Logaritmische functie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 8 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als basis van een hele opgave (functies met $\ln$, raaklijnen, inverse, grenswaarden), 2–6 vragen per tijdvak.

Wat moet je kunnen?

• De rekenregels voor logaritmen gebruiken om uitdrukkingen te herleiden en vergelijkingen exact op te lossen.
• Domein, asymptoot en verloop van ${}^g\log x$ en $\ln x$ geven, ook na transformatie.
• De inverse van een logaritmische of exponentiële functie opstellen.

De kern

Regel
${}^g\log a+{}^g\log b={}^g\log (ab)$	${}^g\log a-{}^g\log b={}^g\log \frac{a}{b}$
${}^g\log a^p=p\cdot {}^g\log a$	${}^g\log a=\frac{\ln a}{\ln g}$
${}^g\log x=y⟺g^y=x$	$\ln e^x=x$, $e^{\ln x}=x$

Eigenschap van ${}^g\log x$
domein	$x>0$ (bij $\ln (x-2)$: $x>2$)
verticale asymptoot	$x=0$
vaste punten	$(1,0)$ en $(g,1)$
verloop	stijgend als $g>1$, dalend als $0<g<1$

• Afgeleide: $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$, ${(}^g\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln g}$ (zie Standaardafgeleiden).

Zo wordt het gevraagd

• Functies als $f(x)=2\ln x+\frac{3}{2x}-1$ met raaklijnen en snijpunten (2026-1 vraag 3–5).
• $f(x)=\ln (3x)$, raaklijn in een punt (2025-2 vraag 8).
• $f(x)={}^2\log (\frac{1}{x})+8$ en de inverse $g$ (2024-1 vraag 7).
• $h_q(x)=\frac{1}{2}\ln (-x)+q$ raakt aan $f$ (2025-1 vraag 18).

Uitgewerkt voorbeeld

Logaritmische vergelijking exact

Los exact op: $2\ln x=\ln (x+6)$.

1. $2\ln x=\ln x^2$, dus $x^2=x+6$
2. $x^2-x-6=0\Rightarrow (x-3)(x+2)=0$
3. $x=3$ of $x=-2$; $x=-2$ valt af (domein $x>0$).
4. Antwoord: $x=3$. Controle: $2\ln 3=\ln 9=\ln (3+6)$. ✓

Inverse opstellen (examenstijl, vergelijk 2024-1 vraag 7)

$f(x)={}^2\log (\frac{1}{x})+8$

1. $y={}^2\log (\frac{1}{x})+8\Rightarrow y-8=-{}^2\log x\Rightarrow {}^2\log x=8-y$
2. $x=2^{8-y}$
3. Inverse: $g(x)=2^{8-x}$. Controle: $f(2^{8-y})=-(8-y)+8=y$. ✓

Valkuilen

• $\ln (a+b)=\ln a+\ln b$ schrijven (fout).
• Een oplossing buiten het domein niet laten vervallen.
• Bij ${}^g\log$ met $0<g<1$ vergeten dat de grafiek daalt.

Test jezelf

Bereken ${}^3\log 81$.

$3^4=81$, dus 4.

Wat is het domein van $f(x)=\ln (x-2)$ en de verticale asymptoot?

Domein $x>2$; asymptoot $x=2$.

Schrijf $\ln 5+\ln 4-\ln 2$ als één logaritme.

