Kansdichtheid en verdelingsfunctie

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 12. Het algebraïsche deel van H12: “Toon aan dat f een kansdichtheid is”, “Stel het functievoorschrift op van de verdelingsfunctie”, “Bereken exact P(X ≥ 6)” (diagnostische toets 1–3). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Een oneigenlijke integraal berekenen met een limiet.
• Aantonen dat een functie een kansdichtheid is (twee voorwaarden).
• Bij een kansdichtheid de verdelingsfunctie opstellen (primitieve + randvoorwaarden), en omgekeerd.
• Met $f$ of $F$ exacte kansen berekenen.

De kern

Oneigenlijke integraal ${\int }_a^{\infty }f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{t\to \infty }{\int }_a^{t}f(x)\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{b}f(x)\mathrm{d}x={\lim }_{t\to -\infty }{\int }_t^{b}f(x)\mathrm{d}x$ Bestaat de limiet, dan heet de integraal convergent, anders divergent.

Kansdichtheid $f$ van een continue toevalsvariabele $X$:

• $f(x)\ge 0$ voor alle $x\in \mathbb{R}$
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$

Dan $P(a<X<b)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$. Of je $<$ of $\le$ schrijft maakt niet uit: $P(X=a)=0$.

Verdelingsfunctie $F(x)=P(X\le x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)\mathrm{d}t$

• $F$ is een primitieve van $f$, niet-dalend, ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$ en ${\lim }_{x\to \infty }F(x)=1$.
• Bij een gesplitst voorschrift kies je de constanten zo dat $F$ aansluit: $G(0)=0$ aan het begin en $H(10)=1$ aan het eind.
• Omgekeerd: $f=F^{\prime }$.

Continue uniforme verdeling op $[a,b]$: $f(x)=\frac{1}{b-a}$ op $[a,b]$ en 0 daarbuiten.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken ${\int }_{-\infty }^0\frac{1}{(3x-1{)}^2}\mathrm{d}x$.” (diagnostische toets 1).
• “Toon aan dat f een kansdichtheid is. Gebruik dat ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x}{e^x}=0$.” (diagnostische toets 2c).
• “Onderzoek algebraïsch of f een kansdichtheid is.” (opgave 5, 6, Voorbeeld blz. 129).

Uitgewerkt voorbeeld

Verdelingsfunctie en exacte kans (vergelijk H12 diagnostische toets 3)

$f(x)=\frac{1}{16}x$ op $[0,4)$, $f(x)=\frac{1}{36}(x-7{)}^2$ op $[4,10)$, en 0 daarbuiten.

1. Kansdichtheid? $f\ge 0$ en ${\int }_0^4\frac{1}{16}x\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{32}{x}^2\right]}_0^4=\frac{1}{2}$, ${\int }_4^{10}\frac{1}{36}(x-7{)}^2\mathrm{d}x={\left[\frac{1}{108}(x-7{)}^3\right]}_4^{10}=\frac{27}{108}+\frac{27}{108}=\frac{1}{2}$. Samen 1 ✓
2. $F$ op $[0,4)$: $\frac{1}{32}{x}^2+c$ met $F(0)=0$, dus $c=0$.
3. $F$ op $[4,10)$: $\frac{1}{108}(x-7{)}^3+d$ met $F(10)=1$: $\frac{1}{4}+d=1$, dus $d=\frac{3}{4}$.
4. $P(X\ge 6)=1-F(6)=1-\left(\frac{1}{108}\cdot (-1{)}^3+\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{27}$

Controle: $F(4)=\frac{1}{2}$ met beide stukken ($\frac{16}{32}$ en $-\frac{27}{108}+\frac{3}{4}$) ✓

Valkuilen

• De limiet niet opschrijven: ${\int }_0^{\infty }$ is geen gewone integraal, schrijf ${\lim }_{t\to \infty }$.
• Alleen $\int f=1$ controleren en $f(x)\ge 0$ vergeten.
• Bij $F$ de constante vergeten, waardoor $F$ niet aansluit of niet naar 1 gaat.
• $P(X\ge 6)$ berekenen als $F(6)$ in plaats van $1-F(6)$.

Test jezelf

Bereken ${\int }_1^{\infty }\frac{6}{x^4}\mathrm{d}x$.

${\lim }_{t\to \infty }{\left[-2x^{-3}\right]}_1^t={\lim }_{t\to \infty }\left(-\frac{2}{t^3}+2\right)=2$.

$F(x)=1-\frac{1}{x}$ voor $x\ge 1$ en 0 daarvoor. Geef de kansdichtheid.

$f(x)=F^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}$ voor $x\ge 1$, en 0 voor $x<1$.

$f(x)=\sin (2x)$ op $[0,\frac{1}{2}\pi ]$, 0 daarbuiten. Bereken $P(X>\frac{1}{3}\pi )$.

$F(x)=-\frac{1}{2}\cos (2x)+\frac{1}{2}$, dus $P=1-F(\frac{1}{3}\pi )=1-(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})=\frac{1}{4}$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H12 opgave 2 · uitwerking: oneigenlijke integralen
• H12 opgave 5–6 · uitwerking: is $f$ een kansdichtheid?
• H12 opgave 13–14 · uitwerking: verdelingsfunctie opstellen
• H12 diagnostische toets 1–2 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 44 · uitwerking: oneigenlijke integraal, $E(T)=\frac{1}{\lambda }$ bij de exponentiële verdeling

Bronnen

• §12.1 Theorie A: Oneigenlijke integralen (blz. 126)
• §12.1 Theorie B: Kansdichtheid (blz. 128–129)
• §12.1 Theorie C: Verdelingsfunctie (blz. 131)
• Terugblik §12.1 (blz. 134)
• Diagnostische toets 1–3 (blz. 170)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Primitieve functie
• Bepaalde integraal
• Asymptoten en limietgedrag

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Normale verdeling
• Exponentiële verdeling