Dynamische modellen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 15. “Stel een dynamisch model op bij de temperatuur T in °C van de melk, met t de tijd in minuten / in seconden” en “Stel een dynamisch model op bij de snelheid van Marcel” (diagnostische toets 1–2). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Een dynamisch model opstellen als “de snelheid is evenredig met …”.
• De evenredigheidsconstante $c$ berekenen uit twee metingen, met het differentiequotiënt als benadering.
• Het model omzetten naar een andere tijdseenheid (minuten ↔ seconden).
• Met de tweede wet van Newton een model voor de snelheid $v$ opstellen.
• De grenssnelheid (horizontale asymptoot) berekenen en de grafiek van $v$ schetsen.

De kern

Een continu dynamisch model is een formule waarbij de snelheid $\frac{\mathrm{d}G}{\mathrm{d}t}$ waarmee een grootheid $G$ verandert, is uitgedrukt in $G$. Voorbeelden: $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=-0,05A$, $\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=N(1-N)$. Het model ligt pas vast als ook een beginwaarde bekend is.

Afkoelen of opwarmen. De snelheid is evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving: $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=c(T-T_{\text{omgeving}})$ $c$ berekenen uit $T(0)$ en $T(t_1)$:

1. Neem aan dat op $t=\frac{1}{2}{t}_1$ de temperatuur het gemiddelde is: $T\approx \frac{T(0)+T(t_1)}{2}$.
2. Neem aan dat $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}$ op dat moment gelijk is aan $\frac{\Delta T}{\Delta t}$ op $[0,t_1]$.
3. Vul in: $c\cdot (T-T_{\text{omgeving}})=\frac{\Delta T}{\Delta t}$.

Andere tijdseenheid. Met $t$ in minuten in plaats van seconden wordt $c$ 60 keer zo groot: $c_{\text{min}}=60\cdot c_{\text{sec}}$.

Beweging (tweede wet van Newton). $F_R=m\cdot a$ en $a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$, dus $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{F_R}{m}{F}_R=F_{\text{voortstuwend}}-F_{\text{wrijving}}$ met $F$ in N, $m$ in kg, $v$ in m/s en $t$ in s. Is $F_W$ afhankelijk van $v$ (bijvoorbeeld $F_W=10v^2$), dan nadert $v$ een grenswaarde: die vind je met $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$.

Zo wordt het gevraagd

• “Stel een dynamisch model op bij de temperatuur T in °C van de melk a met t de tijd in minuten b met t de tijd in seconden.” (diagnostische toets 1).
• “Stel een dynamisch model op bij de snelheid van Marcel. Schets de grafiek van v als functie van de tijd t.” (diagnostische toets 2).
• “Bereken in gehele km/uur de maximale snelheid van de scooter.” (opgave 3 voorkennis), “Kan deze snorfiets harder dan de wettelijk toegestane snelheid van 25 km/uur?” (opgave 12b).
• “Stel een dynamisch model op bij de hoeveelheid zout Z in het vat.” (opgave 6).

Uitgewerkt voorbeeld

Warme melk (vergelijk H15 diagnostische toets 1)

Om $t=0$ staat een glas melk van 70 °C op het aanrecht; de keuken is 18 °C. Na twee minuten is de melk 60 °C. Stel een dynamisch model op, met $t$ in minuten en met $t$ in seconden.

1. Model: $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=c(T-18)$.
2. Op $t=1$ is $T\approx \frac{70+60}{2}=65$ °C en $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\approx \frac{60-70}{2}=-5$ °C/min.
3. $c\cdot (65-18)=-5$, dus $c=-\frac{5}{47}\approx -0,106$.
4. a $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-0,106(T-18)$ met $t$ in minuten.
5. b In seconden: $c\approx \frac{1}{60}\cdot -\frac{5}{47}\approx -0,00177$, dus $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-0,00177(T-18)$ met $t$ in seconden.

Skiër (vergelijk H15 diagnostische toets 2)

Marcel (110 kg inclusief uitrusting) daalt een helling af. De component van de zwaartekracht langs de helling is 755 N, de luchtweerstand $0,4v^2$ N en de wrijvingsweerstand van de ski’s $10v$ N. $v(0)=0$.

1. $F_R=755-0,4v^2-10v$.
2. $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{F_R}{m}=\frac{755-0,4v^2-10v}{110}$, met $v$ in m/s en $t$ in s.
3. Grenssnelheid: $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ geeft $0,4v^2+10v-755=0$, dus $v\approx 32,7$ m/s (de negatieve oplossing valt af).
4. Schets: $v$ stijgt vanaf 0 en nadert de horizontale asymptoot $v=32,7$.

Controle met sympy: $v=32,708$ ✓

Valkuilen

• Het temperatuurverschil verkeerd om: $c(T-T_{\text{omgeving}})$ met $c<0$ bij afkoelen en opwarmen.
• Bij het differentiequotiënt de temperatuur op $t=0$ nemen in plaats van het gemiddelde in het midden van het interval.
• Bij omrekenen naar seconden met 60 vermenigvuldigen in plaats van delen (en andersom).
• km/uur niet omrekenen naar m/s (delen door 3,6) voordat je in $F_W$ invult.
• De wrijvingskracht met een plusteken in $F_R$ zetten. Wrijving werkt tegen de beweging in.

Test jezelf

Een ei van 100 °C wordt onder water van 12 °C gehouden. In 10 seconden daalt de temperatuur tot 94 °C. Stel een model op met $t$ in seconden.

Op $t=5$: $T\approx 97$ en $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\approx \frac{94-100}{10}=-0,6$. $c\cdot (97-12)=-0,6$ geeft $c\approx -0,0071$: $\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-0,0071(T-12)$.

Een boot van 200 kg: $F_{\text{motor}}=120$ N en $F_W=10v^2$. Geef het model en de grenssnelheid.

$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{120-10v^2}{200}=0,6-0,05v^2$. $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$ geeft $v^2=12$, dus $v=\sqrt{12}\approx 3,5$ m/s.

Met $v(0)=5$ in hetzelfde model: stijgt of daalt de grafiek van $v$?

Voor $v>\sqrt{12}$ is $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}<0$, dus de grafiek daalt en nadert $v=\sqrt{12}$ van boven.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H15 opgave 3–4 · uitwerking: afkoelen en opwarmen, $c$ berekenen
• H15 opgave 6 en A7 · uitwerking: zout in een vat, snelheid van een auto
• H15 opgave 11–12 · uitwerking: parachutist en snorfiets, grenssnelheid
• H15 opgave A13 · uitwerking: fregat
• H15 diagnostische toets 1–2 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis Theorie B: De tweede wet van Newton (blz. 108)
• §15.1 Theorie A: Dynamische modellen opstellen (blz. 109–110), met Voorbeeld (blz. 110)
• §15.1 Theorie B: Dynamische modellen bij beweging, met Voorbeeld (blz. 113)
• Terugblik §15.1 (blz. 116)
• Diagnostische toets 1–2 (blz. 150)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Afgeleide functie (differentiequotiënt en differentiaalquotiënt)
• Asymptoten en limietgedrag

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Differentiaalvergelijkingen en lijnelementenveld