$\ln \frac{5\cdot 4}{2}=\ln 10$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 1, vraag 3 en 5: raaklijnen en snijpunt met $\ln$ (6p + 4p)
• 2025 tijdvak 1, vraag 16–18: afstanden, grenswaarde en raken met $\ln$ (4p + 4p + 6p)
• 2025 tijdvak 2, vraag 7 en 8: punten en raaklijn bij $\ln (3x)$ (4p + 4p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 7: ${}^2\log$ en de inverse (5p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 8 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2025, 2026 — 100%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 3 (6p): in vraagstelling — f(x)=2ln(x)+3/(2x)−1, raaklijnen aan deze grafiek.
  • Vraag 4 (2p): in vraagstelling — g(x)=2ln(2x)+3/(4x)−1, transformatie van f naar g.
  • Vraag 5 (4p): in vraagstelling — snijpunt van f en g, vergelijking bevat 2ln(2x)−2ln(x).
  • Vraag 7 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve van 1−1/(x+1) bevat ln(x+1).
  • Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Twee snijpunten” (17 scorepunten) plus ondersteunend in opgave “Perforatie en oppervlakte”.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 10 (7p): in vraagstelling — f(x) = x²·ln(½x) en g(x) = x²·ln(x), beide opgebouwd uit een logaritmische factor.
  • Vraag 11 (3p): in vraagstelling — h(x) = g(x)/f(x) = ln(x)/ln(½x), grenswaarde bepaald met het gedrag van ln(x).
  • Komt 2× terug, onderliggende functiebouwsteen van opgave “Minimale lengte en grenswaarde” (10 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak I
  • Vraag 16 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(x+1), g_p(x)=ln(px), afstand tot O berekenen.
  • Vraag 17 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, grenswaarde van p bepalen zodat AB → 1 voor a → ∞.
  • Vraag 18 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, hq(x)=½ln(−x)+q raakt aan f.
  • Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Logaritmische functies” (14 scorepunten samen).
• 2025 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(3x); coördinaten van P en R op de grafiek van f.
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, raaklijn aan de grafiek van f=ln(3x) in punt B.
  • Komt 2× voor, dominant thema van opgave “Vierkant en driehoek” (8 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 7 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = ²log(1/x)+8, g de inverse van f.
  • Vraag 8 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, zelfde functie f, verschil yQ−yP onderzocht.
  • Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Logaritme, wortel en exponent” (11 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f18(x)=²log(x²−18x+69).
  • Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x)=²log(x²−ax+69) met verticale asymptoten.
  • Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Absolute logaritme” (8 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 2 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — primitieve ln(x) gebruikt, oppervlakte herleid tot ln(2a)−ln(a)=ln(2).
  • Vraag 13 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(x), g(x)=(1+e²)(1−ln(x)).
  • Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, zelfde functies f en g, snijpunten met lijn y=q.
  • Vraag 18 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift — F(x) bevat ln(eˣ+1).
  • Vraag 19 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — grens ln(2), oppervlakte kleiner dan ln(2).
  • Frasering: functienaam “Logaritmische functies” als opgavetitel. Komt 5× terug, dominant thema van twee verschillende opgaven (22 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — f_p(x) = p·ln(x), basis van de hele opgave.
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — grafiek van f_{-1} gebruikt om gebied V te bepalen.
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — f_p’(x) = p/x, vergelijking p·ln(p) = p exact oplossen.
  • Komt 3× terug, samen met Exponentiële functie het dragende functiepaar van deze opgave (12 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — F(x) = ln(x²−11x+30), rekenregel ln(a)+ln(b)=ln(ab) gebruikt.
  • Vraag 2 (5p): in correctievoorschrift — oppervlaktes via F(9)−F(7)=ln(12)−ln(2) en F(p)−F(9), vergelijking ln(p²−11p+30)=ln(72) oplossen.
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — formule (3) gebruikt ²log, vergelijking ²log(1−t/L)=−2 oplossen.
  • Komt 3× terug dit tijdvak, telkens als kernonderdeel van de berekening (11 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 7 (6p): kernonderdeel — log(4,5) en log(285,5) in het stelsel voor a en b van het Gutenberg-Richter-model.
  • Vraag 13 (6p): kernonderdeel — hele opgave draait om f(x) = ln(x) resp. ln|x|, en ln(b) = −ln(4b) oplossen.
  • Komt 2× voor, in beide gevallen kernonderdeel (12 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): kernonderdeel — T = ln(2) / ln(1+p/100), logaritme nodig om T op te lossen uit de groeifactorvergelijking.
  • Vraag 13 (3p): zichtbaar in correctievoorschrift (alternatieve methode) — inverse functie f_inv(x)=1/ln(x).
  • Komt 2× voor (7 scorepunten samen).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 6 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, model C = a + b·ln(ln(T/(T−1))) met a=5734, b=1648, capaciteit 12 000 m³/s; herhalingstijd T algebraïsch oplossen (dubbele ln oplossen).
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — differentiëren van de samengestelde logaritmische uitdrukking ln(T/(T−1)) resp. ln(ln(T/(T−1))).
  • Vraag 8 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — bewijs gebruikt dat y=ln(x) stijgend is en ln(1)=0 om het teken van ln(T/(T−1)) te bepalen.
  • Vraag 9 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, opnieuw hetzelfde logaritmische model, nu voor de Maas met onbekende a en b.
  • Frasering: “met behulp van formule 1”, “C = a + b·ln(ln(T/(T−1)))”. Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Hoogwater” (19 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak I
  • Vraag 8 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=x·ln(x)−x+1, g=f’.
  • Vraag 9 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, integraal van g over [p, 2p], eindantwoord in de vorm p=a·e
  • Frasering: opgavetitel “Een logaritmische functie en haar afgeleide”. Komt 2× terug, dominant thema van de hele opgave (12 scorepunten samen).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 5 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — vergelijking 20·116^m = 30·40^m opgelost via logaritmen: m = log(1,5)/log(2,9).
  • Vraag 13 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = log(√x) = ½log(x) en g(x) = log(x·√x) − 1 = 1½log(x) − 1, lijn y=q snijdt beide grafieken, AB=3 oplossen.
  • Vraag 14 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, verhouding CD/CE = (2log(p) − 2)/log(p) bewijzen met f en g uit v13.
  • Vraag 15 (2p): in vraagstelling — grenswaarde van diezelfde verhouding.
  • Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Twee logaritmische functies” (13 scorepunten) plus één keer als rekentechniek bij “Optimale snijsnelheid” (v5).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 12 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x)=ln(√x).
  • Vraag 13 (4p): impliciet — zelfde functie f en haar inverse/transformatie gebruikt.
  • Vraag 14 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, h(x)=ln(√x)/ln(x).
  • Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Natuurlijke logaritme van de wortel” (11 scorepunten samen).
• 2018 tijdvak II
  • Vraag 6 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel, f_a(x) = x − x·ln(ax), bewijs met rekenregels voor logaritmen (ln(ax)+ln(x/a)=ln(x²)=2ln(x)).
  • Vraag 7 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, xS gevonden via ln(ax)=1 (dus ax=e).
  • Frasering: opgave “Constante verhouding” draait volledig om een functiefamilie met ln. Komt 2× voor (11 scorepunten samen), dominant thema van deze opgave.

---

Ondersteunende onderwerpen

• Exponentiële functie
• Inverse functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Standaardafgeleiden
• Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen