Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 en SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Bereken de oplossing met y(0) = −2 en y’(0) = 3” voor drie vergelijkingen, één per geval van de discriminant (diagnostische toets 9). Staat bij SE-2 en SE-3, omdat de planner H15 splitst zonder precies aan te geven waar. Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• De karakteristieke vergelijking opstellen en oplossen, ook met complexe oplossingen.
• Aan de hand van de discriminant de juiste vorm van de algemene oplossing kiezen.
• $A$ en $B$ berekenen uit de startwaarden $y(0)$ en $y^{\prime }(0)$.
• Een stelsel van twee eerste-ordevergelijkingen herleiden tot één tweede-ordevergelijking (opgave 61).

De kern

$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+p\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+qy=0$, kort $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$, is een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde: de tweede afgeleide is de hoogste afgeleide die erin voorkomt.

Substitutie van $y(t)=e^{\lambda t}$ geeft ${\lambda }^2{e}^{\lambda t}+p\lambda e^{\lambda t}+q{e}^{\lambda t}=0$. Delen door $e^{\lambda t}$ geeft de karakteristieke vergelijking ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$, met $D=p^2-4q$.

Werkschema: het oplossen van $y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$

1. Substitueren van $y(t)=e^{\lambda t}$ geeft de karakteristieke vergelijking ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$.
2. Kies de vorm:

discriminant	oplossingen	algemene oplossing
$D>0$	twee reële: ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$	$y(t)=A\cdot e^{{\lambda }_{1}t}+B\cdot e^{{\lambda }_{2}t}$
$D=0$	één reële: $\lambda$	$y(t)=(A+Bt)\cdot e^{\lambda t}$
$D<0$	complex: $\lambda =a\pm bi$	$y(t)=(A\cos (bt)+B\sin (bt))\cdot e^{at}$

3. Bereken $A$ en $B$ met de startwaarden $y(0)$ en $y^{\prime }(0)$.

Bij $D<0$ los je de karakteristieke vergelijking op met kwadraatafsplitsen: $(\lambda +3{)}^2=-1=i^2$ geeft $\lambda =-3\pm i$, dus $a=-3$ en $b=1$.

Zo wordt het gevraagd

• “Bereken de oplossing met y(0) = −2 en y’(0) = 3.” (diagnostische toets 9, opgave 60).
• “Toon aan dat alle functies van de vorm y(t) = (A + Bt)·e^(λt) oplossing zijn van de differentiaalvergelijking.” (opgave 59).
• “Gebruik x = −dy/dt + y en herleid het stelsel tot d²y/dt² − 3 dy/dt − 4y = 0.” (opgave 61).

Uitgewerkt voorbeeld

De drie gevallen (vergelijk H15 diagnostische toets 9, telkens $y(0)=-2$ en $y^{\prime }(0)=3$)

a $y^{\prime \prime }+10y^{\prime }+25y=0$

1. ${\lambda }^2+10\lambda +25=0$ geeft $(\lambda +5{)}^2=0$, dus $\lambda =-5$ ($D=0$).
2. $y(t)=(A+Bt)\cdot e^{-5t}$. $y(0)=-2$ geeft $A=-2$.
3. $y^{\prime }(t)=B\cdot e^{-5t}+(A+Bt)\cdot -5e^{-5t}$, dus $y^{\prime }(0)=B-5A=3$ en $B=-7$.
4. $y(t)=(-2-7t)\cdot e^{-5t}$

b $y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+8y=0$

1. ${\lambda }^2-4\lambda +8=0$ geeft $(\lambda -2{)}^2=-4=4i^2$, dus $\lambda =2\pm 2i$ ($D<0$).
2. $y(t)=(A\cos (2t)+B\sin (2t))\cdot e^{2t}$. $y(0)=-2$ geeft $A=-2$.
3. $y^{\prime }(0)=2B+2A=3$, dus $B=3\frac{1}{2}$.
4. $y(t)=(-2\cos (2t)+3\frac{1}{2}\sin (2t))\cdot e^{2t}$

c $y^{\prime \prime }+5y^{\prime }-6y=0$

1. ${\lambda }^2+5\lambda -6=0$ geeft $(\lambda -1)(\lambda +6)=0$, dus $\lambda =1\vee \lambda =-6$ ($D>0$).
2. $y(t)=A\cdot e^t+B\cdot e^{-6t}$: $A+B=-2$ en $A-6B=3$.
3. $7B=-5$, dus $B=-\frac{5}{7}$ en $A=-1\frac{2}{7}$.
4. $y(t)=-1\frac{2}{7}{e}^t-\frac{5}{7}{e}^{-6t}$

Controle met sympy (dsolve met beginvoorwaarden): alle drie gelijk ✓

Valkuilen

• Bij $D<0$ de vorm $A{e}^{{\lambda }_{1}t}+B{e}^{{\lambda }_{2}t}$ gebruiken. Met complexe $\lambda$ neem je de vorm met cos en sin.
• Bij $\lambda =a\pm bi$ de $a$ en $b$ verwisselen: in $e^{at}$ staat het reële deel.
• Bij $D=0$ de factor $t$ bij $B$ vergeten.
• $y^{\prime }(t)$ fout differentiëren: gebruik de productregel bij $(A+Bt)\cdot e^{\lambda t}$ en bij $(\dots )\cdot e^{at}$.

Test jezelf

Bereken de oplossing van $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }-4y=0$ met $y(0)=3$ en $y^{\prime }(0)=2$.

${\lambda }^2-3\lambda -4=0$ geeft $\lambda =-1\vee \lambda =4$. $A+B=3$ en $-A+4B=2$, dus $B=1$ en $A=2$: $y(t)=2e^{-t}+e^{4t}$.

Bereken de oplossing van $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$ met $y(0)=-1$ en $y^{\prime }(0)=4$.

$\lambda =-2$ (dubbel). $A=-1$ en $B-2A=4$, dus $B=2$: $y(t)=(-1+2t)\cdot e^{-2t}$.

Bereken de oplossing van $y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+10y=0$ met $y(0)=1$ en $y^{\prime }(0)=-1$.

$(\lambda +3{)}^2=-1$ geeft $\lambda =-3\pm i$. $y=(A\cos (t)+B\sin (t))e^{-3t}$: $A=1$ en $B-3A=-1$, dus $B=2$: $y(t)=(\cos (t)+2\sin (t))\cdot e^{-3t}$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave O56–O57 · uitwerking: karakteristieke vergelijking afleiden
• H15 opgave 58–59 · uitwerking: waarom de vormen kloppen
• H15 opgave 60 · uitwerking: oplossing met startwaarden, alle gevallen
• H15 opgave 61 · uitwerking: stelsel herleiden
• H15 diagnostische toets 9 · uitwerking: toetsniveau
• Gemengde opgave 29 · uitwerking: drie algemene oplossingen

Bronnen

• Voorkennis Theorie A: Discrete dynamische modellen en de karakteristieke vergelijking (blz. 106–107)
• §15.5 Theorie A: De differentiaalvergelijking y” + py’ + qy = 0 (blz. 143–144)
• Werkschema en Voorbeeld (blz. 144–145)
• Terugblik §15.5 (blz. 149)
• Diagnostische toets 9 (blz. 151)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde
• Productregel
• Complexe e-machten en complexe wortels

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Gedempte trillingen