Gedempte trillingen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 en SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Bereken de dempingscoëfficiënt k”, “Stel de formule op van de uitwijking”, “Na hoeveel seconden is de uitwijking minder dan 1 mm?” (diagnostische toets 10). Toepassing van Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde. Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Met $F=m\cdot a$ de differentiaalvergelijking van een massa-veersysteem opstellen.
• Met de discriminant bepalen of er een trilling ontstaat, en de grens (kritieke demping) berekenen.
• De uitwijking $u(t)$ berekenen met $u(0)$ en $v(0)=u^{\prime }(0)$.
• De trillingstijd of eigenfrequentie berekenen.
• Met intersect een tijdstip vinden waarop de uitwijking kleiner is dan een grens.

De kern

$u$ is de uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand, $c$ de veerconstante en $k$ de dempingscoëfficiënt (beide positief). Voor de som van de krachten geldt $F=-c\cdot u-k\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ Uit $F=m\cdot a$ met $a=\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}$ volgt $\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{k}{m}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{c}{m}\cdot u=0D={\left(\frac{k}{m}\right)}^2-4\cdot \frac{c}{m}=\frac{k^2-4cm}{m^2}$

	discriminant	gedrag
onderdemping	$D<0$	het systeem trilt nog enige tijd na voor het tot rust komt: gedempte trilling
kritieke demping	$D=0$, dus $k=2\sqrt{cm}$	het systeem komt zo snel mogelijk tot rust, zonder trilling
overdemping	$D>0$	het systeem komt zonder trilling langzamer tot rust dan bij kritieke demping

Zonder demping ($k=0$): $u^{\prime \prime }+\frac{c}{m}u=0$ geeft $\lambda =\pm i\sqrt{\frac{c}{m}}$, een harmonische trilling met trillingstijd $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{c}}$ (opgave 65).

Eigenfrequentie. Bij $D<0$ en $\lambda =a\pm bi$ is $u=(A\cos (bt)+B\sin (bt))\cdot e^{at}$. De eigenfrequentie is $f=\frac{b}{2\pi }$ trillingen per seconde (opgave A66).

Zo wordt het gevraagd

• “Een demper met veer vangt de loop op en zorgt ervoor dat de loop zo snel mogelijk weer op zijn plaats zit. Bereken de dempingscoëfficiënt k.” (diagnostische toets 10a): “zo snel mogelijk” betekent kritieke demping, $D=0$.
• “Stel de formule op van de uitwijking van de loop. Neem t = 0 op het moment dat de loop maximale uitwijking heeft.” (10b): dan is $v(0)=0$.
• “Na hoeveel seconden is de uitwijking minder dan 1 mm? Rond af op één decimaal.” (10c).
• “Bereken de maximale waarde van m waarvoor geen gedempte trillingen ontstaan.” (opgave 63c).

Uitgewerkt voorbeeld

Kanon (vergelijk H15 diagnostische toets 10)

De loop van 800 kg loopt 1 meter terug. Een demper met veer ($c=125000$ N/m) zorgt dat de loop zo snel mogelijk weer op zijn plaats zit.

a Zo snel mogelijk: kritieke demping, $D=0$.

1. $D=\frac{k^2-4\cdot 125000\cdot 800}{800^2}=0$ geeft $k^2=400000000$, dus $k=20000$.

b Formule van de uitwijking, met $t=0$ bij maximale uitwijking ($u(0)=1$, $v(0)=0$):

1. $F=-20000\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}-125000u$ en $\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{F}{800}$ geeft $u^{\prime \prime }+25u^{\prime }+156\frac{1}{4}u=0$.
2. $D=0$, dus $\lambda =-\frac{25}{2}=-12\frac{1}{2}$ en $u(t)=(A+Bt)\cdot e^{-12\frac{1}{2}t}$.
3. $u(0)=1$ geeft $A=1$. $v(t)=B\cdot e^{-12\frac{1}{2}t}+(A+Bt)\cdot -12\frac{1}{2}{e}^{-12\frac{1}{2}t}$, dus $v(0)=B-12\frac{1}{2}A=0$ en $B=12\frac{1}{2}$.
4. $u(t)=(1+12\frac{1}{2}t)\cdot e^{-12\frac{1}{2}t}$

c Uitwijking minder dan 1 mm = 0,001 m: $y_1=(1+12,5x)\cdot e^{-12,5x}$ en $y_2=0,001$, intersect geeft $x\approx 0,739$. Na ongeveer 0,7 seconde.

