Som en verschil van toevalsvariabelen

Prioriteit: 🟠 Midden

SE-2 · weging 33⅓% · hoofdstuk 12. Contextvragen met dozen, stapels en productiefasen (diagnostische toets 9–10). Wordt 🔴 zodra SE-1 voorbij is.

Wat moet je kunnen?

• De somregels toepassen, en weten wanneer de regel voor $\sigma$ geldt.
• Som $S$ en gemiddelde $\overline{X}$ van $n$ gelijke variabelen gebruiken (√n-wet).
• Bij een verschil $V=X-Y$ rekenen, bijvoorbeeld $P(X>Y)=P(V>0)$.

De kern

Grootheid	Verwachting	Standaardafwijking (onafhankelijk!)
$X+Y$	${\mu }_X+{\mu }_Y$	$\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$
$X-Y$	${\mu }_X-{\mu }_Y$	$\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2}$ (ook plus!)
som $S$ van $n$ gelijke $X$	$n\cdot E(X)$	$\sqrt{n}\cdot {\sigma }_X$
gemiddelde $\overline{X}$	$E(X)$	$\frac{{\sigma }_X}{\sqrt{n}}$

• Som en verschil van normaal verdeelde variabelen zijn weer normaal verdeeld.
• Centrale limietstelling: voor grote $n$ is $S$ (en $\overline{X}$) bij benadering normaal verdeeld, ook als $X$ dat zelf niet is. In het boek is $n$ steeds groot genoeg.
• $n$ keer dezelfde variabele is niet hetzelfde als $n\cdot X$: ${\sigma }_{3X}=3{\sigma }_X$, maar ${\sigma }_{X_1+X_2+X_3}=\sqrt{3}{\sigma }_X$.

Zo wordt het gevraagd

• “Hoeveel procent van de dozen heeft een gemiddelde inhoud per pot van minder dan 715 gram?” (diagnostische toets 9).
• “In hoeveel procent van de gevallen duurt het productieproces langer dan drie kwartier?” (diagnostische toets 10).
• “Bereken de kans dat een pak minder dan 350 gram koekjes bevat.” (Voorbeeld blz. 155).

Uitgewerkt voorbeeld

Drie fasen (vergelijk H12 diagnostische toets 10)

Fase I: $\mu =19,3$, $\sigma =2,5$; fase II: $\mu =12,5$, $\sigma =1,5$; fase III: $\mu =10,7$, $\sigma =1,2$ minuten, alle normaal. In hoeveel procent duurt het hele proces langer dan 45 minuten?

1. ${\mu }_T=19,3+12,5+10,7=42,5$
2. ${\sigma }_T=\sqrt{2,5^2+1,5^2+1,2^2}=\sqrt{9,94}$
3. $P(T>45)=$ normalcdf$(45,10^{99},42.5,\sqrt{9.94})\approx 0,214$
4. In 21,4% van de gevallen.

Controle met scipy: 0,2139 ✓

Valkuilen

• Standaardafwijkingen optellen in plaats van de kwadraten: $2,5+1,5+1,2\ne {\sigma }_T$.
• Bij een verschil ${\sigma }_X^2-{\sigma }_Y^2$ nemen. Het is altijd plus.
• $\sqrt{n}$ en $n$ verwisselen, of bij het gemiddelde vermenigvuldigen in plaats van delen.
• De somregel voor $\sigma$ gebruiken bij afhankelijke variabelen (boven- en onderkant van een dobbelsteen, opgave R48).

Test jezelf

Koekjes: $\mu =12$ g, $\sigma =0,8$ g, 30 per pak. Wat zijn ${\mu }_S$ en ${\sigma }_S$ van een pak?

${\mu }_S=30\cdot 12=360$ g, ${\sigma }_S=\sqrt{30}\cdot 0,8\approx 4,38$ g.

$X\sim N(50,6)$ en $Y\sim N(40,8)$ onafhankelijk. Bereken $P(X>Y)$.

$V=X-Y$: ${\mu }_V=10$, ${\sigma }_V=\sqrt{36+64}=10$. $P(V>0)=$ normalcdf$(0,10^{99},10,10)\approx 0,841$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H12 opgave 47 en R48 · uitwerking: somregels en onafhankelijkheid
• H12 opgave 51–52 · uitwerking: centrale limietstelling
• H12 opgave A55–A56 · uitwerking: som en gemiddelde
• H12 opgave 59–A61 · uitwerking: som en verschil van normale variabelen
• H12 diagnostische toets 9 · uitwerking: gemiddelde per pot

Bronnen

• §12.4 Theorie A: Somregels (blz. 152)
• Informatief: bewijs VAR(X + Y) (blz. 153)
• §12.4 Theorie B: De centrale limietstelling (blz. 154–155)
• §12.4 Theorie C: Som en verschil van normaal verdeelde toevalsvariabelen (blz. 157)
• Terugblik §12.4 (blz. 159)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Normale verdeling

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Hypothesen toetsen