Lineaire complexe functies

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 16. “Bereken het nulpunt en het dekpunt”, “Geef het bereik bij het domein …”, “Bereken het origineel van 2 + 2i” (diagnostische toets 1–4). Wordt belangrijker zodra SE-2 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• Bij een lineaire complexe functie de meetkundige betekenis geven (translatie, draaivermenigvuldiging).
• Nulpunt, dekpunt en origineel berekenen.
• Het beeld van een figuur (driehoek, vierkant, cirkelsector) tekenen en een bereik geven.
• Een parameter $a+bi$ berekenen als het nulpunt of dekpunt gegeven is.

De kern

functie	meetkundige betekenis
$f(z)=z+a+bi$	translatie $(a,b)$
$f(z)=a\cdot z$ ($a$ reëel)	vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met factor $a$
$f(z)=(a+bi)z$	draaivermenigvuldiging: rotatie om 0 over $\arg (a+bi)$ en vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met factor $|a+bi|$
$f(z)=(a+bi)z+c+di$	draaivermenigvuldiging, gevolgd door de translatie $(c,d)$

Dit volgt uit $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ en $\arg (z_1\cdot z_2)=\arg (z_1)+\arg (z_2)$ (zie Complexe e-machten en complexe wortels).

• Nulpunt: een getal dat op 0 wordt afgebeeld. Los $f(z)=0$ op.
• Dekpunt: een getal dat op zichzelf wordt afgebeeld. Los $f(z)=z$ op.
• Origineel van $w$: los $f(z)=w$ op.

Bereik bij een domein in poolvorm. Bij $f(z)=(a+bi)z$ wordt $|z|$ vermenigvuldigd met $|a+bi|$ en schuift $\text{Arg}(z)$ op met $\arg (a+bi)$. Zo hoort bij $f(z)=(1-i)z$ en domein $|z|\le 2\wedge -\frac{1}{4}\pi \le \text{Arg}(z)\le \frac{1}{4}\pi$ het bereik $|z|\le 2\sqrt{2}\wedge -\frac{1}{2}\pi \le \text{Arg}(z)\le 0$.

Zo wordt het gevraagd

• “Het nulpunt van f is 2 + i. Bereken a en b.” (diagnostische toets 1).
• “Bereken het nulpunt en het dekpunt van de volgende functies.” (diagnostische toets 2, opgave 4, 16).
• “Geef het bereik bij het domein |z| ≥ 2 ∧ ½π ≤ Arg(z) ≤ π” en “Teken het beeld van Re(z) ≥ 2 ∧ Im(z) ≤ 2√3.” (diagnostische toets 3).
• “Bereken het origineel van 2 + 2i” en “Teken het origineel van …” (diagnostische toets 4).

Uitgewerkt voorbeeld

Nulpunt en dekpunt (vergelijk H16 diagnostische toets 2b)

$g(z)=(1+i)z+2-3i$.

1. Nulpunt: $(1+i)z+2-3i=0$ geeft $z=\frac{-2+3i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{-2+2i+3i-3i^2}{2}=\frac{1+5i}{2}=\frac{1}{2}+2\frac{1}{2}i$.
2. Dekpunt: $(1+i)z+2-3i=z$ geeft $iz=-2+3i$, dus $z=\frac{-2+3i}{i}=3+2i$.
3. Betekenis: $|1+i|=\sqrt{2}$ en $\arg (1+i)=\frac{1}{4}\pi$, dus rotatie om 0 over $\frac{1}{4}\pi$, vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met $\sqrt{2}$ en daarna de translatie $(2,-3)$.

Parameters uit het nulpunt (vergelijk H16 diagnostische toets 1)

$f(z)=2z+a+bi$ met $a$ en $b$ reëel.

• a Nulpunt $2+i$: $2(2+i)+a+bi=0$ geeft $a+bi=-4-2i$, dus $a=-4$ en $b=-2$.
• b Dekpunt $2+i$: $2(2+i)+a+bi=2+i$ geeft $a+bi=-2-i$, dus $a=-2$ en $b=-1$.

Controle met sympy ✓

Valkuilen

• De volgorde omdraaien: eerst de draaivermenigvuldiging, dan de translatie.
• Bij het bereik de translatie vergeten, of het argument vermenigvuldigen in plaats van optellen.
• Nulpunt en dekpunt verwisselen.
• Bij het delen door een complex getal de noemer niet reëel maken.

Test jezelf

Bereken nulpunt en dekpunt van $f(z)=2iz+3-i$.

Nulpunt: $2iz=-3+i$, dus $z=\frac{-3+i}{2i}=\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}i$. Dekpunt: $(2i-1)z=-3+i$, dus $z=\frac{-3+i}{-1+2i}=1+i$.

Welke meetkundige betekenis heeft $f(z)=(2+2i\sqrt{3})z$?

$|2+2i\sqrt{3}|=4$ en $\arg =\frac{1}{3}\pi$: rotatie om 0 over $\frac{1}{3}\pi$ en vermenigvuldiging ten opzichte van 0 met factor 4.

$f(z)=(1+i)z-2+3i$. Bereken het origineel van $10+i$.

$(1+i)z=12-2i$, dus $z=\frac{12-2i}{1+i}=\frac{(12-2i)(1-i)}{2}=5-7i$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H16 opgave 2–A6 · uitwerking: nulpunt en dekpunt
• H16 opgave O7–O8 · uitwerking: rotaties ontdekken
• H16 opgave 10–A13 · uitwerking: beeld en bereik bij $(a+bi)z$
• H16 opgave 15–A17 · uitwerking: $(a+bi)z+c+di$, origineel
• H16 diagnostische toets 1–4 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• §16.1 Theorie A: De functies f(z) = z + a + bi en f(z) = a·z (blz. 158), Voorbeeld en nulpunt/dekpunt (blz. 159–160)
• §16.1 Theorie B: De functie f(z) = (a + bi)z (blz. 161), met Voorbeeld (blz. 162)
• §16.1 Theorie C: De functie f(z) = (a + bi)z + c + di (blz. 163), met Voorbeeld
• Terugblik §16.1 (blz. 165)
• Diagnostische toets 1–4 (blz. 200)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Rekenen met complexe getallen
• Het complexe vlak
• Complexe e-machten en complexe wortels

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Niet-lineaire complexe functies
• Meetkunde met complexe getallen