op $[0,x]$.
• Niet exact gevraagd: gebruik poissonpdf / poissoncdf.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken exact de kans dat een accu meer dan vier jaar meegaat.” (diagnostische toets 11a).
• “De kans dat een accu minder dan x jaar meegaat is 0,1. Bereken x in maanden nauwkeurig.” (11c).
• “Bereken exact de kans dat Tim twee fietsen binnen een halfuur repareert.” (12b, gammaverdeling).

Uitgewerkt voorbeeld

Levensduur (vergelijk H12 diagnostische toets 11)

Levensduur $T$ in jaren exponentieel verdeeld met gemiddelde $2\frac{1}{2}$ jaar.

1. $\lambda =\frac{1}{2,5}=\frac{2}{5}$
2. $P(T>4)=1-(1-e^{-\frac{2}{5}\cdot 4})=e^{-1\frac{3}{5}}$ (exact, $\approx 0,202$)
3. $P(T<2)=1-e^{-\frac{4}{5}}\approx 0,551$
4. $P(T<x)=0,1$: $e^{-\frac{2}{5}x}=0,9$, dus $x=-2\frac{1}{2}\ln (0,9)=0,263\dots$ jaar $\approx$ 3 maanden.

Twee fietsen binnen een halfuur (vergelijk H12 diagnostische toets 12b)

Reparatietijd $T$ in minuten exponentieel verdeeld met gemiddelde 20 minuten.

1. $X$ = aantal fietsen dat binnen een halfuur klaar is: poisson met $\lambda =\frac{30}{20}=1\frac{1}{2}$.
2. $P(T+T<30)=P(X\ge 2)=1-P(X=0)-P(X=1)$
3. $=1-e^{-1\frac{1}{2}}-1\frac{1}{2}{e}^{-1\frac{1}{2}}=1-2\frac{1}{2}{e}^{-1\frac{1}{2}}$ ($\approx 0,442$)

Valkuilen

• $\lambda$ en $\mu$ verwisselen: gemiddelde wachttijd 3 uur betekent $\lambda =\frac{1}{3}$ per uur.
• Tijdseenheden door elkaar gebruiken (per uur tegenover per minuut).
• Bij “meer dan” vergeten $1-F$ te nemen.
• Bij de gammavariant $P(X\le n)$ in plaats van $P(X\ge n)$ nemen.

Test jezelf

Gemiddeld 90 klanten per uur. Kans dat je langer dan een minuut op de volgende klant wacht?

$\lambda =1,5$ per minuut: $P(T>1)=e^{-1,5}\approx 0,223$.

Kans dat de volgende drie klanten binnen 2 minuten binnen zijn?

$X$ poisson met $\lambda =3$: $P(X\ge 3)=1-$ poissoncdf$(3,2)\approx 0,577$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H12 opgave 65–66 · uitwerking: exacte kansen
• H12 opgave 67–68 · uitwerking: via de poissonverdeling (67) en bewijzen (68)
• H12 opgave 73–75 · uitwerking: som van wachttijden
• H12 diagnostische toets 12a en c · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 42 · uitwerking: wacht- en helptijd, $\lambda$ uit een percentage

Bronnen

• Voorkennis Theorie C: De poissonverdeling (blz. 124)
• §12.5 Theorie A: De poissonverdeling en de exponentiële verdeling (blz. 160–161)
• §12.5 Voorbeeld: reparatietijd robot (blz. 162)
• §12.5 Theorie B: De som van exponentieel verdeelde toevalsvariabelen (blz. 165)
• Terugblik §12.5 (blz. 169)
• Diagnostische toets 11–12 (blz. 171)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Kansdichtheid en verdelingsfunctie
• Exponentiële functie
• Logaritmische functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)