Niet-lineaire complexe functies

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 16. “Teken het vlakdeel en het beeld bij f(z) = z² − i”, “Teken het beeld van Re(z) = −2 bij f(z) = e^z”, “Bereken exact f(1 + i) bij f(z) = ln(z)”, “Bereken exact sin(⅓π + 2i)” (diagnostische toets 5–9).

Wat moet je kunnen?

• Het beeld van een vlakdeel bij $f(z)=z^n$ (eventueel met translatie) tekenen.
• Bij $f(z)=e^z$ het beeld van verticale en horizontale lijnen tekenen.
• Exacte waarden van $\ln (z)$ berekenen.
• Exacte waarden van $\sin (z)$ en $\cos (z)$ berekenen via $e$-machten.

De kern

Machtsfuncties. Met de formule van Euler: $z^n=(r(\cos \phi +i\sin \phi ){)}^n=r^n(\cos (n\phi )+i\sin (n\phi ))$ (formule van De Moivre). Dus $|z^n|=|z{|}^n\arg (z^n)=n\cdot \arg (z)$ Bij $f(z)=\frac{1}{z}$: $\left|\frac{1}{z}\right|=\frac{1}{|z|}$ en $\arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg (z)$. Het beeld van een rechthoek is bij een niet-lineaire functie geen rechthoek meer.

De functie $f(z)=e^z$. $f(a+bi)=e^a\cdot e^{bi}$, dus

• bij vaste $a$ (verticale lijn) is het beeld een cirkel met middelpunt 0 en straal $e^a$;
• bij vaste $b$ (horizontale lijn) is het beeld een halve lijn vanuit 0 onder een hoek van $b$ radialen;
• de reële as gaat naar de positieve reële as, de imaginaire as naar de eenheidscirkel;
• $e^z$ is periodiek met periode $2\pi i$.

De functie $f(z)=\ln (z)$. Schrijf $z=r{e}^{i\phi }$, dan $\ln (z)=\ln (r)+\ln (e^{i\phi })=\ln |z|+i\phi -\pi <\phi \le \pi$ (De logaritme is eigenlijk meerwaardig; in dit hoofdstuk nemen we alleen $-\pi <\text{Im}(\ln z)\le \pi$.)

Goniometrische functies. $\cos (z)=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\sin (z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$

Zo wordt het gevraagd

• “Teken in twee aparte figuren het vlakdeel 1 ≤ |z| ≤ 3 ∧ ⅙π ≤ Arg(z) ≤ ⅚π en het beeld bij f(z) = z² − i.” (diagnostische toets 5).
• “Teken het beeld van Re(z) = −2 en van Im(z) = 1½π” bij $f(z)=e^z$ (diagnostische toets 6).
• “Bereken exact” $\ln (1+i)$, $\ln \left(\frac{i}{e}\right)$, $\ln (-e^3)$, … (diagnostische toets 7).
• “Bereken exact f(⅓π + 2i) en g(½π − i). Geef je antwoorden in de vorm a + bi.” (diagnostische toets 9).

Uitgewerkt voorbeeld

Complexe logaritme (vergelijk H16 diagnostische toets 7)

a $\ln (1+i)=\ln \left(\sqrt{2}{e}^{\frac{1}{4}\pi i}\right)=\ln (\sqrt{2})+\frac{1}{4}\pi i=\frac{1}{2}\ln (2)+\frac{1}{4}\pi i$

b $\ln \left(\frac{i}{e}\right)=\ln (i)-\ln (e)=\ln (e^{\frac{1}{2}\pi i})-1=-1+\frac{1}{2}\pi i$

c $\ln (-e^3)=\ln (-1)+\ln (e^3)=\ln (e^{\pi i})+3=3+\pi i$

f $\ln (e-ei\sqrt{3})=\ln (e(1-i\sqrt{3}))=1+\ln \left(2e^{-\frac{1}{3}\pi i}\right)=1+\ln (2)-\frac{1}{3}\pi i$

Controle met sympy ✓

Complexe cosinus (vergelijk H16 diagnostische toets 9)

Bereken exact $g(\frac{1}{2}\pi -i)$ met $g(z)=\cos (z)$.

1. $i(\frac{1}{2}\pi -i)=\frac{1}{2}\pi i+1$ en $-i(\frac{1}{2}\pi -i)=-\frac{1}{2}\pi i-1$.
2. $g=\frac{e^{1+\frac{1}{2}\pi i}+e^{-1-\frac{1}{2}\pi i}}{2}=\frac{e\cdot i+e^{-1}\cdot -i}{2}=\left(\frac{e}{2}-\frac{1}{2e}\right)i$

Machtsfunctie (vergelijk H16 Voorbeeld blz. 168)

Beeld van $|z|\le 1,5\wedge -\frac{1}{6}\pi \le \text{Arg}(z)\le \frac{1}{6}\pi$ bij $f(z)=z^3+1$.

1. Eerst $z^3$: $|z^3|\le 1,5^3=3,375$ en $-\frac{1}{2}\pi \le \arg (z^3)\le \frac{1}{2}\pi$ (een halve schijf).
2. Dan de translatie $(1,0)$.

Valkuilen

• Bij $z^n$ de modulus met $n$ vermenigvuldigen in plaats van tot de macht $n$ te verheffen.
• Bij $\ln (z)$ een argument buiten $⟨-\pi ,\pi ]$ nemen.
• $\ln (a+b)=\ln (a)+\ln (b)$ gebruiken. Alleen $\ln (ab)=\ln (a)+\ln (b)$ is een rekenregel.
• Bij $\sin (z)$ de $2i$ in de noemer vergeten.

Test jezelf

Bereken exact $\ln (i\sqrt{e})$.

$\ln (i)+\ln (\sqrt{e})=\frac{1}{2}\pi i+\frac{1}{2}$.

Wat is het beeld van de lijn $\text{Re}(z)=1\frac{1}{2}$ bij $f(z)=e^z$?

De cirkel met middelpunt 0 en straal $e^{1\frac{1}{2}}$.

Welk getal is het beeld van $1+i$ bij $f(z)=z^2$?

$|1+i|=\sqrt{2}$ en $\arg =\frac{1}{4}\pi$, dus modulus 2 en argument $\frac{1}{2}\pi$: het beeld is $2i$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H16 opgave 19–A20 · uitwerking: beeld bij $z^2$ en $z^3$
• H16 opgave A21–O23 · uitwerking: $z^3$, eerste stappen met $e^z$ en $\ln (z)$
• H16 opgave R24–28 · uitwerking: beelden bij $e^z$, exacte logaritmen
• H16 opgave A29–A30 · uitwerking: pittiger logaritmen
• H16 opgave 32–A33 · uitwerking: $\sin (z)$ en $\cos (z)$ exact
• H16 diagnostische toets 5–9 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §16.2 Theorie A: Complexe machtsfuncties en De Moivre (blz. 166–167), met Voorbeeld (blz. 168)
• §16.2 Theorie B: De functies f(z) = e^z en g(z) = ln(z) (blz. 170–171), met Voorbeelden
• §16.2 Theorie C: De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z) (blz. 172), met Voorbeeld
• Informatief: Hyperbolische functies (blz. 173)
• Terugblik §16.2 (blz. 174)
• Diagnostische toets 5–9 (blz. 200–201)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Lineaire complexe functies
• Poolcoördinaten en de formule van Euler
• Logaritmische functie

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)