Controle met sympy (dsolve): $u=(1+12\frac{1}{2}t)e^{-12\frac{1}{2}t}$, $t=0,7387$ ✓

Schokdemper met onderdemping (vergelijk H15 Voorbeeld blz. 147)

$c=85$, $k=50$, $m=10$, $u(0)=\frac{1}{5}$ en $v(0)=\frac{3}{10}$.

1. $\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}+5\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+8\frac{1}{2}u=0$, dus ${\lambda }^2+5\lambda +8\frac{1}{2}=0$.
2. $(\lambda +2\frac{1}{2}{)}^2=-2\frac{1}{4}=2\frac{1}{4}{i}^2$, dus $\lambda =-2\frac{1}{2}\pm 1\frac{1}{2}i$.
3. $u(t)=(A\cos (1\frac{1}{2}t)+B\sin (1\frac{1}{2}t))\cdot e^{-2\frac{1}{2}t}$. $u(0)=\frac{1}{5}$ geeft $A=\frac{1}{5}$.
4. $v(0)=1\frac{1}{2}B-2\frac{1}{2}A=\frac{3}{10}$ geeft $B=\frac{8}{15}$.
5. $u(t)=(\frac{1}{5}\cos (1\frac{1}{2}t)+\frac{8}{15}\sin (1\frac{1}{2}t))\cdot e^{-2\frac{1}{2}t}$

Valkuilen

• “Zo snel mogelijk tot rust” lezen als overdemping. Het is kritieke demping: $D=0$.
• De mintekens in $F=-c\cdot u-k\cdot u^{\prime }$ vergeten, waardoor de karakteristieke vergelijking verkeerde tekens krijgt.
• Vergeten door $m$ te delen voordat je de karakteristieke vergelijking opstelt.
• Eenheden: een uitwijking in mm omrekenen naar m als $c$ in N/m staat.
• Bij ”$t=0$ op het moment van maximale uitwijking” vergeten dat daar $v(0)=0$.

Test jezelf

$c=72$, $k=40$, $m=8$. Ontstaat er een gedempte trilling?

$D=\frac{40^2-4\cdot 72\cdot 8}{8^2}=\frac{-704}{64}=-11<0$: onderdemping, dus ja.

Bij $c=72$ en $k=40$: voor welke $m$ ontstaan er geen gedempte trillingen?

$D\ge 0$: $1600-288m\ge 0$, dus $m\le 5\frac{5}{9}$ kg.

$m=1000$ en $c=500$. Hoe groot moet $k$ minimaal zijn opdat er geen gedempte trilling ontstaat?

$k^2-4\cdot 500\cdot 1000\ge 0$, dus $k\ge 1000\sqrt{2}\approx 1414$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O62 · uitwerking: blokje aan een veer, het model afleiden
• H15 opgave 63–64 · uitwerking: onderdemping, grens voor $m$ en $k$
• H15 opgave 65 · uitwerking: trillingstijd, bewijs $k\ge 2\sqrt{cm}$
• H15 opgave A66–A67 · uitwerking: mountainbike en kanon
• H15 diagnostische toets 10 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: De tweede wet van Newton (blz. 108)
• §15.5 Theorie B: Gedempte trillingen (blz. 146)
• §15.5 Voorbeeld: schokdempersysteem (blz. 147)
• Terugblik §15.5: Gedempte trillingen (blz. 149)
• Diagnostische toets 10 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde
• Dynamische modellen (tweede wet van Newton)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)